线性控制13章课件

1、第13章 系统的运动稳定性第13章 系统的运动稳定性2 稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件，它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而与输入作用无关。 1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与系统初始条件及外作用有关；本章主要介绍李雅普诺夫稳定性理论及应用。 李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。 李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳

2、定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：1.间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性，又称李雅普诺夫第一法；2.直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫稳定性理论：第13章 系统的运动稳定性3稳定性判别方法经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）； 奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。 非线性定常系统的稳定性：描述函数法： 要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能；相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。现代控制理论中： 一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及

3、多变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。第13章 系统的运动稳定性4 13.1 BIBO稳定性第13章 系统的运动稳定性1 13.2 李雅普诺夫稳定性定义 13.3 李雅普诺夫第一法 13.4 李雅普诺夫第二法 13.5 线性系统稳定性分析5 13.6 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用2345613.1 BIBO稳定性613.1.1 BIBO稳定的概念13.1.2 判据713.1.1 BIBO稳定的概念BIBO稳定性的概念： 对于一个初始条件为零的系统，如果在有界的输入u(t)的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出稳定的。

4、并简称为BIBO稳定。李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。13.1.1 BIBO稳定的概念线性时不变连续系统方程为式中，x,u,y 分别为n,r,m 维向量；A,B,C为满足矩阵运算的矩阵。若初始条件为零，则系统的零状态响应为(13-2)其中， ，为系统脉冲响应矩阵。对于单输入单输出系统， 为脉冲响应函数。 8913.1.2 判据 线性时不变系统的输入输出关系，也可以用传递函数（矩阵）描述。对于式（13-1）和式（13-2）描述的系统，其有理传递函数矩阵为 用传递函数来研究BIBO稳定也是很有用的。对于一个由 描述的线性时不变系统，其BIBO稳定的重要条件是 的每一个元的所有极点具有

5、负实部。如果是单输入单输出线性时不变系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所以极点具有负实部。13.2 李雅普诺夫稳定性定义1013.2.1 系统的平衡状态13.2.2 李雅普诺夫稳定性的几个定义1113.2.1 系统的平衡状态李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。1. 平衡状态的定义 设系统状态方程为： 若对所有t，状态x满足 ，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有下式成立： 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。2. 平衡状态的求法 由定义可见，平衡状态将包含在 这样一个代数方程组中。 对于线性定常系统 ，其平衡状态为xe应满足代数方程 。只有坐标原点处是系统的平衡状

6、态点 对于非线性系统，方程 的解可能有多个，视系统方程而定。 如： 该系统存在三个平衡状态：13.2.1 系统的平衡状态12范数的定义 n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 表示，则：向量的距离 长度 称为向量x与xe的距离，写为：13.2.1 系统的平衡状态13 定义：对于系统 ，设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、为半径的闭球域S()内，即 若能使系统从任意初态x0出发的解 在tt0的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径的闭球域S()内，即： 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。1李雅普诺夫意义下的稳定性 P21613.2.2 李雅普诺夫稳定性的几个定义

7、14几何意义 按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S(),则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。13.2.2 李雅普诺夫稳定性的几个定义15 2渐进稳定性（经典理论稳定性） 这时，从S()出发的轨迹不仅不会超出S()，且当t时收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性定义与渐进稳定性对应。13.2.2 李雅普诺夫稳定性的几个定义定义： 如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量0，总有则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。16几何意义： 13.2.2 李雅普诺夫稳定性的几个定

8、义17 定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态xe均具有渐进稳定性，称这种平衡状态xe是大范围渐近稳定的。此时，S()。当t时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe。3.大范围渐进稳定性 对于严格的线性系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。13.2.2 李雅普诺夫稳定性的几个定义18 几何意义：渐近稳定性示意图李氏稳定性示意图13.2.2 李雅普诺夫稳定性的几个定义19 定义：如果对于某个实数0和任一实数0，不管这个实数多么小，在

9、S()内总存在一个状态x0，使得由这一状态出发的轨迹超出S()，则称平衡状态xe是不稳定的。4不稳定性几何意义： 13.2.2 李雅普诺夫稳定性的几个定义20 对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S()，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于S()以外的平衡点。 当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。13.2.2 李雅普诺夫稳定性的几个定义2113.2.2 李雅普诺夫稳定性的几个定义图13-1 稳定性的平面几何指标2213.2.2 李雅普诺夫稳定性的几个定义 从上述四种稳定性定义可见，球域S() 限制着初始状态x0的取值，球域S()规定了

10、系统自由运动响应 的边界。 简单地说， 1.如果 有界，则称xe稳定； 2.如果 不仅有界，而且当t时收敛于原点，则称xe渐进稳定； 3.如果 无界，则称xe不稳定；2313.3 李雅普诺夫第一法2413.3.1 线性系统的稳定判据13.3.2 非线性系统的稳定性13.3.3 系统内部稳定和外部稳定的关系一线性定常系统稳定性判定基本思路：1.线性系统通过判断状态方程的解来判断稳定性；2.非线性和时变系统要通过平衡点附近的线性化 处理，再根据A阵判断系统的稳定性。13.3.1 线性系统的稳定判据25对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型，用以下方法来研究。对于非线性系统 ，

11、设xe为其平衡点。 13.3.2 非线性系统的稳定性26李雅普诺夫给出以下结论：（1） A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xe是渐进稳定的；（2）A的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态xe是不稳定的。（3）A的特征值至少有一个实部为0，则不能根据A来判平衡状态xe的稳定性,系统处于临界状态，需要由R(x)决定。13.3.2 非线性系统的稳定性27例13-2 已知非线性系统的状态空间表达式，试分析系统平衡状态的稳定性。 P219 解：系统有2个平衡状态： 和在xe1=0,0处线性化，A1阵的特征值为+1，-1。故系统在xe1处是不稳定的。在xe2=1,1处线性化，A2阵的特征值为+j，-j

12、,其实部为0,不能根据A来判断稳定性。28线性定常系统 （1）平衡状态xe是渐进稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部； （2）平衡状态xe是不稳定的充分必要条件是矩阵A的有些特征值具有正实部； （3）当系统用传递函数描述时，系统BIBO稳定的充分必要条件为G(s）的极点具有负实部。13.3.3 系统内部稳定和外部稳定的关系29例13-4 设系统的状态空间表达式为： 试分析系统平衡状态xe=0的稳定性与系统的BIBO稳定性。解：系统的特征方程为A阵的特征值为+1，-1。故系统平衡状态xe是不稳定的。系统传递函数传递函数极点位于S左半平面，故系统是BIBO稳定的。30 结论： 1.

13、线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的； 2. 线性定常系统是BIBO稳定的，则不能保证系统一定是渐进稳定的； 3. 如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定性与外部稳定性是等价。BIBO稳定渐近稳定13.3.3 系统内部稳定和外部稳定的关系3113.4 李雅普诺夫第二法3213.4.1 预备知识13.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理33 李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函数V(x)来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。 根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。 李雅普诺夫第二法及其主要定理：

14、13.4 李雅普诺夫第二法（1）如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，只到平衡状态时为最小，则称这个平衡状态是渐进稳定的。（2）如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移越来越大，则称这个平衡状态是不稳定的。（3）如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移维持不变，则称这个平衡状态是临界稳定的，在李雅普诺夫意义下也认为是稳定的。13.4 李雅普诺夫第二法34李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与 及t有关，记为V(x,t)或V(x)。 V(x)是一标量函数，考虑到能量总大于0，故为正定函数。能量衰减特性用 或 表示。李雅普诺夫第二法利用V和 的符号特征，直接对平衡

15、状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称直接法。 13.4 李雅普诺夫第二法35 直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)的通用方法。尽管如此目前它仍然是研究系统(包括时变、非线性)稳定性的有力工具。 对于线性系统，通常用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。13.4 李雅普诺夫第二法3613.4.1 预备知识1二次型函数的定义及其表达式 定义：设 为n个变量，定义二次型标量函数为：其中， ，则称P为实对称阵。37例如： 显然，二次型v(x)完全由矩阵P确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。 二次型的

16、标准型 只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如：13.4.1 预备知识38 2.标量函数V(x)的符号和性质 设: ,且在x=0处，V(x)0。对于x0的任何向量。V(x)0，称V(x)为正定的。例如：V(x)0，称V(x)为负定的。例如：V(x)0，称V(x)为半正定的。例如：V(x)0，称V(x)为半负定的。例如：13.4.1 预备知识39设实对称矩阵 P阵的所有各阶主子行列式如下:3.赛尔维斯特(Sylvester)准则(二次型标量函数定号性判别准则),212222111211222112112111=D=D=DnnnnnnnppppppppppppppMMLL4013.4.1 预备

17、知识矩阵P（或V(x)定号性的充要条件为：（1）（2）（3）（4） 13.4.1 预备知识41 系统渐进稳定的判别定理一定理4.2 设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0,满足 。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件1.V(x,t)是正定的；2. 是负定的； 系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。 1，2，3系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。13.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理42例13-5 已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性. 13.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理43解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是系统惟一

18、的平衡状态。选取正定标量函数为 则沿任意轨迹，V(x)对时间的导数 是负定的。说明V(x)沿任意轨迹是连续减小的，因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。 而且， 。所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的13.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理44 系统渐进稳定的判别定理二 定理4.3 设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0,满足 。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件1.V(x,t)是正定的；2. 是半负定的； 13.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理45定理的运动分析：以二维空间为例13.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理46例13-6 已知非线性系统的状态

19、方程为:试分析其平衡状态的稳定性。 4713.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理13.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是系统惟一 的平衡状态。选取正定标量函数为 当 进一步分析 的定号性：如果假设 ，必然要求 ，进一步要求 。但从状态方程 可知，必满足 表明 只可能在原点（x1=0,x2=0）处恒等于零。渐进稳定 而且，当 ，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的47若在该例中选取正定标量函数为负定 而且，当 ，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的 由以上分析看出，选取不同的V(x)，可能使问题分析采用不同的判别定理。13.4.

20、2 李雅普诺夫第二法的判稳定理49系统李氏稳定的判别定理定理13-6设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0,满足 。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件 则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐进稳定的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状态上。1.V(x,t)是正定的；2. 是半负定的，且 。 13.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理50例13-8 已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。 13.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理5113.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理51解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是

21、系统惟一 的平衡状态。选取正定标量函数为 由上式可见， ，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐进稳定的。 系统不稳定的判别定理 定理13-7 设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0,满足 。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件1.V(x,t)是正定的；2. 是正定的； 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。13.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理53例13-9 已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。 解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是系统惟一 的平衡状态。选取正定标量函数为 系统不稳定13.4.2 李雅普诺夫

22、第二法的判稳定理54四不稳定13.4.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理55定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意以下几点： (1)构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键，李氏函数具有几个突出性质： 1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。 2)李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。 3)对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。 (2)如果在包含状态空间原点在内的邻域内，可以找到一个李雅普诺夫函数，就可以用它来判断原点的稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从邻域外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷大，这是因为李雅普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的充分条件。13.4

23、.2 李雅普诺夫第二法的判稳定理5613.5 线性系统稳定性分析5713.5.1 线性时不变连续系统渐近稳定的判别13.5.2 线性时不变离散系统渐近稳定的判别13.5.3 线性时变连续系统渐近稳定的判别5813.5.1 线性时不变连续系统渐近稳定的判别1 渐进稳定的判别方法 定理13-8 设线性定常连续系统为： ，则平衡状态xe=0为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定实对称矩阵Q，必存在一个惟一正定的实对称矩阵P，且满足李雅普诺夫方程 并且 是系统的李雅普诺夫函数。定理说明：1. 如果任取的一个正定实对称矩阵Q，则满足矩阵的实对称矩阵P是惟一的，若P正定，则系统在平衡状态xe=

24、0为大范围渐进稳定的。P的正定性是一个充分必要条件。2. 为计算简便，在选取正定实对称矩阵Q时选单位阵I，于是方程简化为：13.5.1 线性时不变连续系统渐近稳定的判别59 2. V(x)的求法例 设线性定常系统为: ,试判别该系统的稳定性(其平衡状态为xe=0)。解：为了便于对比，先用李氏第一法判断。系统是渐近稳定的13.5.1 线性时不变连续系统渐近稳定的判别60设李雅普诺夫函数为：则有：展开有：正定系统是渐近稳定的616213.5.2 线性时不变离散系统渐近稳定的判别设系统状态方程为 ，原点是平衡状态。取正定二次型函数以 代替 ，有 考虑状态方程，有令 于是有 给定任一正定实对称矩阵Q（常取Q=I），存在正定对称矩阵P，使 成立。6313.5.3 线性时变连续系统渐近稳定的判别定理13-9 设线性时变连续系统状态方程为则系统在平衡状态 是大范围渐近稳定的充分必要条件为：对于