复变函数必考试题精选(20220305000044)

1、) （B） sec 3 3 )cos( ) i sin(1 i1ii232322复变函数测验题第一章 复数与复变函数一、 选择题1当 z i 时， z100 z75 z50 的值等于（ ）（A） i （B） i （C） 1 （D） 12设复数 z 满足 arc ( z 2) ， arc ( z 2) 5 ，那么 z （ ） 3 6（A）13i（B）3 i（C）1232（D）32123复数 z tan i ( ) 的三角表示式是（ ） 2（A） sec cos( 2 ) i sin( 2 2 2（C）sec cos() i sin() （D）sec cos() i sin()4若 z 为非零复数

2、，则 z2 z 2 与 2zz 的关系是（ ） （A） z2 z 2 2zz （B） z2 z 2 2zz（C） z2 z 2 2zz （D）不能比较大小设 x , y为实数， z1 x 11 yi , z2 x 11 yi 且有 z1 z2 12 ，则动点 ( x , y) 的轨迹是（ ）（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线1满足不等式z i复变函数测验题一个向量顺时针旋转 ，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的3复数为 1 3i ，则原向量对应的复数是（ ）（A） 2 （B） 1 3i （C） 3 i使得 z2 z 2 成立的复数 z是（ ）4（A）不存在的设 z 为复数，

3、则方程（A） 3 i43（ B）唯一的z z 2 i（B） i（ C）4（C）纯虚数的解是（ ）3 iz i 2 的所有点 z 构成的集合是（ ）（D） 3 i（ D）实数（D） 3 i 4（A）有界区域 （B）无界区域 （C）有界闭区域域10方程 z 2 3i 2 所代表的曲线是（ ）（A）中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周 （B）中心为 2（D）无界闭区3i ，半径为的圆周（C）中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周 （D）中心为 2周21zz11下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（A） 2 （B） z2）3 z 33i ，半径为的圆4z(3 i )( 2 i )( 1 i )( 2

4、 i )( 3 i )11 azz aIm( z) Im( z0 )复变函数测验题（C） 1 ( a 1) （D） zz az az aa c 0 (c 0)12设 f ( z) 1 z , z1 2 3i , z2 5 i , ，则 f (z1 z2 ) （ ）（A） 4 4i （B） 4 4i （C） 4 4i （D） 4 4i13 0 z z0 （ ）（A）等于 i （B）等于 i （C）等于 0 （D）不存在14函数 f ( z) u( x , y) iv ( x , y) 在点 z0 x 0 iy 0 处连续的充要条件是（ ）（A） u( x , y)在 ( x 0 , y0 ) 处

5、连续 （B） v( x , y)在 ( x 0 , y0 ) 处连续（C） u( x , y)和 v( x , y) 在 ( x0 , y0 ) 处连续（ D） u( x , y) v( x , y) 在 ( x 0 , y0 ) 处连续15设 z C 且 z 1 ，则函数 f ( z) z2 z 的最小值为（ ）（A） 3 （B） 2 （C） 1 （D）1二、填空题1设 z ，则 z2设 z (2 3i )( 2 i ) ，则 arg z3设 z 5 , arg( z i ) 3 ，则 z 43(cos3i sin 5 ) 21 z方程 2z 2 (1方程 z 12 z，圆周 x 2 (y

6、1) 2 1的像曲线为z2z4 )i(cos5 4复数5以方程 z6 不等式 z复变函数测验题的指数表示式为i sin 3 ) 27 15i 的根的对应点为顶点的多边形的面积为2 z 2 5 所表示的区域是曲线 的内部1 i 1 所表示曲线的直角坐标方程为 i ) z2i z 2 i 所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线对于映射10 m1 i (1 z2三、 若复数 z 满足 zz (1 2i ) z (1 2i )z 3 0 ，试求 z 2 的取值范围四、 设a 0 ，在复数集 C 中解方程 z2 2 z a .五、 设复数 z i ，试证 z 2 是实数的充要条件为 z 1 或 I

7、M (z) 0 .六、对于映射 1 (z 1) ，求出圆周 z 4 的像 .4 .2 2 ,000 x y复变函数测验题七、试证z1 . z2z1z2z10 ( z20) 的充要条件为 z1 z2 z1 z2 ；0 ( zj 0 , k j , k , j 1,2 , , n) 的充要条件为z2 zn z1 z2 zn .八、 若0 f (z) A 0 ，则存在 0 ，使得当 0 z z0 时有 f ( z)1A .2九、设 z x iy ，试证 z x y . 2十、设 z x iy ，试讨论下列函数的连续性：1. f (z)2. f (z)2xy x 2 y 2 ,0 ,x 3 yx y0

8、z0zzz第二章 解析函数一、选择题：1函数 f ( z) 3 z 2 在点 z 0处是( )（A）解析的 （B）可导的（C）不可导的 （D）既不解析也不可导2函数 f ( z) 在点 z可导是 f ( z)在点 z 解析的 ( )55函数 f ( z) z2 Im( z)在 处的导数 ( )复变函数测验题（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件3下列命题中，正确的是 ( )（A）设 x , y 为实数，则 cos(x iy ) 1（B）若 z0 是函数 f (z) 的奇点，则 f ( z) 在点 z0 不可导（C）若 u , v在区域 D

9、内满足柯西 - 黎曼方程，则 f ( z) u iv 在 D 内解析（D）若 f ( z) 在区域 D 内解析，则 if ( z) 在 D 内也解析4下列函数中，为解析函数的是 ( )（A） x 2 y 2 2xyi （B） x 2 xyiz HYPERLINK l _bookmark1 0（C） 2( x 1) y i ( y 2 x 2 2 x ) （D） x 3 iy 3（A）等于 0 （B）等于 1 （C）等于 1 （D）不存在6若函数 f (z) x 2数 a ( )2xy y 2i( y 2 axy（A） 0 （B） 17如果 f (z) 在单位圆 z 1 内处处为零，且f ( z

10、) ( )（A） 0 （B） 1常数6x 2 ) 在复平面内处处解析，那么实常（C） 2 （D） 2f (0) 1 ，那么在 z 1 内（C） 1 （D）任意2iz复变函数测验题8设函数 f ( z) 在区域 D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A）若 f ( z) 在 D 内是一常数，则 f (z)在 D 内是一常数（B）若 Re( f ( z) 在 D 内是一常数，则 f ( z)在 D 内是一常数（C）若 f ( z)与 f (z)在 D 内解析，则 f (z) 在 D 内是一常数（ D）若 arg f ( z)在 D 内是一常数，则 f ( z)在 D 内是一常数9设 f (z) x

11、 2 iy 2 ，则 f ( 1 i ) ( )（A） 2 （B） 2i （C） 1 i （D） 2 2i10 i i 的主值为 ( )（A） 0 （B） 1 （C） e 2 （D） e 211 e 在复平面上z ( )（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析12设 f (z) sin z ，则下列命题中，不正确的是 ( )（A） f ( z) 在复平面上处处解析 （B） f (z) 以2 为周期（C） f ( z) e e iz （D） f ( z) 是无界的13设 为任意实数，则 1 ( )（A）无定义 （B）等于 1（C）是复数，其实部等

12、于 1 （D）是复数，其模等于173 ixui 在区域 Dxf (z) 114下列数中，为实数的是 ( )（A） (1 i )3 （B） cosi15设 是复数，则 ( )（A） z 在复平面上处处解析（C） z 一般是多值函数复变函数测验题（C） ln i （D） e 2（ B） z 的模为 z（ D） z 的辐角为 z 的辐角的 倍二、填空题1设 f (0) 1, f (0) 1 i ，则 m0 z2设 f (z) u iv 在区域 D 内是解析的，如果 u v是实常数，那么 f ( z)在 D 内是3导函数 f (z)4设 f (z) x 3 y 35若解析函数 f ( z)v 内解析的

13、充要条件为ix 2 y 2 ，则 f (u iv 的实部 ui )3 32 2x 2 y2 ，那么 f ( z)6函数 f ( z) z Im( z) Re( z) 仅在点 z7设 f (z) 1 z5 (1 i )z ，则方程 f ( z) 58复数 i i 的模为9 Imln( 3 4 i )10方程 1 e z 0 的全部解为8处可导0 的所有根为dz , dz2 .xy 2 ( x iy )x yz2s,n s s nz z z z z z z z w2 2 i 2 , 2i z复变函数测验题三、设 f ( z) u(x , y) iv ( x , y) 为 z x iy 的解析函数，

14、若记w( z, z) u( , ) iv ( ) ，则 0四、试证下列函数在 z 平面上解析，并分别求出其导数1 f (z) cos x cosh y i sin x sinh y;2 f (z) ex ( x cos y ysin y) ie x ( y cos y ix sin y);五、设 w 3 2zw ez 0 ，求 dw d 2 w六、设 f ( z)导.2 4 , 0试证 f ( z) 在原点满足柯西 -黎曼方程，但却不可0, z 0七、已知 u v x 2y2 ，试确定解析函数 f (z) u iv .八、设 s和 n 为平面向量，将 s按逆时针方向旋转 即得 n .如果 f

15、(z) u iv 为解析函数，则有 uvnu v （ 与 分别表示沿 s , n 的方向导数） .96 61 5c (z 1)( z HYPERLINK l _bookmark2 1)6 6 6 6 6 61 5 1 5 1 5ic c 1 c2 zc ( 1 z)复变函数测验题九、若函数 f ( z) 在上半平面内解析，试证函数 f (z) 在下半平面内解析 .十、解方程 sin z i cosz 4i .一、选择题：1设 c 为从原点沿（A） i2设 c为不经过点i（A）2第三章 复变函数的积分y2 x 至 1 i 的弧段，则 c(x iy 2 )dz ( )（B） i （C） i （D）

16、 i1 与 1的正向简单闭曲线，则 z 2dz为( )（B） （C） 0 （D） (A)(B)(C) 都有可能23设 c1 : z 1 为负向， c2 : z 3 正向，则 sin2zdz ( )（A） 2 i （B） 0 （C） 2 i （D） 4 i4设 c为正向圆周 z 2 ，则 cosz 2 dz ( )105设 c为正向圆周 z 1 ，则 z 2 2dz ( )4 zec z 1422f ( z) 2 f ( z)c f ( z)i复变函数测验题（A） sin 1 （B） sin 1 （C） 2 i sin HYPERLINK l _bookmark3 1z3 cos HYPERLI

17、NK l _bookmark4 12 c (1 z)（A） 2 i ( 3cos 1 sin 1) （B） 0 （C） 6 i cos16设 f (z) d ，其中 z 4 ，则 f ( i） ( )（D） 2 i sin 1（D） 2 i sin 1（A） 2 i （B） 1 （C） 2 i （D） 17设 f ( z) 在单连通域 B 内处处解析且不为零， c为 B 内任何一条简单闭曲线，则积分 f ( z)dz ( )（A）于 2 i （B）等于 2 i （C）等于 0 （D）不能确定8设 c是从 0 到 1 2 i 的直线段，则积分 czezdz （ ）（A） 1 e (B)21 e

18、(C) 1 e i (D) 1 e i 2 2 29设 c为正向圆周 x 2sin( z)y 2 2x 0 ，则 2 dz ( )（A） i （B） 2 i （C） 0 （D）2211（ B）ec (a i )2z a r z a复变函数测验题10设 c为正向圆周 z i 1, a i ，则（A） 2 ie 2 iz cosz dz ( )（C） 0 （D） i cosi11设 f (z) 在区域 D 内解析， c为 D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D 如果 f (z)在 c 上的值为 2，那么对 c 内任一点 z0 , f ( z0 ) ( )（A）等于 0 （B）等于 1 （C）

19、等于 2 （D）不能确定12下列命题中，不正确的是 ( )（A）积分 1 dz的值与半径 r (r 0) 的大小无关（B） (x 2 iy 2 )dz 2 , 其中 c 为连接 i 到 i 的线段c（C）若在区域 D 内有 f (z) g(z) ，则在 D 内 g ( z) 存在且解析（ D）若 f ( z)在 0 z 1 内解析，且沿任何圆周 零，则 f (z)在 z 0 处解析13设 c 为任意实常数，那么由调和函数 u x 2f ( z) u iv 是 ( )(A) iz 2 c （B） iz 2 ic （C）c : z r (0 r 1) 的积分等于y 确定的解析函数2z2 c （D）

20、 z2 ic14下列命题中，正确的是 ( ) （A）设 v 1 , v 2 在区域 D 内均为 u 的共轭调和函数，则必有 v 1 v HYPERLINK l _bookmark5 212z2 3z 2c zxx xsin( )2 zz zc ( z i )ze复变函数测验题（ B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若 f ( z) u iv 在区域 D 内解析，则 u 为 D 内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15设 v( x , y) 在区域 D 内为 u( x , y) 的共轭调和函数，则下列函数中为 D 内解析函数的是 ( )（A） v( x , y) iu

21、 ( x , y) （B） v( x , y) iu ( x , y)（C） u( x , y) iv ( x , y) （D） u i v二、填空题1设 c为沿原点 z2设 c为正向圆周0 到点 z 1 i 的直线段，则z 4 1 ，则 c ( z 4) 2 dzc2zdz3设 f (z) 2 d , 其中 z 2 ，则 f (3)4设 c为正向圆周 z 3 ，则 dz5设 c 为负向圆周 z 4 ，则 5 dz6解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的13R ( z2 1)( z 2) ,6z4 2f ( z)n复变函数测验题7设 f (z)在单连通域 B 内连续，且对于 B 内任何一条简单闭

22、曲线 c 都有f ( z)dz 0 ，那么 f ( z) 在 B 内c8调和函数 ( x , y) xy 的共轭调和函数为9若函数 u( x , y) x 3 axy 2 为某一解析函数的虚部，则常数 a10设 u( x , y) 的共轭调和函数为 v( x , y) ，那么 v( x , y) 的共轭调和函数为三、计算积分1. z2. zdz ,其中 R 0 R 1且 R 2 ;dz2 z 2z 2四、设 f ( z) 在单连通域 B 内解析，且满足在 B 内处处有 f ( z) 0；对于 B 内任意一条闭曲线 c ，都有c1 f ( z)f ( z) dz1 (x B ) .试证0五、设

23、f ( z) 在圆域 z a R 内解析，若 xr f ( z) M (r ) (0 r R)，则 f( n ) ( a)n! M ( r )r(n 1 ,2 , ) .14z2z 1 z复变函数测验题六、求积分 ez dz ，从而证明 0 ecos cos(sin )d .七、设 f ( z) 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数 a , b ，试求极限f ( z)lim dz并由此推证 f (a) f ( b) （刘维尔 Liouville 定理） .R z R ( z a)( z b)八、设 f ( z) 在 z R ( R 1) 内解析，且 f (0) 1, f (0) 2

24、 ，试计算积分( z 1)2z1f (z2) dz并由此得出 cos2 f (ei )d 之值 .九、设 f ( z) u iv 是 z 的解析函数，证明2 ln( 1 f (z) 2 ) 2 ln( 1 f ( z) 2 ) 4 f (z) 2x 2 y 2 ( 1 f (z) 2 ) 2 .十、若 u u(x 2 y2 ) ，试求解析函数 f (z) u iv .第四章 级 数151设 annn 1 n n n 1 n 2n 2 ln n n 1 2n 1 2 n 1 n!( 3 4i )n（C） （D）一、选择题：( 1)n nin4（A）等于 0复变函数测验题(n 1 ,2 , ) ，

25、则 m an ( )（B）等于 1 （C）等于 i （D）不存在2下列级数中，条件收敛的级数为 ( )（A） ( 1 3i )n （B）i n ( 1) n in 1 n n 1 n 13下列级数中，绝对收敛的级数为 ( )（B） 1 ( 1 i ) （B） ( 1) n in (C) i n （D） ( 1)nn i n4若幂级数 cnzn 在 z 1 2i 处收敛，那么该级数在 z 2处的敛散性为 ( ) n 0（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散5设幂级数 cnz , n 0R1 , R2 , R3 之间的关系是（A） R1 R2（C） R1 R2nc nzn 1 和n 0 n 0(

26、 )R3R3（D）不能确定n n 1czn 1的收敛半径分别为 R1 , R2 , R3 ，则（B） R1 R2 R3（D） R1 R2 R316n 1 n 2n 0 n 1nq11 z 1 zz1复变函数测验题6设 0 q 1 ，则幂级数 qn 2 zn 的收敛半径 R ( ) n 0（A） q （B） （C） 0 （D）7幂级数 sin 2 ( z)n 的收敛半径 R ( )（A） 1 （B） 2 （C） 2 （D）8幂级数 ( 1)n zn 1 在 z 1 内的和函数为（A） ln( 1 z) （B） ln( 1 z)（ D） ln 1 (D) ln 19设函数 ez 的泰勒展开式为 c

27、oszR ( )（A） （B） 1cnzn ，那么幂级数n0（ C）2cnzn 的收敛半径n0（ D）110级数 z 21z（A） z 11 z z2 的收敛域是 ( )（B） 0 z 1 （C） 1 z （D）不存在的11函数 2 在z 1 处的泰勒展开式为 ( )172n 0 (2n 1)! 2 2n 0 ( 2n)! 2 2n 0 (2n 1)! 2 2n 0 ( 2n)! 2 2( 1) n 1 2n 1复变函数测验题（A） ( 1)n n(z 1)n 1 ( z 1 1) （B）n1( 1)n 1 n( z 1) n 1 ( z 1 1)n1（C） n(z 1) n 1 ( z 1

28、1) （D） n( z n 1 n 112函数 sin z，在 z 处的泰勒展开式为 ( )（A） ( 1) n (z ) 2n 1 ( z )（B） ( 1)n ( z )2n ( z )（C） (z ) ( z )（D） ( 1)n 1 ( z ) 2n ( z )13设 f (z) 在圆环域 H : R1 z z0H 内绕 z0 的任一条正向简单闭曲线，那么R2 内的洛朗展开式为dz c( z z0 )2f ( z) ( )（C） 2 ic 2，则双边幂级数 cnn1(A) 2 ic14若 cn（A）4n311 （B） 2 ic 13 ( 1) n , n 0,1,2,4n , n 1,

29、 2,z（B） 3 z 4181) n1 ( z 1 1)cn ( z z0 )n ， c 为n（D） 2 if (z0 )zn 的收敛域为 ( )z(z 1)( z HYPERLINK l _bookmark6 4)111复变函数测验题（ C）4z（ D）3z15设函数 f ( z) 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有 m 个，那么 m ( )（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4二、填空题1若幂级数为2设幂级数cn (z i )n 在 z i 处发散，那么该级数在 z 2 处的收敛性n0cnzn 与 Re( cn )zn 的收敛半径分别为 R1 和 R2 ，那么 R1 与 R2

30、之n 0 n 0间的关系是 3幂级数 (2i )n z2n 1 的收敛半径 R n 04设 f ( z) 在区域 D 内解析， z0 为内的一点， d 为 z0 到 D 的边界上各点的最短距离，那么当 z z0d 时， f ( z)cn( z z0 )n 成立，其中 cn n05函数 arctan z在 z 0 处的泰勒展开式为6设幂级数 cnzn 的收敛半径为 R ，那么幂级数 n 0为(2n 1)cnzn 的收敛半径n019z(z i )n 1 (z 2) 2 n 1 2( 1)1k!1 z z2 n 0复变函数测验题7双边幂级数 n 1 ( 1)n (1 z)n 的收敛域为18函数 ez

31、 ez在 0 z 内洛朗展开式为 9设函数 cot z在原点的去心邻域 0 z R 内的洛朗展开式为洛朗级数收敛域的外半径 R 10函数 在 1 z i 内的洛朗展开式为cnzn ，那么该n三、若函数 1 在 z 0 处的泰勒展开式为 anzn ，则称 an 为菲波那契(Fibonacci) 数列，试确定 an满足的递推关系式，并明确给出 an的表达式四、试证明1 ez 1 e z 1 z e z ( z );2 (3 e) z ez 1 (e 1) z ( z 1);n五、设函数 f ( z) 在圆域 z R 内解析， Snk0f ( k ) (0) zk 试证20r (f ( )n 1 z

32、n 1 dzn n 1 22 i rR 时2 02复变函数测验题1 Sn ( z)2 f (z）12 iSn ( z)f ( )rzn 12 in 1 ( z r R ) .n 1 z)d ( z r R )。六、设幂级数 n 2zn 的和函数，并计算n1n 2 之值 .七、设 f ( z)a nz n ( z R1 ), g( z)n0bnzn ( z R2 ) ，则对任意的n0r (0 r R1 ) ，在 z rR 2 内 anbnznn01 f ( ) g( z ) d 。八、设在 z R 内解析的函数 f ( z) 有泰勒展开式 f ( z) a0 a1z a 2z2 an zn试证当

33、 0 r 1 2f (re i) dan 2 r 2n .n021z2z 3九、将函数z(z 1)复变函数测验题ln( 2 z) 在 0 z 1 1 内展开成洛朗级数 .十、试证在1e z c00 z 内下列展开式成立：n 1 zcn ( zn 1n ) 其中 cn1 0 e2 cos cosn d (n 0, 1,2 , ) .第五章 留 数一、选择题：1函数 cot z 在 z i 2 内的奇点个数为 ( )（A） 1 （B） 2 （C） 32设函数 f ( z)与 g(z)分别以 z a 为本性奇点与 m 级极点，则f ( z) g( z)的( )（A）可去奇点 （B）本性奇点（C） m

34、 级极点 （D）小于 m 级的极点（D） 4z a 为函数22z 11是函数 ( z 1)sin 的(zz ez 1 zsin z cosz 1 1f ( z)（A） f (z) 2 （B） f (z)3设 z 0 为函数（A） 51 ex2的 m 级极点，那么 m ( ) z4 sin z（B） 4 (C)34 z 1 )(A) 可去奇点 （B）一级极点（C） 一级零点 （D）本性奇点z5 z 是函数 3 2z2 z3 的( )(A) 可去奇点（ B）一级极点（C） 二级极点 （D）本性奇点6设 f (z) anzn 在 z R 内解析， k 为正整数，那么 n 0（A） ak （B） k

35、! ak （C） ak 1复变函数测验题（D） 2Re s f (kz) ,0 ( )（ D） (k 1)! ak 17设 z a 为解析函数 f ( z) 的 m 级零点，那么 Re s f ( z) , a ( )(A) m （B） m （C） m 1 （D） (m 1)8在下列函数中， Re s f ( z),0 0 的是（ ）ez 1 sin z 1z z z（C） f (z) (D) f (z)23zQ( z)n! 0 dz n ( zi3 3 323i2i6复变函数测验题9下列命题中，正确的是 ( )（A） 设 f (z) (z z0 ) m ( z)， ( z) 在 z0 点解析

36、， m 为自然数，则 z0 为 f ( z)的 m 级极点（ B） 如果无穷远点 是函数 f (z) 的可去奇点，那么 Re s f (z), 0（C） 若 z 0 为偶函数 f ( z) 的一个孤立奇点，则 Re s f (z),0 0（ D） 若 c f (z)dz 0 ，则 f (z) 在 c 内无奇点10 Re s z3 cos , ( )（A） 2 （B） 2 （C） 2 i （D）111 Re s z2ez i , i ( )（A） 1 i（B） 5 i6（ C） 1 i6（D） 5 612下列命题中，不正确的是 ( )（A）若 z0 ( ) 是 f ( z) 的可去奇点或解析点，

37、则 Re s f ( z), z0 0（B）若 P( z) 与 Q( z) 在 z0 解析， z0 为Q( z) 的一级零点，则Re s P ( z) , z0 P (z0 )Q ( z0 )（C）若 z0 为 f ( z) 的 m 级极点， n m 为自然数，则Re s f ( z), z0 1 d n z0 ) n 1 f ( z)241z 2 zn113 z10 11 z2 12 in5111 23iz复变函数测验题（D）如果无穷远点 为 f (z) 的一级极点，则 z 0为 f ( 1) 的一级极点，并且Re s f ( z),13设 nz 0 z lim zf ( )1为正整数，则d

38、z ( )(A) 014积分z（A） 015积分 z（B） 2 iz9 dz ( )2（B） 2 iz sin dz ( )（C）（C） 10（ D） 2n ii（D）（A） 0 （B） （C）6二、填空题1设 z 0 为函数 z3 sin z3 的 m 级零点，那么 m2函数 f ( z)211 1在其孤立奇点 zk ( k 0,cos z kRe s f ( z), zk 3设函数 f (z) exp z 2 z2 ，则 Re s f ( z),0（D） i, , )处的留数25z5zsin zz(a 0)x 10 x 92 x 2x1 coszf ( z) f (z)1 z22zz 1

39、sin z1 xxe ix复变函数测验题4设 z a 为函数 f (z) 的m 级极点，那么 Re s ,a5双曲正切函数 tanh z 在其孤立奇点处的留数为 6设 f (z) ，则 Re s f (z), 7设 f (z) ，则 Re s f ( z),0 18积分 z3ezdz z19积分 1 dz 10积分 2 dx 三、计算积分1 (ez 1 z)2 dz4四、利用留数计算积分d0 a 2 sin 2五、利用留数计算积分4 2 dx六、利用留数计算下列积分：26f (z)tx 2 1 x 2 1复变函数测验题 0 x sin x cos2x dx cos(x 1) dx七、设 a为

40、f ( z) 的孤立奇点， m 为正整数，试证 a 为 f (z) 的 m 级极点的充要条件是 ( z a)m f (z) b ，其中 b 0 为有限数八、设 a为 f ( z) 的孤立奇点，试证：若 f (z) 是奇函数，则 Re s f ( z), a Re s f ( z), a ；若 f (z) 是偶函数，则Re s f ( z), a Re s f ( z), a九、设 f ( z) 以a 为简单极点，且在 a 处的留数为 A，证明 ma 1 f ( z) 21.A十、若函数 (z)在 z 1 上解析，当 z 为实数时， (z) 取实数而且 (0) 0，f ( x , y) 表示 (

41、 x iy ) 的虚部，试证明2 t sin 0 1 2t cos2 f (cos ,sin )d (t )( 1 t 1)2721复变函数测验题第一章 复数与复变函数一、 1（ B）（ B）（ A）10（ C）11（ B）15（ A）二、 1 2 z 22 （ A） 3 （ D） 4（ D） （ B）12 （ C） 13 （ D） 142 arctan 8 3 1 2i 4 e 16 iz 2 5 （或(5 2 32 2x 2 y 2) ( )21） x（ C）（ D）（ C）5 3 32 y 21 1 2i ,2 i 三、 5 2 , 5 2 （或四、 当0 a 1 时解为 (1 当 1

42、a 时解为 (Re(w) 10 7 2i5 2 z 2 5 2 ）1 a )i 或 ( 1 a 1)1 a 1) .28215217221 .15复变函数测验题六、 像的参数方程为u 17 cosv sin0 2 表示 w 平面上的椭圆u2( )v22 ( ) 2十、 1 f ( z) 在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；2 f ( z) 在复平面处处连续 .第二章 解析函数一、 1（ B） 2 （ B） 3 （ D） 4 （ C）（ A）（ C） （ C） （ C） （ A）10（ D）11（ A） 12 （ C） 13 （ D） 14 （ B）15（ C）二、填空题291479x x2

43、 u 2vx 2 x y ,2u x yu v2v x 2复变函数测验题四、五、七、十、1 i 2常数 3 , 可微且满足4 827 27 i 5 x 2y 2 2xyi ic 或 z2 ic， c 为实常数 6 i438 2(cos 4arctan1 f ( z)dw 2w dz 3w 22k42k4i sin 4 ), k 0,1,2,38 e 2k (k 0 , 1 , 2 , )2 f ( z) ( z 1)ez .,e10 2k i (k 0, 1, 2 , )sin z;z2z1d 2wdz 2f (z)z 2kdwdz26w( )23w4dwdz2zzz2 28w 6e w 12

44、w 2 3ezw 2(3w 2z)z4e 2ezz.2iez2 (1 i )c . c 为任意实常数 .i ln 4 (k 0 , 1, 2 , ) .第三章 复变函数的积分一、 1（ D） 2 （ D） 3 （ B） 4 （ C）（ B）30.8 ( y 2（ A） （ C） （ A）10（ C）11（ C） 12 （ D） 13 （ D）15（ B）复变函数测验题（ A）14 （ C）二、 1 27解析三、 1当 02 0 .六、 2 i2 10 i 3 0 4 6 i 5 i 126平均值1 2 x 2 ) C 9 3 10 u( x , y)R 1 时， 0； 当 1 R 2时， 8

45、i； 当 2 R 时， 0 .七、 0 .八、 (z z 1十、 f (z)z2 f (z)1) 2 dz 8 i ,202cos2 f (ei )d 2 .2c1 ln z c2 ic 3 （ c1 , c2 , c 3 为任意实常数） .31n!2 i z z0 r ( z z HYPERLINK l _bookmark7 0 )三、六、0 n! z n n 0 n!0 2n 15 2 21 16 .10复变函数测验题一、 1（ C）（ D）（ D）10（ B）11（ D）15（ C）二、 1发散4 1 f ( n ) ( z0 ) (n第四章 级 数2 （ C） 3 （ D） 4（ B）

46、 （ A）12 （ B） 13 （ B） 1422 R2 R1 320, 1,2, ) 或（ 1 f ( z)n 1 dz (n 0,1,2,（ A）（ C）（ A）0 r d ) ）5n8na0anf (z)( 1) n z2n 1 ( z 1)1 1 1 zn 9a1 1,a n a n 1 an 2 (n( 5 ) n 1 ( 1 5z(1 z)(1 z)3 ，R622)，) n 1 ( n7 1 z 1 2( 1) n i nn 0 ( z i )n 20,1,2, ) .32九、n 0 k 0 n k 1n复变函数测验题ln( 2 z) 1 1. z( z 1) z 1 zln( 2

47、 z) ( ( 1) k 1 )( z 1) n第五章 留 数一、 1（ D）（ B）（ C）10（ A）11（ B）15（ C）二、 1 9 26 2 7三、 16 i . 32 （ B） 3 （ C） 4 （ D）（ A） （ D） （ C）12 （ D） 13 （ A） 14 （ B）( k1241)2ik3 0)2812e4 m 5 19 2 i 10 i334 ee e3.复变函数测验题四、.a a2 1五、 512六、 ( 4 ) cos 1e .34( ) i精心整理习题一答案1 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：1 3i1（ 1）13 2i（3） i解：（ 1）

48、z因此： Rez（2） (i（4） i13 2i3,13132i1)(i 2) i 8 4i 21 i3 2i，13Im z ，（2） z1(i 因此， Rez（3） z i因此， Rez （4） z i1 i 2 24i,10 10，, ，3 2i i 3 i1)(i 2) 1 3i 103 Im z 1 ，3i i 3 3i 3 5i，3 Im z 58 21 i 1 4i i 1 3i因此， Rez 1, Im z 3，2 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（ 1） i （2）（4） r (cos解：（ 1） i（2） 12 2 i3 32 2i1 3i （3） r (sin i c

49、os )i sin ) （5） 1 cos i sin (0cos i sin e223i 2(cos i sin ) 2e3（3） r (sin（4） r (cos（5） 1 cos2 22 2 2i cos ) rcos( ) i sin( )i sin ) rcos( ) i sin( ) rei sin 2sin 2 2i sin cos页脚内容2 )re 2i2 24 6446 66 12 12k i4 42 z21 i6 6（3） （4）（3）精心整理3 求下列各式的值：（ 1） ( 3 i)5 （2） (1 i )100 (1 i)100(1 3i )(cos i sin ) (

50、cos5 i sin 5 ) 2(1 i )(cos i sin ) (cos3 i sin 3 )3（5） 3 i （6） 1 i解：（ 1） ( 3 i )5 2(cos( ) i sin( )5（2） (1 i )100 (1 i)100 (2i )50 ( 2i )50 2(2)50 251(1 3i )(cos i sin )(1 i )(cos i sin )（4）（ 5）（6）(cos5(cos3i sin 5 )2 i sin 3 )33 i 3 cos i sin41 i 2(cos4i sin )4 设 z1 , z2 3 i , 试用三角形式表示 z1z2 与 z1解：

51、z1 cos 4 i sinz1z2 2cos( )5 解下列方程：（ 1） (z i )5 1 （2）, z2i sin(z4 a42cos( ) i sin( ) ，所以) 2(cos i sin )，0 ( a 0)解：（ 1）z 5 1 （2） zz i 5 1, 由此2i e5 i， (ka 4 a4 (cos0,1,2,3,4)i sin )页脚内容4a12k ) i sin (4a a a其次，因 x1 aba b1a b a b a b 1精心整理acos (1 i ),21 2k ) ，当 k 0,1,2,3 时，对应的 4 个根分别为：( 1 i), ( 1 i ), (1

52、 i)2 2 26 证明下列各题：（ 1）设 z x iy , 则证明：首先，显然有 z x2 y2 x2 y2 2 x y , 固此有 2(x2从而 z x2x yy2 。2（2）对任意复数 z1 , z2 , 有 z1 z2 2 z1zx y2y ； y2 ) ( xx yy )2 ,2 z2 2 2Re( z1 z2 )证明：验证即可，首先左端 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2，而右端 x12 y12 x22 y22 2Re( x1 iy1 )( x2 iy2 ) x12 y12 x22 y22 2( x1x2 y1y2 ) ( x1 x2 )2 ( y1由此，左端 =右端，即

53、原式成立。y2 )2，（3）若 a bi 是实系数代数方程 a0 zn a1zn 1 L an 1z a0 0的一个根，那么 a bi 也是它的一个根。证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，zn ( z)n ，由此得到： a0 (z)n a1( z)n 1 L由此说明：若 z为实系数代数方程的一个根，则（4）若 a 1,则 b a , 皆有 aan 1 z a0 0z也是。结论得证。证明：根据已知条件，有 aa 1，因此：1 ab aa ab（5）若 a 1, b页脚内容a(a b)1，则有a，证毕。aa b1 ab2 2nzn 应为 a 的单位化向量，由此，

54、zn az3 z1z3 z1z2 z1精心整理证明： a b 221 ab (1 因为 a 1, a 2 b 2 a因而 a b 2(a b)( aab)(1 ab)b1，所以，b 1 (121 ab ，即b) a 2 b 2 ab ab，1 a 2 b 2 ab ab，a 2 )( ba b1 ab21) 0，1，结论得证。7 设 z 1,试写出使 z a 达到最大的 z 的表达式，其中 n为正整数， a 为复数。 解：首先，由复数的三角不等式有 zn a zn a 1 a ，在上面两个不等式都取等号时 zn a 达到最大，为此，需要取 zn 与 a 同向且 zn 1，即a ，8 试用 z1

55、 , z2 , z3 来表述使这三个点共线的条件。解：要使三点共线，那么用向量表示时， z2 z1 与 z3 z1应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差 0或 的整数倍，再由复数的除法运算规则知 Arg 应为 0或 的整数倍，至此得到：z1 , z2 , z3 三个点共线的条件是 z2 z1 为实数。9 写出过 z1 , z2 (z1 z2 ) 两点的直线的复参数方程。 解：过两点的直线的实参数方程为：x x1 t( x2 x1 )y y1 t( y2 y1)，因而，复参数方程为：其中 t 为实参数。10下列参数方程表示什么曲线？（其中 t 为实参数）页脚内容t1ta b2122 2i0，

56、zz ，由此2 2iA Bi A Bi2 2A Bi A Bi2 2a精心整理i（ 1） z (1 i )t （2） z a cost ib sin t （3） z t解：只需化为实参数方程即可。（ 1） x t , y t ，因而表示直线 y x（2） x a cost , y bsin t ，因而表示椭圆 x2 y2 1（3） x t , y ，因而表示双曲线 xy 111证明复平面上的圆周方程可表示为 zz az az c 0，其中 a为复常数， c为实常数证明：圆周的实方程可表示为： x2 y2 Ax By c代入 x z z , y z z ，并注意到 x2 y2 z 2zz A z

57、 z B z z c 0，整理，得 zz z z c 0记 a ，则，由此得到zz az az c 0 ，结论得证。12证明：幅角主值函数 arg z在原点及负实轴上不连续。证明：首先， arg z在原点无定义，因而不连续。对于 x0 0，由 argz 的定义不难看出，当 z 由实轴上方趋于 x0 时， argz ，而当 zz x0由实轴下方趋于 x0 时， argz ，由此说明 lim argz不存在，因而 arg z在 x0 点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。13函数 w 解：对于 x把z平面上的曲线 x z1，其方程可表示为 z1和 x2 y2 4分别映成 w平面中的什么曲线？1

58、yi ，代入映射函数中，得页脚内容2 2 4cos , v sin4 41 y2 2 21 y 1 y2对于 xz 1 iy 1 y2 ，1 y精心整理1 1 1 iyw u iv因而映成的像曲线的方程为 u 2 , v ，消去参数 y ，得u2 v2 1 u , 即 (u 1)2 v2 (1)2 , 表示一个圆周。2 y2 4 ，其方程可表示为 z x iy 2cos 2i sin代入映射函数中，得因而映成的像曲线的方程为 u 1 1 ，消去参数 ，得 u2 v2 1 ，表1示一半径为 的圆周。214指出下列各题中点 z的轨迹或所表示的点集，并做图：解：（ 1） z z0 r (r 0) ，

59、说明动点到 z0 的距离为一常数，因而表示圆心为 z0 ，半 径为 r 的圆周。（2） z z0 r , 是由到 z0 的距离大于或等于 r 的点构成的集合，即圆心为 z0 半径为 r 的圆周及圆周外部的点集。（3） z 1 z 3 8,说明动点到两个固定点 1和 3 的距离之和为一常数，因而表示一个 椭圆。代入 z x iy , 化为实方程得（4） z i z i , 说明动点到 i 和 i 的距离相等，因而是 i 和 i 连线的垂直平分线，即x轴。（5） arg(z i) ，幅角为一常数，因而表示以 i 为顶点的与 x轴正向夹角为 的射线。15做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界

60、还是无界，单连通还是多连通。（ 1） 2 z 3，以原点为心，内、外圆半径分别为 2、 3 的圆环区域，有界，多连通（2） arg z (0 2 ) ，顶点在原点，两条边的倾角分别为 , 的角形区域，无界，单连通页脚内容z 232 1，化为实方程为 4x1517（4） z2的奇点为z精心整理（3） 1，显然 z 2，并且原不等式等价于 z 3到 2 的距离大，因此原不等式表示 2 与 3 连线的垂直平分线即的点构成的集合，是一无界，多连通区域。z 2 ，说明 z到 3 的距离比x 2.5 左边部分除掉 x 2 后（4） z 2 z 2 1，显然该区域的边界为双曲线 z z 2 24 y2 1，