专题02非线性回归方程原卷版

1、专题2非线性回归方程例1.某景区的各景点从 2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构， 促进了该市旅游向 观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变.下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数 y （万人）与年份x的数据：第x年12345678910旅游人数.（万 人）300283321345372435486527622800该景点为了预测 2021年的旅游人数，建立了 y与x的两个回归模型：模型：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程y? 50.8x 169.7；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线

2、y aebx的附近.（1）根据表中数据，求模型的回归方程？ aebx . （a精确到个位，b精确到0.01） .（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数 R2 ,并选择拟合精度更高、 更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）回归方程 y 50a 169.7/aebx10/2(yiyi)i考公式、参考数据及说明:v的斜率和截距的最小二乘法对于一组数据(v1,w1),(v2 ,w2),(vn,wn),其回归直线wn(wi w)(vi v)估计分别为U, ? w ?v .n,2 (vi v)i 1 n(yi y。2刻画回归效果的相关指数

3、R2 1 口n2(yiy)2i 1参考数据：e5.46235,9.434.2 .xyu10(xi x)2i 110(xi x)(yiy)i 110(xi x)(Ui u) i 15.54496.058341959.001 10 表中 ui lnyi,u 一ui .第酬曲Mg心8Mool s - fi- 5 T* 1 旅游人翻yAJbt.* *款年0 2 46 S 1012例2.近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至 2018年底，中国铁路运营里程达13.2万千米，这个数字比1949年增长了 5倍；高铁运营里程突破 2.9万千米，占世界高铁运营里程的60%以上，居世界第一位.如表截取了

4、 2012 2016年中国高铁密度的发展情况(单位：千米 /万平方千米).年份20122013201420152016年份代码12345高铁密度9.7511.4917.1420.6622.92已知高铁密度y与年份代码x之间满足关系式y axb(a ,b为大于0的常数).若对y axb两边取自然对数, 得到lny blnx lna ,可以发现lny与lnx线性相关.(1)根据所给数据，求 y关于x的回归方程(lna?, ?保留到小数点后一位)(2)利用(1)的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过30千米/万平方千米.参考公式：设具有线性相关系的两个变量x , y的一组数据为(xi , yi)(i

5、1,2, n),n(xi x)(yi y)则回归方程y bx左的系数：? u, ? y bx .n(xi x)2 i 15 5 55参考数据：lnxi*lnyi 51nx*lny0.92, (lnxi )2 5(lnx )2 1.6 , lnxi 5 , lny i 14 , 2 7.4, ln30 3.4 .例3.某公司生产一种产品， 从流水线上随机抽取 100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1):耳客Mtam”万元） 闺2产品的质量指数在50,70）的为三等品，在70,90）的为二等品，在90,110的为一等品，该产品的三、一一等品的销售利润分别为每件1.5, 3.5,5.

6、5 （单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替 产品的质量指数位于该区间的概率（1）求每件产品的平均销售利润;（2）该公司为了解年营销费用 x （单位：万元）对年销售量 y （单位：万件）的影响，对近 5年的年营销费用X和年销售量y（i 1,2,3,4,5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值5Ui i 15Vi i 15Ui UViVi 15 - 2 Ui ui 116.3024.870.411.64-1 5- 1 5表中 Uiln Xi, v In yi , u 二 U , v 二 m5 i 15 i 1根据散点图判断，y axb可以作为年销售量y （

7、万件）关于年营销费用 x （万元）的回归方程.（i）建立y关于x的回归方程;（i）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取e4.159 64 ）参考公式：对于一组数据：（Ui,Vi） ,（U2,V2）,，（Un,Vn）,其回归直线VU的斜率和截距的最小乘估计分别为 TOC o 1-5 h z n_ HYPERLINK l bookmark20 o Current Document (Ui u)(Viv)i 1a _n Z ， v u(UiU)2i 1例4.近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车

8、、共享汽车之后,共享房屋以民宿”、农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色农家乐”，为了确定未来发展方向， 此创业者对该景区附近六家农家乐”跟踪调查了 100天.得到的统计数（1）若从以上六家 农家乐”中随机抽取两家深入调查，记 为 入住率”超过0.6的农家乐的个数，求 的概据如下表，X为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：），以频率作为各自的 入住率”，收费标准X率分布列；（2）令z lnx,由散点图判断 ？ & ?与？ 必 a哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程.（/结果保留一位小数）温度x/ C1

9、2141618202224繁殖数量y/个2025332751112194度X（单位：C）变化的规律，收集数据如下:对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示:xyk7_ 2xixi 17 2kiki 17x x yi yi 17xixkiki 118663.81124.3142820.5（3）若一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额L最大？（年销售额L 365入住率收费标准x）参考数据：b?n_ix x nx yn 22i 1Xinx6y bx,x 200,y 0.45,x2 325000, zi 165.1, yz 12.7, i 16 2Zi i 1158.1,3

10、e 148.4例5.已知某种细菌的适宜生长温度为10 C 25 C ,为了研究该种细菌的繁殖数量y （单位：个）随温1 7 其中 kilnx , k - ki.7 i 1(1)请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y bx a与y Ge2哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型(结果精确到 0.1)；(2)当温度为25 C时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据u,Vi i 1,2,3,., n ,其回归线。 %?的斜率和截距的最小二乘估计分别nUi u (Vi V)为：？ J-Ln, 3 v?U .参考数据：e5.5 245.(Ui U)2 i 1D (

11、单位：分贝)例6.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度与声音能量(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度D1和声音能量Ii(i=1,2，10)数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值的却4nw M1O声音强度/分贝01020 304050声音能量R 口二用c加rDW10一 2(li I)i 1102(W W)I 1111.04 1045.711.5211.56 100.5110(li)(DiD)i 110(W W)(Di D)i 1116.88 105.11 10 表中 Wilg li , W Wi。10 i 1(1)根据散点图判断， D

12、ai bil与D a2 b? lg I哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据表中数据，求声音强度 D关于声音能量的回归方程;(3)当声音强度大于 60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两Il与I2之和。请根 TOC o 1-5 h z 1 4jo个声源的声音能量分别是 I1和I2,且丁 10 .己知点P的声音能量等于声音能量 1 11 2据(1)中的回归方程，判断 P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由。附：对于一组数据 U1,V1 , U2,V2 , Un,Vn .其回归直线V a u的斜率和截距的最小二

13、乘估计分别为:n HYPERLINK l bookmark40 o Current Document Uj uViVi 1n2Uiu例7.某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量 ？单位：亿元)对年销售额？单位：亿元)的影响 该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：？?= ?+ ?？?= e?+?其中？?？为常数，e为自然对数的底数. Jt JTlliKKr兄元 . 7S.* 4 60心J3 15 W 拈 30年慢集全此元现该公司收集了近12年的年研发资金投入量 ？?年销售额？?数据，？= 1,2,? ,12,并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计

14、量的值.令?= ?2?= ln?= 1,2,? ,12),经计算得如下数据：?12E (? ?2?=112E (?- ?2?=1?20667702004604.2012汇(? ?2?=112(?驾(?加?=112E (? ?=112E (? ? ?=13125000215000.30814(1)设?和?分的相关系数为？?，?%和?分的相关系数为？?，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2) (i)根据(1)的选择及表中数据，建立 ？关于？的回归方程(系数精确到0.01);(ii)若下一年销售额？需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量？是多少亿元?k ? ? ?附：相关系数？N

15、 ? ?第W)(；?2,回归直线？?= ?+ ?斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: VE ?=(?)2 ?=*?)2_?E?_1(?)(?)?= .T?. ?= ?Z ? ?、,； ；CA*E ?=(?)2， 参考数据：308 = 4 X77, 沟=9.4868 , e44998 =90.(1)请根据散点图判断，y ax b与y例8.习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行 绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展。以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图:年份20132014201520162017年份代码X12345新能源乘用车年

16、销量 y (万辆)1.55.917.732.955.62cx d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型？整合出判断即可，不必说明理由 )(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测 2018年我国新能源乘用车的销售量(精确到0.1).附：1.最小二乘法估计公式:w_(ti t)(yi y)B J,2 y 侪(ti t)2i 1y5_ 2(wi w)i 15(x x)(yi y)i 15(wi w)( yi y)i 122.72374135.2851.2,2其中W xi例9.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年

17、销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用 为与年销售量b i 1,2,10的数据，得到 散点图如图所示:年千万件年研发期用力千万元（i）利用散点图判断， y a bx和y c xd （其中c, d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）（i）对数据作出如下处理：令Ui lnx, i ln y,得到相关统计量的值如下表:10 J.L L10IYuL10A J - - JI50.51515465根据（i）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程;27（i）已知企业年利润Z （单位：千万元）与X, y的关系为Zy

18、 x （其中 e 2.71828 ），根据（i） e的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据Ui, i ,必，2，4, n ,其回归直线U的斜率和截距的最小二乘估计分别为n_ nUj u 5 i nu TOC o 1-5 h z ? i 1i 1?一n2二,? ?u一2一2ui uui nu HYPERLINK l bookmark54 o Current Document i 1i 1.某网络旧货交易平台对2018年某种例10.近年来随着互联网的高速发展，旧货交易市场也得以快速发展机械设备的线上交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，和如图所示的散点图.现把直方图中各组的频率视为概率，用 x （单位：年）表示该设备的使用时间，y （单位：万元）表示其相应的平均交易价格.（1）已知2018年在此网络旧货交易平台成交的该种机械设备为100台，现从这100台设备中，按分层抽样抽取使用时间X 12,20的4台设备，再从这4台设备中随机抽取 2台，求这2台设备的使用时间都在12,16的概率.（2）由散点图分析后，可用y ebx a作为此网络旧货交易平台上该