3-33区间估计-PPT课件

1、第三节 区间估计四、大样本置信区间五、两个正态总体下的置信区间一、置信区间的定义二、置信区间的求法 枢轴量法三、单个正态总体参数的置信区间问题: 想象你经营一个食品商店.问能否根据下面的市场调查结果进行决策:(1) 点估计: 软饮料的每日平均需求量是 300 瓶;(2) 软饮料的每日平均需求量是每日 300 50 瓶.一、 区间估计的定义满足 定义1: 设是一个待估参数，对给定的 (01)，若由样本 X1, X2, Xn 确定的两个统计量则称区间 是的置信水平(置信度)为1- 的置信区间(confidence interval).分别称为(双侧)置信下限和置信上限. 注1: 对参数作区间估计，

2、就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量) 一旦有了样本，就把估计在区间 内 .注2: 置信水平 1- 的频率解释: 在很多次的区间估计的观测值中, 至少有 100 (1- )% 次包含. 置信区间 (95% 的置信区间)重复构造出 的 20 个置信区间点估计值注3: 要求以很大的可能被包含在区间内，即概率 要尽可能大 .也就是要求估计尽量可靠. 估计的精度要尽可能的高. 即要求区间长度 尽可能短.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.（）（）（）（）置信区间过宽,虽然包含真值,但抽样误差过大:置信区间也有可能不覆盖真值：实际工作时的情形，只有一次抽样：置信

3、度高,则结论更可靠置信区间的意义：估计抽样误差有时在实际中常用的还有单侧置信区间:则称 是的置信水平为 1- 的(单侧)置信下限. 定义3: 设 是统计量, 若对给定的(0 1)，对任意的,有则称 是的置信水平为1- 的(单侧)置信上限. 定义4: 设 是统计量, 若对给定的(01), 对任意的, 有思考: 如果一条广告说，某药品的有效率为80%，其误差为正负3%，你相信这条广告吗？这条广告的发布者隐瞒了什么信息？在求置信区间时最常用的方法是枢轴量法. 步骤如下:二、置信区间的求法-枢轴量法1、设法构造一个样本和的函数 G = G( X1 ,., Xn ,) , 使得 G 的分布为已知（即不依

4、赖于未知参数）. 称 G 为枢轴量.2、适当地选择两个常数 c、d, 使对给定的(0 1), 有3、将 进行不等式变形化为 , 则有最后的 就是的水平为1- 的置信区间.注: （常用点估计） 总体均值 的点估计为 ; 总体方差2 的点估计为 S 2 ； 总体方差 的点估计为 S 。求参数 的置信度为 的置信区间. 例如: 设 X1, Xn 是取自 的样本， 1、明确问题,是求哪个参数的置信区间?置信水平是多少？2、寻找未知参数的一个良好估计.解：三、单个正态总体的置信区间 选 的点估计为 , 3、寻找一个待估参数和样本的函数，要求其分布为已知.4、对于给定的置信水平, 根据G 的分布，确定一个

5、区间, 使得G取值于该区间的概率为置信水平. N(0, 1)对给定的置信水平1- ，查正态分布表得使 5、变形可得未知参数的置信区间.变形为也可简记为于是所求的置信度为1-的置信区间为注：我们总是希望置信区间尽可能短. 在概率密度为单峰且对称的情形，一般当 c =-d 时求得的置信区间的长度为最短.在概率密度不对称的情形，如 分布，F分布，习惯上仍取对称(即等尾）的分位点来计算未知参数的置信区间.注1: 满足置信度要求的 c, d 通常不唯一.若有可能, 应选择平均长度 达到最短的 c 与 d , 这在 G 的分布为单峰且对称分布通常容易实现. c =-d/2/2注2: 实际中, 选平均长度最

6、短的 c, d 很难实现. 因此常选择这样的 c, d, 使得两个尾部概率各为/2, 即:这样的置信区间称为等尾置信区间. 这是在G的分布为偏态分布场合常采用的方法. 如:由确定故 的置信区间为(2)推导 选取枢轴量(3)推导 选取枢轴量得 2 的置信区间为 则由单个正态总体置信区间常用公式(1) 方差 2已知, 的置信区间(2) 方差 2未知 , 的置信区间 (3) 当 未知时, 方差 2 的置信区间注：两边开方即得到 的置信区间(4) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间（这种情况在实际中很少）取枢轴量 ，得 2 的置信度为 置信区间为 由概率总体均值的区间估计(例题分析)【 例1 】一家

7、食品生产企业以生产袋装食品为主，为对食品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。解：已知N(，102)，n = 25, 1- = 95%， u1-/2=1.96。根据样本数据计算得： 。由于是正态总体，且方差已知。总体均值 在 1- 置信水平下的置信区间为 该食品平均重量的置信区间为101.44g109.28g。【例2】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命

8、(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。总体均值的区间估计(例题分析)解：已知 N(，2)，n=16, 1- = 95%，t1-/2=2.131 根据样本数据计算得： ， 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h1503.2h。【例3】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间 。总体方差的区间估计(例题分析)解:已知n25，1-95% ,根据样本数据计算得 s2 =93.21 2置信度为9

9、5%的置信区间为 该企业生产的食品总体重量标准差的置信区间为7.54g13.43g。估计总体均值时样本量的确定 (例题分析)【例4】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本量？解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， u1-/2=1.96 应抽取的样本量为即应抽取97人作为样本。 四、大样本置信区间 若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限定理, 可近似地视为对给定的置信度1 - , 则 EX 的置信区间可取为若2 未知, 则 EX 的置信区间可取为总体均值的区间估计(例题

10、分析)【例5】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间. 解：已知n=36, 1- = 90%，u1-/2=1.645。根据样本数据计算得： ， 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁41.63岁五. 总体比率的置信区间 (大样本)总体比率 Population Proportion : p样本比率 Sample Proportion: 如果是大样本，则： 其中 q = (1-p)因此总体比率的置信区间置信度为(1-)的置信区间为：由于 p 和 q 都是未知的，因此置信

11、区间近似为： 例6：某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100名下岗职工，其中65人为女性。试估计该城市下岗职工中女性比例，并指出估计误差。置信水平要求为95%。已知 n=100, = 0.05, 置信区间为：65% 9.35%下岗职工中女性比例为65%。估计误差为9.35%。置信区间的内涵：区间 置信度降低置信度可以使置信区间变窄（误导读者）例题：一项有10000个人回答调查，同意某种观点的人的比例为70%（有7000人同意），可以算出总体中同意该观点的比例的95%置信区间为（0.691,0.709)；另一个调查者调查了50个人。他声称有70%的比例反对该种观点，并说总体中反对

12、该观点的置信区间也是（0.691,0.709)；所以，第二个调查的置信区间的置信度仅为11%。例题：如果在置信度不变的情况下，你要使目前所得到的置信区间的长度减少一半，样本量应增加到目前样本量的多少倍？如果保持置信区间的长度不变，样本量的增加会使什么发生变化？因此由于：样本量应增加到目前样本量的4倍。如果保持置信区间的长度不变，样本量的增加会使置信度增加。来自现实世界的数据量越大，我们对现实世界的了解就越清楚为取自总体 N ( 1 12 ) 的样本,为取自总体 N ( 2 22 ) 的样本,置信度为 1 ,以下分别讨论两均值差和两方差比的置信区间.分别表示两样本的均值与方差.五、两个正态总体的

13、置信区间的置信区间为(1) 已知时, 的置信区间(一)(2) 未知, 但的置信区间为相互独立的简单随机样本.则设与分别是来自正态总体与的两个总体均值之差的估计(例题分析)【例6】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间(单位：min)下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间。21解: 根据样本数据计算得 合并估计量为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14min7.26min。(二) 方差比的置信区间 ( 1 , 2 未知)

14、为两个总体方差比的区间估计(例题分析)【例7】为了研究男女学生在生活费支出(单位：元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果 男学生： 女学生： 试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间。 解:根据自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505 12 /22 置信度为90%的置信区间为男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.471.84 。例8 某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱. 现分别 从两条流水线上抽取了容量分别为 13 与 17 的两个相互独立的样本 与

15、已知假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布, 其均值分别为 1与 2 , 若不知它们的方差是否相同, 求它们的方差比的置信度为0.95的置信区间.(1) 若它们的方差相同,求均值差的置信度为0.95 的置信区间;解查表得由公式 的置信区间为(1) 取枢轴量(2) 枢轴量为查表得 由公式得方差比 的置信区间为单侧置信区间设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值的置信水平为 0.95 的同等单侧置信下限.例9 从一批灯泡中随机抽取 5 只作寿命试验，测得寿命 X（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280方差 未知,解： 的点估计取为样本均值 , 对给定的置信水平

16、 确定分位点使即 由样本值得1065 小时。即的置信水平为1-的单侧置信下限为的置信水平为0.95的单侧置信下限是查表得EXCEL中命令说明： “=NORMSDIST(z)” 表示 N(0,1) 的分布函数值“=CHIDIST(x,deg_freedom)”表示卡方分布x 的概率“=TDIST(x,deg_freedom,tails)”表示t 分布x 的概率“=FDIST(x,deg_freedom1, deg_freedom2)” 表示F分布x 的概率“tails”取值为1或2EXCEL中命令说明： “=NORMSDIST(z)” 表示 N(0,1) 的分布函数值“=CHIDIST(x,de

17、g_freedom)”表示卡方分布x 的概率“=TDIST(x,deg_freedom,tails)”表示t 分布x 的概率“=FDIST(x,deg_freedom1, deg_freedom2)” 表示F分布x 的概率“tails”取值为1或2EXCEL中命令说明： “=NORMSINV(0.95)” 表示 N(0,1) 的0.95 分位数“=CHIINV(0.05, n)”表示卡方分布的0.95 分位数“=TINV(0.1, n)”表示 t 分布的 0.95 分位数“=FINV(0.05,m, n)” 表示 F 分布的0.95 分位数重要知识点：参数估计点估计矩估计点估计的评价标准：无偏性区间估计最大似然估计枢轴量法正态分布总体情形重要结论：矩估计三部曲求解总体矩（一般来说，有几个参数就求几阶矩，得到的一定是参数的函数）用样本矩