高考数学复习选填题专项练习16---球(解析版)

1、高考数学复习选填题专项练习16球第i卷（选择题）一、单选题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。1. （2019湖南长沙一中高三月考（文）某球中内接一个圆柱，其俯视图如图所示，为两个同心圆，半径之比为1 : 2,则该圆柱与球的体积的比值为（）C百16A.C,也D.0 3 .3B.一16【分析】根据球和圆柱的半径求出球心到圆柱底面的距离，从而得出圆柱的高，再由圆柱的体积公式以及 球的体积公式求解即可.【详解】设该圆柱和球的半径分别为r,R ,则R 2r ,球心到圆柱底面的距离为 JR （2020宁夏银川一中高三月考（理）已知正四面体 A

2、BCD的棱长为J3,则其外接球的体积为（ r2 J3r ,即该圆柱的高为2屏,则该圆柱与球的体积的比值为r2 2j3r:4 2r 3 3/3:16,故选：B3【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式以及球的体积公式，属于基础题【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的体积【详解】将正四面体 B1 ACD1放在正方体 ABCD A1B1C1D1中如图所示，正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为X ,由于AB73 ,即 &x所以正方体的外接球半径为1倔，3更工,所以外接球的体积为 4222 2,23392工.故选：B2,28【点睛】本小题主要考查几何体外接球

3、体积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.(2020山西高三月考(文)在三棱锥P ABC中，PA 平面ABC, PA AB 2, ACB 30 ,则三棱锥P ABC外接球的表面积为.A. 10B. 20C. 15D. 40【答案】B【解析】PA o【分析】先用正弦定理求出ABC外接圆的半径r ,然后利用R2 r2 ()2求出三棱锥P ABC外接2球的半径R,即可算出表面积.AB【详解】设 ABC外接圆的半径为r ,则2r 4, /. r = 2 ,设三棱锥P ABC外接球的半sin ACB1,22 PA 2径为R,则R2 r2 ()2 5,2故外接球的表

4、面积S 4 R2 20 .故答案为：20【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据几何体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力（2019广东高三月考（文）如图，已知球。是棱长为1的正方体ABCD ABCDi的内切球，则平面ACDi截千O的截面面积为（）AR【答案】C【解析】由题意可知：截面是MNP的外接圆，而 MNP是边长为 Y2的等边三角形,2所以外接圆sin 600也，则r盘，所以S r2365. （2019湖南长沙一中高三月考（文）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为41A. -B,-【答案】D

5、【解析】【分析】首先根据三视图还原其直观图,再根据直观图找到四棱锥外接球的球心，计算球体的半径和表面积即可.【详解】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的正方形，右侧面是腰长为 J5的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2.fi设。为球心，。1为VABC的外心，M底面的中心，D为BC的中点，因为 AB B BD 1,所以AD 5 12 54 , sin ABC 田，设VABC外接圆的半径为 52,5AO14又因为MDOOi 1 ,所以 R 12 (5)241.S 4 R2 受416441.故答案为：一 4【点睛】本题主要考查四棱锥的外接球，同时考查了三视图，将三视图还原其直观图为解

6、题的关键，属于中档题.6. （2020江西高三（理）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时,异面直线AG与BC所成角的余弦值等于（）51413C.一D.314【分析】设正三棱柱的底面边长为a ,高为h ,球的半径为 R,先得出ah 4 ,然后R22 h2ah44. 3. 3 3.3即a 33h时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出2cos DB1C【详解】设正三棱柱的底面边长为a ,高为h ,球的半径为 R,由题意知3ah 12 ,即ah 4 ,底面外接圆半径r2sin 3a,3 ,由球的截面圆性质知 R22 h2 ahr 7 73h时取等号,

7、2将三棱柱补成一四棱柱，如图，知ACiDBi ,即 DBiC为异面直线AC1与BiC所成角或补角,B1C DB1、ah2，DC邪a,所以cos DB 1c2 a2 h23a252 a2 h214【点睛】异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角7. （2020广东高三期末（理）已知三棱锥 P ABC的底面是正三角形,PAJ3，点A在侧面PBC内的射影H是PBC的垂心，当三棱锥P ABC体积最大值时，三棱锥P ABC的外接球的体积为A.9.32C. 6D.【解析】【分析】设点 O是点P在底面ABC的射影，先分析可得O是底面ABC的垂心，也是外心，则PA PB PC J3,则当PA,PB

8、, PC互相垂直时体积最大，再求得外接球的体积即可【详解】设点 D为BC的中点，则AD BC ,因为点A在侧面PBC内的射影H是 PBC的垂心，所以PA BC, PC AB,设点O是点P在底面ABC的射影 则BC 1平面PAD,所以O 一定在AD上， 因为AB PC, AB PO ,所以CO AB，所以O是底面ABC的垂心，也是外心，所以PA PB PC J3,则当PA,PB,PC互相垂直时体积最大，设球的半径为R,则 TOC o 1-5 h z 3443392RJpa2PB2PC23,所以R一，所以球的体积为VR3-一一，故选：D HYPERLINK l bookmark50 o Curre

9、nt Document 23322【点睛】本题考查棱锥的外接球体积 ，考查空间想象能力（2020 安徽六安一中高三月考 （理）在四B A BCDE中，VABC是边长为6的正三角形，BCDE 是正方形，平面 ABC 平面BCDE ,则该四棱锥的外接球的体积为（）A. 216彳兀B. 84冗C. 7后彳兀D. 28721 Tt【解析】 【分析】取BC的中点为M , N,F分别是正三角形 ABC的中心和正方形 BCDE的中心，根据已知条件可得MF，平面ABC, AM，平面BCDE ,过N, F分别做MF , AM的平行线交于 O ,则O为球心，求出ON , 即可求出外接球的半径，即可求解 .【详解】

10、取BC的中点为 M , N是正三角形 ABC的中心，F为正方形BCDE的中心，连接 AM , FM 则有 MF BC , AM BC ,平面 ABC 平面 BCDE ,平面 ABC I 平面 BCDE = BC , MF，平面 ABC,AM，平面 BCDE ,过 N, F 分别做 li/ MF , I2 / /AM ,则 li，平面 ABC, I2，平面 BCDE, li, I2交于 O ,则O为球心，OF /MN ,ON /MF , MN MF所以四边形OFMN为矩形，ON MF 3,AN 2 AM 2x/3, OA Jon 2 AN2 J32 （2拘2 J2?所以外接球的体积为4 （ 21

11、）28.21 .故选:D.3【点睛】本题考查多面体与球的接“切”问题，解题的关键是根据球的性质确定球心，考查空间想象能力,属于中档题.（2020 山东高三期末）用一个体积为 36的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（）八9.3A.2【答案】D【解析】6731827【分析】画出正三棱柱 ABC A1BC1内接于球O的直观图，设底面边长 A1B1 x,由球的体积公式得 R 3,再由勾股定理得正三棱柱的 h 20a 219 12，代入体积公式 V S h ,利用基本不等式可求得max27。【详解】如图所示，正三棱柱 ABC ABiCi内接于球。的直观图,Oi为底面

12、ABiCi的中心，因为4 R336R 3。设底面边长AiBi x，则 h 2OO12 9卷，VE三棱柱2x、(9 3)27,等号成立当且仅当3 . 2 ,故选 D.【点睛】本题以实际问题为背景，本质考查正三棱柱内接于球，考查正三棱柱体积的最值，考查空间想象 能力和运算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使问题求解计算变得更简洁。（20i9广东深圳中学高三月考（文）如图，网格纸上正方形小格的边长为i,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（iiA.12c ii不B.6C. iiD. i2Q,的外由三视图画出三棱锥的空间立体图形，利用球的性质找出球心的位置，再计算体积即可

13、 由三视图画出三棱锥 P ABC如图所示，过点 P做平面ABC的垂线，交BA的延长线于点由三视图知，PQ QA AB BC i, AB BC ,因为VABC是等腰直角三角形，所以 VABC接圆圆心为 AC的中点M ,所以MA MB MC ,设三棱锥P ABC外接球球心为 O ,则OM 平面PQ且交PQ于点N ,ABC,所以OM AC,所以OA OB OC R,只需让OP OC即可，作QN由图 OF2 NF2 NC2 OM2 MC2OC2,设 OM221NQ x ,即 1 x 23 22.2- X 223解得，X ,所以外接球半径 R2姮,所以外接球体积V2【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体

14、和求棱锥的外接球体积，考查学生的分析转化能力和空间想象 能力，属于中档题（2019安徽淮北一中高三月考（理）在三棱锥 A-BCD中，平面 ABC，平面 ADC, AD AC,AD=AC,ABC 一,若此三棱锥的外接球表面积为3A. 7B. 1228 ,则三棱锥A-BCD体积的最大值为（C. 6D.【答案】C【解析】【分析】设三棱锥 A-BCD外接球的半径为 R,三棱锥的外接球球心为 O, AABC的外心为。1,9BC的 外接圆半径为 r,取DC的中点为。2,过O2作O2E AC,则OO平面ABC, OO2,平面ADC ,连结OA, O1A,则O1A=r,设 AD = AC=b,则OO1 = O

15、2E- b,由S= 4 7tB2=28兀，解得RJ7 ,由正弦正理求出2b J3r ,若三棱锥A - BCD的体积最大，则只需 AABC的面积最大，由此能求出三棱锥A- BCD的体积的最大值.【详解】根据题意，设三棱锥A-BCD外接球的半径为 R,三棱锥的外接球球心为 O,那BC的外心为。1,ABC的外接圆半径为r,取DC的中点为。2,过O2作O2ELAC,则OO1，平面ABC , OO2,平面ADC , 如图，连结 OA, O1A,则 O1A=r,设 AD = AC=b,则 OO1=O2E 1b,由 S= 4兀12=28 0 解得 R J72在BBC中，由正弦正理得2r ,，2r,解得b J

16、3r ,在RtOAOi中，7= rACCiA的外接圆圆心分别为。1,。2，若ACA。!B, 3+ ( b) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark110 o Current Document sin ABCsin232,解得r=2, b=2j3, .AC = 2j3,若三棱锥 A-BCD的体积最大，则只需 那BC的面积最大,在 AABC 中，AC2= AB2+BC2 2?AB右C无os/ABC,12= AB2+BC2 - AB?BOAB?3C - AB?BC,解得 AB?BC12 , . Svabc HYPERLINK l bookmark114 o Curren

17、t Document -AB BC sin ABC 1 12 【答案】D J3 ,，三棱锥 A-BCD 的体积的最 22211大值:Vd ABCSvabc AD 3J3 2J3 6.故选：C. HYPERLINK l bookmark112 o Current Document 33【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力，是中档题.12.（2020四川高三月考（理）)在三棱柱 ABC ABC aa上平面ABC,记VABC和四边形202A的值为（D. 53222，且三棱柱外接球体积为 ，则O1A311C.一3【分析】如图，

18、设三棱柱的外接球的球心为0,连接001,0A.设三棱柱的高为h,外接球的半径为R,2_ 2先求出R,再求QA02 A的值.【详解】如图，设三棱柱的外接球的球心为。，连接 OO1,0A.设三棱柱的高为h,外接球的半径为 R,由题得 TOC o 1-5 h z 4 3324 R3 , R 2在直角三角形OAO1中， HYPERLINK l bookmark129 o Current Document 33一 22八2_2_2 hOA2 R2 4 ( )2 01A2, 01A2=4 一 HYPERLINK l bookmark106 o Current Document 24在直角三角形CAAi中，

19、J2h2 2OA2, OA22 上上4所以 OiA2 O2A2=5 .故选：D【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13. （2020 四川省泸县第一中学高三月考（文）三棱锥S ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形,SA面ABC, SA 2,则三棱锥SABC外接球的表面积是28【答案】3【解析】由题意可知三棱锥外接球， 即为以 ABC为底面以SA为高的正三棱柱白外接球:ABC是边长为2的正三角形， ABC的外接圆半径r 2至，球心到3ABC的外接圆圆

20、心的距离为 1,.球的半径为 乌32828外接球的表面积为,故答案为 点睛:本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径,求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用4R2 a2 b2 c2 （ a,b,c为三棱的长）；若SA2面 ABC (SA a),则 4R4r2 a2 ( r 为ABC外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球;特殊几何体可以直接找出球心和半径14. （2020山东高三期末）在直三棱柱ABC AB。中，BAC 90 且 AB V3,BBi 4 ,设其外接球的球心为O,且球。的表面积为28,则 ABC的面积为332【分析】先计算球

21、的半径为 J7,确定球心为HG的中点，根据边角关系得到 AC 3,计算面积得到答案.【详解】球。的表面积为4 R2 28 R J7 ,如图所示：H , G为BC, B1cl中点，连接HGBAC 90 ,故三角形的外心在 BC中点上，故外接球的球心为HG的中点.，在Rt OGC中: TOC o 1-5 h z 1_OG -BBi 2,OC R ，故 CG 点；在 RtABC 中：BC 2CG 273 , AB 6，故 AC 3,故SABC 逑，故答案为：巫 HYPERLINK l bookmark108 o Current Document 22【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键（2020河南高三期末（理）在矩形ABCD中，BC=4, M为BC的中点，将UBM和4CM分别沿AM,DM翻折，使点B与C重合于点P.若/APD=150。，则三棱锥M - PAD的外接球的表面积为 .【答案】68【解析】【分析】计算 3DP外接圆的半径r并假设外接球的半径为