2022年浙教版九年级数学中考一轮复习图形的相似综合压轴题专题提升训练（Word版含答案）

1、2022年春浙教版九年级数学中考复习图形的相似综合压轴题专题提升训练（附答案）1如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处折痕AE5，且tanEFC（1）求证：AFBFEC；（2）求矩形ABCD的周长；（3）若点G为线段BC上一点，当GAE45时，直接写出线段CG的长2在ABC中，ABC90，N是AB延长线上一点，点M在BC上【基础巩固】（1）如图1，若ABBC，CNAM，求证：BMBN；【变式探究】（2）如图2，若ABBC，过点B作BPAM于点P，连接CP并延长交AB于点Q求证：；【拓展提高】（3）如图3，设k（k1），M是BC的中点，过点B作BPAM于点P，连接CP并延长交

2、AB于点Q求tanBPQ的值（用含k的式子表示）3在ABC中，ACB90，AC8，BC6（1）如图1，点D为AC上一点，DEBC交AB边于点E，若，求AD及DE的长；（2）如图2，折叠ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FHAC求证：四边形AGHF是菱形；求菱形的边长；（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得CPHDPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由4在矩形ABCD中，AB2，E是AD上一点，AE1将ABE沿BE折叠，点A的对应点为F（1）如图1，若点F落在矩形ABCD的边CD上求证：BCFFDE求边AD的长（2）如图2，若点F

3、落在对角线BD上，求边AD的长5如图，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将ABP沿直线AP翻折得到AEP，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若BQPE（1）求证：ABFBQC；（2）求证：BFFQ；（3）如图，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若FQ6，求GBC的面积6【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值我们知道：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点【问题发现】如图1，请直接写出AC与CB的比值是 【问题探究】如图2，在RtABC中，C90，AC2，BC1，

4、在BA上截取BDBC，再在AC上截取AEAD，则的值为 【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，将AE折叠到EN上，点A对应点H，得折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点【拓展延伸】如图4，正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，点N在边CD上，且CNDN，当N为CD的黄金分割点时，AMBANB，连NM，延长NM交AD于E，请用相似的知识求出的值为 7如图1，ABCDAE，BACADE90（1）连接CE，若AB1，点B、C、E在同一条直线上，求AC的长；（2）将ADE绕点A逆时针旋转（090），如图2，BC与AD交于点F，BC的延长线与A

5、E交于点N，过点D，作DMAE交BC于点M求证：BMDM；MN2NFNB8如图1，2，3，将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转（090），得到矩形AB1C1D1，连接BD（1）探究：如图1，当90时，点C1恰好在DB的延长线上，若AB1，求BC的长；如图2，连接AC1，过点D1作D1MAC1交BD于点M，线段D1M与DM相等吗？请说明理由（2）在探究（1）的条件下，射线DB分别交AD1、AC1于点P、N（如图3）求证：MNAN；MN2PNDN9如图1，在矩形ABCD中，点E是CD上一动点，连接AE，将ADE沿AE折叠，点D落在点F处，AE与DF交于点O（1）射线EF经过点B，射线DF与BC交于点

6、G）求证：ADEDCG；）若AB10，AD6，求CG的长；（2）如图2，射线EF与AB交于点H，射线DF与BC交于点G，连接HG，若HGAE，AD10，DE5，求CE的长10如图1，在RtABC中，ACB90，AB10，BC6D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE现将ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F（1）如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P求证：AEABADAC；求BF的长；（2）如图3，若AF恰好平分DAE，直接写出CE的长11【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DECF，则的值为 ；（2）如图

7、2，在矩形ABCD中，AD7，CD4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若CEBD，则的值为 ；【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB90，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DEABCFAD；【拓展延伸】（4）如图4，在RtABD中，BAD90，AD9，AB3，将ABD沿BD翻折，点A落在点C处，得到CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，若DECF，则的值为 12如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在边CD上的点M处（不与点C、D重合），连接AM，折痕EF分别交AD、BC、AM于点E、F、

8、H，边AB折叠后交边BC于点G（1）求证：EDMMCG；（2）若DMCD，求CG的长；（3）若点M是边CD上的动点，四边形CDEF的面积S是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由13如图1，AD、BD分别是ABC内角BAC、ABC的平分线，过点A作AEAD，交BD的延长线于点E（1）求证：C2E；（2）如图2，如果AEAB，且BD：DE1：2，求cosABC的值；（3）如果ABC是锐角，且ABC与ADE相似，求ABC的度数14如图，ABC中，C90，ACBC，D为边BC上一动点（不与B、C重合），BD和AD的垂直平分线交于点E，连接AD、AE、DE和BE，ED与AB相交于点F，设

9、BAE（1）请用含的代数式表示BED的度数；（2）求证：ACBAED；（3）若30，求的值15如图，已知矩形ABCD，点E在边CD上，连接BE，过C作CMBE于点M，连接AM，过M作MNAM，交BC于点N（1）求证：MABMNC；（2）若AB4，BC6，且点E为CD的中点，求BN的长；（3）若，且MB平分AMN，求的值16如图1，四边形ABCD中，BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB9，AE6，AE2ABAD，且DCAE（1）求证：DE2AEDC；（2）如果BE9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BEx，EFy，求y关于x的函数解析式，并写出定义域17如图

10、，四边形ABCD和四边形AEFG是矩形且，点E在线段BD上（1）连接DG，求证：BDG90；（2）连接DF，当ABAE时，求证：DFFG；（3）在（2）的条件下，连接EG，若DGE45，AB2，求AD的长18如图，在ABC中，C90，cotA，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作BDEA，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F（1）当点D是边AC中点时，求tanABD的值；（2）求证：ADBFBCDE；（3）当DE：EF3：1时，求AE：EB19如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线一动点，连AC，BD，连AE交DC于F，交BD于G（1）若ACEC时，求DAE的大

11、小；（2）求证：AG2GFGE；（3）连DE，求的最小值20在同一平面内，如图，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，BACAED90如图，若ABC固定不动，把ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N（点M不与点B重合，点N不与点C重合）【探究】求证：BANCMA【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4（1）BNCM的值为 （2）若BMCN，则MN的长为 参考答案1（1）证明：如图，四边形ABCD是矩形，BCD90，BAF+AFB90由折叠可得AFED90，AFB+CFE90，BAFCFE，又BC，AFBFEC；（2）解：在RtEFC中，设EC4x，FC3x

12、，由折叠可得DEEF5x，矩形ABCD中，ABCDDE+CE9x，AFBFEC，AF15x，又，x1，ADBCAF15，ABCD9，矩形ABCD的周长为48；（3）解：过点G作GHAF于H，GAE45，BAD90，BAG+DAE45，FAEDAE，BAGGAH，AGAG，BAHG90，ABGAHG（AAS），AHAB9，HFAFAH1596，GFHFEC，GHFC，GFHFCE，解得：GF，CGCF+GF2（1）证明：CNAM，ADCABC90，BCNMAB，在ABM和CBN中，ABMCBN（ASA），BMBN；（2）证明：如图，作CHAB交BP的延长线于H，BPAM，BPMABM90，BAM

13、+AMB90，CBH+BMP90，BAMCBH，CHAB，HCB+ABC180，ABC90，ABMBCH90，ABBC，ABMBCH（ASA），BMCH，CHBQ，；（3）解：如图，作CHAB交BP的延长线于H，作CNBH于N，设BC2m，则AB2mk，由（2）知CBNBAM，tanCBN，点M为BC的中点，PMCN，PNPB，tanBPQ3解：（1）DEBC，ADEABC，AD2，；（2）由翻折不变性可知：AFFH，AGGH，AFGGFH，FHAC，AGFGFH，AGFAFG，AGAF，AGAFFHHG，四边形AGHF是菱形；FHAC，FBHABC，又BC6，AC8，AB10，BH：FH：B

14、F3：4：5，设BH3a，则FHAF4a，BF5a，4 a+5a10，FH，即菱形的边长为；（3）在点P使得CPHDPE，理由如下：CPHDPE，BH，CH，4（1）证明：四边形ABCD是矩形，将ABE沿BE折叠，点A的对应点为FEFBA90，EFAE1，BFAB2，DFE+BFC90，CBF+CFB90，DFECBF，DC90，BCFFDE；解：设DEx，则ADx+1，由知BCFFDE，CF2x，在RtBCF中，由勾股定理得，（x+1）2+（2x）222，解得：x或1（舍去），ADx+1；（2）解：设DFx，将ABE沿BE折叠，EFAE1，EFBA90，又BDAEDF，ABDFED，AD2x

15、，DE2x1，在RtDEF中，由勾股定理得：EF2DE2DF2，即（2x1）2x21，解得：x或0（舍去），AD2x25（1）证明：如图中，四边形ABCD是正方形，ABCC90，ABCD，ABFCQB，由翻折的性质可知，EABC90PEBQ，AFBE90，AFBBCQ；（2）证明：如图中，设ABBCCDAD2a，Q是CD的中点，CQQDa，C90，BQa，AFBBCQ，BFa，QFa，BFQF；（3）解：如图，建立如图平面直角坐标系，过点E作EHAB于点TBFFQ，FQ6，BF4，BQBF+FQ4+610，CQ2，ABBCCDAD4，Q（4，2），直线BQ的解析式为yx，EATCBQ，ATEB

16、CQ90，ATEBCQ，AT8，ET4，BTABAT48，E（4，48），D（4，4），直线DE的解析式为：yx+210，由，解得，G（44，22），SBCG（22）2046【问题发现】解：点C为线段AB的黄金分割点，故答案为：；【问题探究】解：C90，AC2，BC1，AB，BDBC1，AEADABBD1，故答案为：；【问题解决】解：如图3，设EC与MN交于点P，MNAB，且M为EA的中点，过点P作PQEN，EC平分AEN，PMPQ，设PMPQACx，PNMNPM6x，EN，sinENM，即，解得x，经检验x是原方程的解，AC2x33，故点C为AB的黄金分割点；【拓展延伸】解：如图4，延长NE

17、交AB延长线于F，过点A作APAN于P，过点P作PQFB于Q，过N作FHFB于H，AMBANB，点A、M、N、B四点共圆，DBA45，ENA45，（同为所对的圆周角）又PAN90，PAN为等腰直角三角形，PAAN，PQAD，QPAPAD，PAD+DAN90，DAN+NAB90，PADNAB，QPANAB，又PQAAHN90，PQAAHN（AAS），AQNHBCCD，PQAHDN，N为CD的黄金分割点，设DN1，则CD2，设FQx，PQNH，FPQFNH，即，解得x3+，经检验x3+是方程的解，AFFQ+AQ3+25+，AFDN，FDNE，FADNDA90，NDEFAE，故答案为：7（1）解：A

18、BCDAE，ADAB1，ACDE，BACADE90，ABDE，ABCDEC，解得AC；（2）证明：连接BD，ABCDAE，ABCDAE，ABDA，DMAE，MDADAE，ABCMDA，ABDA，ABDADB，ABDABCADBMDA，MBDMDB，BMDM；连接MA，由知，BMDM，ABDA，AMAM，AMBAMD（SSS），BAMDAM，由知，ABCDAE，ABC+BAMDAE+DAM，AMNNAM，MNAN，BNAANF，ABCDAE，ANFBNA，AN2BNNF，MN2NFNB8（1）解：如图1，四边形ABCD是矩形，CDAB，BCDA，BAD90，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90得到

19、矩形AB1C1D1，D1ADBAD90，C1D1CDAB1，AB与AD1重合，即点A、B、D1在同一条直线上，设BCDAD1Ax，则D1Bx1，D1BAD90，D1BC1ABD，D1BC1ABD，解得x1，x2（不符合题意，舍去），BCD1MDM，理由如下：如图2，连结DD1，AD1AD，AD1DADD1，D1C1AB，C1D1ABAD90，AD1DA，C1D1ABAD（SAS），D1AC1ADB，D1MAC1，AD1MD1AC1，AD1MADB，AD1DAD1MADD1ADB，MD1DMDD1，D1MDM（2）证明：如图3，连结AM，AD1AD，D1MDM，AMAM，AD1MADM（SSS）

20、，AD1MADM，MAD1MAD，AD1MNAD1，NAD1ADM，NAD1+MAD1ADM+MAD，NAMNAD1+MAD1，NMAADM+MAD，NAMNMA，MNANNAD1ADM，NAPNDA，ANPDNA，ANPDNA，AN2PNDN，MN2PNDN9解：（1）i）由翻折可得，ADEAFE，DFAE于O，CDG+ADO90，ADO+EAD90，CDGEAD，ADEDCG90，ADEDCG；ii）AB10ADEAFE，AFAD6，在RtABF中，BF，设DEEFx，CE10 x，BCAD6，在RtBCE中，BE2BC2+CE2，即（8+x）262+（10 x）2，解得：x2，由i）可知

21、ADEDCG，解得：CG；（2）由i）可知，ADEDCG，同理可得，ADEDOE，即，OADODE，ADEDOE90，HGAE，HGFEDF，DOEFOE，BGH+CGD90，BHG+BGH90，CGDBHG，BC90，BHGCGD，综上所述，BHGCGDDEAOEDGHF，设CEx，DC5+x，CG，BG10CG10，BHBG，HGBH，HG：GF1：2，GF，在ADE中，AD10，DE5，AE5，DO，OE，DOOF2，在DCG中，DC5+x，CG，DGDF+FG4，DGCG，即，解得：x9，即CE910（1）证明：D、E分别是AB、AC边的中点，DEBC，ADEABC，AEABADAC；

22、解：如图1，作CGAB于G，作FHAB于H，在RtABC中，AB10，BC6，AC8，AE4，BEABAE6，BGBCcosABC66，CGBCsinABC6，EGBEBG6，tanFEHtanCEG，tanFEH，设EHa，FH2a，tanFBE，BH4a，BHEHBE，4aa6，a2，FH4，BH8，BF4；（2）如图2，当AF平分DAE时，AFBD，AFDAED90，点A、E、F、D共圆，DEFDAF，设AF与DE的交点为O，作OGAD于G，作AHCF于H，AF平分DAE，OGOE，AGAF4，DGADAG1，设OGOEx，OD3x，在RtDOG中，（3x）2x212，x，OGOE，ta

23、nDAF，sinDAF，cosDAF，AED90，AEH+DEF90，AEH+EAH90，EAHDEFDAF，EHAEsinEAH4，AHAEcosEAH4，CH，CEEH+CH11（1）解：四边形ABCD是正方形，AADC90，ADCDADE+EDC90DECF，ADE+DFC90AEDDFC在AED和DFC中，AEDDFC（AAS）EDFC1故答案为：1（2）解：四边形ABCD是矩形，AADCDCB90ADB+BDC90CEBD，ADB+DEC90BDCDECEDCDCB90，EDCDCB，ADBC7，CD4，故答案为：（3）证明：过点F作FHBC于点H，如图，AB90，FHBC，四边形A

24、BHF为矩形ABFH，AFH90HFC+DFG90CFH+HCF90，HCFDFGCGDG，A90，AG90ADEGDF，AEDDFG，AEDHCFAFHC90，AEDHCFDEABCFAD；（4）解：过点C作CMAD于点M，连接AC，交BD 与点H，如图，由题意：ABD与CBD关于BD轴对称，BD垂直平分AH，即AHHC，AHBDBAD90，BDAH，ABHBDAAB2BHBDBD2AB2+AD2，BD，BHDHBDBHAH，AC2AH，9CMCMBAD90，AED+ADE90CFDE，CFD+EDA90AEDCFDEADFMC90，AEDFMC故答案为：12（1）证明：四边形ABCD是正方

25、形，DBADC90，DEM+DME90，由折叠知，EMGBAD90，DME+CMG90，DEMCMG，EDMMCG；（2）解：正方形ABCD的边长为4，CDAD4，DMCD，DM，CM，设AEx，则DE4x，由折叠知，EMAEx，在RtDEM中，根据勾股定理得，DE2+DM2EM2，（4x）2+（）2x2，x，DE4，由（1）知，EDMMCG，CG2；（3）解：存在最大值，为10；理由：如图，过点F作FNAD于N，ENFANFBADABC90，四边形ABFN是矩形，FNABADCD4，同理：四边形CDNF是矩形，由折叠知，AMEF，AHE90，DAM+AEF90，ENF90，NFE+AEF90

26、，DAMNFE，ADMFNE（AAS），DMEN，设DMaEN，DEb，则EMAE4b，在RtDEM中，根据勾股定理得，EM2DE2+DM2，（4b）2a2+b2，4b8a2，SS矩形CDNFSENFDNCDEFEN4（a+b）4a（a2）2+10，当a2时，S有最大值为1013（1）证明：如图1中，AEAD，DAE90，E90ADE，AD平分BAC，BADBAC，同理ABDABC，ADEBAD+DBA，BAC+ABC180C，ADE（ABC+BAC）90C，E90（90C）C（2）解：延长AD交BC于点FABAE，ABEE，BE平分ABC，ABEEBC，ECBE，AEBC，AFBEAD90，

27、BD：DE1：2，AEBE，cosABC（3）ABC与ADE相似，DAE90，ABC中必有一个内角为90ABC是锐角，ABC90当BACDAE90时，EC，ABCEC，ABC+C90，ABC30当CDAE90时，EC45，EDA45，ABC与ADE相似，ABC45综上所述，ABC30或4514（1）解：BD和AD的垂直平分线交于点E，AEDE，DEBE，AEBE，EBAEAB，C90，ACBC，ABC45，DBE45+，BDEDBE45+，BED1802DBE902；（2）证明：ACBC，C90，3+DABCABABC45，BD和AD的垂直平分线交于点E，AEEDBE，12，1+CBAEDB，

28、CAB+21+CBA，即EDBCAE，EDB+CDE180，CAE+CDE180，CAE+C+CDE+A ED360，C+AED180，C90，AED90，CAED90，AC：BCAE：ED1，ACBAED；（3）解：当30时，BED906030，AEDAEBBED1203090，AEED，ADEAED45，DEBE，BDEBED75，ADC180ADEBDE60，设EFx，则AEx，ADAEx，CDx，15（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，ABEBEC，CMBE，BEC+MCE90，又BCM+MCE90，BCMBECABE，AMNBMC90，AMBNMC，MABMNC；（

29、2）点E为CD的中点，ABCD4，CEDE2，BE2，SBECBCCEBECM，262CM，CM，tanCBE，BM，由（1）可知：MABMNC，NC，BNBCBN；（3）由（1）可知：MABMNC，CBMCBE，BMCBCE90，BMCBCE，设NC3a，CE4a，AB3x，BC4x，如图，过点B作BHCM，交MN的延长线于H，CMBE，BHCM，BHBE，HBM90，MB平分AMN，AMBBMN45，BMNH45，BMBH，BHCM，BHNCMN，x3a，BC12a，BNBCNC9a，16（1）证明：如图1，AE平分BAD，BAEDAE，AE2ABAD，ABEAED，AEBADE，DCAE

30、，AEBDCE，AEDCDE，ADEDCE，ADEECD，DE2AEDC；（2）解：如图2，过点B作BGAE，BE9AB，ABE是等腰三角形，G为AE的中点，由（1）可得ADE、ECD也是等腰三角形，AE2ABAD，ABBE9，AE6，AD4，DE6，CE4，AG3，ADEECD（SAS），在RtABG中，BG6，SABEAEBG6618，ABEAED且相似比为3：2，SABE：SAED9：4，SAEDSCDE8，S四边形ABCDSABE+SAED+SCDE18+8+834；（3）解：如图3，由（1）知：ABEAED，BEx，AB9，AE6，AE2ABAD，AD4，DEx，由（1）知：DE2AEDC，DCx2，ADEECD，CEx，DCAE，AEFDCF，CFEF，yEFCEx，即，3x9，y关于x的函数解析式为y，定义域为3x917（1）证明：BAE+EADBAD90，DAG+EADEAG，BAEDAG，又，ABEADG，AEBAGD，设EF交DG于M，EFAG，EMDAGD，EMDAEB，AEF90，AEB+DEM180AEF90，即EMD+