高中数学复习专题导数的应用

1、3.2导数的应用最新考纲考情考向分析1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(

2、x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；考查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，

3、f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值知识拓展1在某区间内f(x)0(f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()题组二教材改编2P32A组

4、T4如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值答案C解析在(4,5)上f(x)0恒成立，f(x)是增函数3P28例4设函数f(x)eq f(2,x)ln x，则()Axeq f(1,2)为f(x)的极大值点Bxeq f(1,2)为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点答案D解析f(x)eq f(2,x2)eq f(1,x)eq f(x2,x2)(x0)，当0 x2时，f(x)2时，f(x)0，x2为f

5、(x)的极小值点4P24例2函数f(x)x36x2的单调递减区间为_答案(0,4)解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0 x0；当xeq blc(rc(avs4alco1(f(,6)，f(,2)时，y0.当xeq f(,6)时，ymaxeq f(,6)eq r(3).题组三易错自纠6函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点7已知定

6、义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1的解集为_答案(1，)解析令g(x)f(x)2x1，g(x)f(x)20，g(x)在R上为减函数，g(1)f(1)210.由g(x)1.不等式的解集为(1，)8设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_答案(，1)解析yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，方程yexa0有大于零的解，当x0时，ex1，aex0，即8xeq f(1,x2)0，解得xeq f(1,2)，函数y4x2eq f(1,x)的单调增区间为eq blc(rc)(avs4

7、alco1(f(1,2)，).故选B.2已知函数f(x)xln x，则f(x)()A在(0，)上单调递增B在(0，)上单调递减C在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,e)上单调递增D在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,e)上单调递减答案D解析因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得xeq f(1,e)，即函数的单调递增区间为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)，)；当f(x)0时，解得0 x0，则其在区间(，)上的解集为eq blc(rc)(avs4alco1(，f(,2)eq b

8、lc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，即f(x)的单调递增区间为eq blc(rc)(avs4alco1(，f(,2)和eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2).思维升华 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间(4)解不等式f(x)0)，讨论函数yf(x)的单调区间解f(x)eq f(ex,ex1)a1eq f(1,ex1)a.当a1时，f(x)0恒成立，当a1，)时，函数yf(x)在R上单调递减当0a0，得(1a)(ex1)1，即ex1eq f(1,1a)，解得xln eq

9、f(a,1a)，由f(x)0，得(1a)(ex1)1，即ex1eq f(1,1a)，解得x0)试讨论f(x)的单调性解由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，令f(x)0，解得x10，x2eq f(22a,a).当0a1时，f(x)的单调递增区间为eq blc(rc)(avs4alco1(，f(22a,a)和(0，)，单调递减区间为eq blc(rc)(avs4alco1(f(22a,a)，0).题型三函数单调性的应用问题命题点1比较大小或解不等式典例 (1)(2017南昌模拟)已知定义在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且对于

10、任意的xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，都有f(x)sin xeq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3) Bf eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)f(1)C.eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) D.eq r(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)答案A解析令g(x)eq f(fx,sin x)，则g(x)eq f(fxsin xfxcos x,sin2x)，由

11、已知g(x)geq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，即eq f(fblc(rc)(avs4alco1(f(,4),f(r(2),2)eq f(fblc(rc)(avs4alco1(f(,3),f(r(3),2)，eq r(3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3).(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)0，当x0时，有eq f(xfxfx,x2)0的解集是_答案(，2)(0,2)解析当x0时，eq blcrc(avs4alco1(f(fx,x)0，(x)eq f(fx,x)在(0，)上为

12、减函数，又(2)0，在(0，)上，当且仅当0 x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)命题点2根据函数单调性求参数典例 (2018石家庄质检)已知函数f(x)ln x，g(x)eq f(1,2)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)ln xeq f(1,2)ax22x，x(0，)，所以h(x)eq f(1,x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，eq

13、 f(1,x)ax2eq f(1,x2)eq f(2,x)有解设G(x)eq f(1,x2)eq f(2,x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)1)21，所以G(x)min1.所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)eq f(1,x)ax20恒成立，即aeq f(1,x2)eq f(2,x)恒成立由(1)知G(x)eq f(1,x2)eq f(2,x)，所以aG(x)max，而G(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)1)21，因为x

14、1,4，所以eq f(1,x)eq blcrc(avs4alco1(f(1,4)，1)，所以G(x)maxeq f(7,16)(此时x4)，所以aeq f(7,16)，又因为a0，所以a的取值范围是eq blcrc)(avs4alco1(f(7,16)，0)(0，)引申探究1本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解因为h(x)在1,4上单调递增，所以当x1,4时，h(x)0恒成立，所以当x1,4时，aeq f(1,x2)eq f(2,x)恒成立，又当x1,4时，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)f(2,x)min1(此时x1)，所以

15、a1，即a的取值范围是(，12本例(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)eq f(1,x2)eq f(2,x)有解，又当x1,4时，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)f(2,x)min1，所以a1，又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，

16、应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练 已知函数f(x)eq f(3x,a)2x2ln x在区间1,2上为单调函数，求a的取值范围解f(x)eq f(3,a)4xeq f(1,x)，若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上，f(x)eq f(3,a)4xeq f(1,x)0或f(x)eq f(3,a)4xeq f(1,x)0，即eq f(3,a)4xeq f(1,x)0或eq f(3,a)4xeq f(1,x)0在1,2上恒成立，即eq f(3,a)4xeq f(1,x)或eq f(3,a)4xeq f(1,x).令h

17、(x)4xeq f(1,x)，因为函数h(x)在1,2上单调递增，所以eq f(3,a)h(2)或eq f(3,a)h(1)，即eq f(3,a)eq f(15,2)或eq f(3,a)3，解得a0或00，得0 x1，由g(x)1.4分当a0时，令g(x)0，得x1或xeq f(1,2a)，6分若eq f(1,2a)eq f(1,2)，由g(x)0，得x1或0 xeq f(1,2a)，由g(x)0，得eq f(1,2a)x1，即0a0，得xeq f(1,2a)或0 x1，由g(x)0，得1xeq f(1,2a)，若eq f(1,2a)1，即aeq f(1,2)，在(0，)上恒有g(x)0.10

18、分综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0aeq f(1,2)时，函数g(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2a)上单调递增，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)，1)上单调递减，在(1，)上单调递增12分1函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)答案A解析f(x)2xeq f(2,x)eq f(2x1x1,x)(x0)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数2(2018济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示

19、，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)答案C解析由题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增函数，因为abf(b)f(a)，故选C.3已知m是实数，函数f(x)x2(xm)，若f(1)1，则函数f(x)的单调增区间是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，0)B.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(4,3)C.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(4,3)，(0，)D.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(4,3)(0，)

20、答案C解析f(x)3x22mx，f(1)32m1，解得m2，由f(x)3x24x0，解得x0，即f(x)的单调增区间是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(4,3)，(0，)，故选C.4已知函数f(x)eq f(1,2)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析f(x)eq f(3,2)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件5若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)答案D解析

21、因为f(x)kxln x，所以f(x)keq f(1,x).因为f(x)在区间(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)keq f(1,x)0恒成立，即keq f(1,x)在区间(1，)上恒成立因为x1，所以0eq f(1,x)1，所以k1.故选D.6(2018重庆质检)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，cf(3)，则()Aabc BcbaCcab Dbca答案C解析由题意得，当x0，f(x)在(，1)上为增函数又f(3)f(1)，且10eq f(1,2)1，因此

22、有f(1)f(0)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，即有f(3)f(0)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，即cab.7若函数f(x)x3bx2cxd的单调递减区间为(1,3)，则bc_.答案12解析f(x)3x22bxc，由题意知，1x3是不等式3x22bxc0的解，1,3是f(x)0的两个根，b3，c9，bc12.8(2018昆明调研)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)eq f(1,2)，则不等式f(x2)eq f(x2,2)eq f(1,2)的解集为_答案x|x1解析设F(x)f(x)eq f(1,2)x，F(

23、x)f(x)eq f(1,2)，f(x)eq f(1,2)，F(x)f(x)eq f(1,2)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)eq f(x2,2)eq f(1,2)，f(x2)eq f(x2,2)f(1)eq f(1,2)，F(x2)1，即不等式的解集为x|x19已知g(x)eq f(2,x)x22aln x在1,2上是减函数，则实数a的取值范围为_答案eq blc(rc(avs4alco1(，f(7,2)解析g(x)eq f(2,x2)2xeq f(2a,x)，由已知得g(x)0在1,2上恒成立，可得aeq f(1,x)x2在1,2上恒成立又当x1,2时，eq blc(rc)(av

24、s4alco1(f(1,x)x2)mineq f(1,2)4eq f(7,2).aeq f(7,2).10设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_答案(，1)(0,1)解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)eq f(fx,x)，则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)eq blcrc(avs4alco1(f(fx,x)eq f(xfxfx,x2)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0 x1时，由

25、g(x)g(1)0，得eq f(fx,x)0，所以f(x)0；在(，0)上，当x1时，由g(x)g(1)0，得eq f(fx,x)0，所以f(x)0.综上知，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)11(2018大理质检)已知函数f(x)eq f(ln xk,ex)(k为常数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)f(x)eq f(f(1,x)ln xk,ex)(x0)又由题知f(1)eq f(1k,e)0，所以k1.(2)f(x)eq f(f(1,x)ln x1,ex)(x0)设h(x)eq f(1,x)ln

26、 x1(x0)，则h(x)eq f(1,x2)eq f(1,x)0，所以h(x)在(0，)上单调递减由h(1)0知，当0 x1时，h(x)0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)0.综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)12(2018届信阳高级中学考试)已知函数f(x)eq f(b,ex)1(bR，e为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2)讨论函数F(x)f(x)ax(aR)的单调性解因为f(0)b1，所以过点(0，b1)，(2，2)的直线的斜率为keq f(b12,02)eq f(b1,2)，而f(x)eq f(b,ex)，由导数的几何意义可知，f(0)beq f(b1,2)，所以b1，所以f(x)eq f(1,ex)1.则F(x)axeq f(1,ex)1，F(x)aeq f(1,ex)，当a0时，F(x)0时，由F(x)0，得x0，得xln a.故当a0时，函数F(x)在R上单调递减；当a0时，函数F(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增13(2017承德调研)已知f(x)是可导的函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，则()Af(1)e2 017f(0)Bf(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0)Cf(1