微积分8-12010常数项无穷级数

1、证明:见P220，9见P220，10第八章 无穷级数* 常数项无穷级数* 函数项无穷级数.1 常数项级数的概念与性质可知：一个数可以由无限个数相加而得到；反之，无限个数相加却不一定能表示一个确定的数.例如：一、引言（“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”）问题：在什么情况下无限个数相加表示一个确定的数？如何求这个数? 二、常数项级数的概念 级数的定义: 给定数列则由这个数列构成的表达式称为常数项无穷级数，记为其中， un叫一般项（通项）在什么情况下无限个数相加可表示一个确定的数？如何求这个数?均为常数项级数，简称常数项级数.1-1对应称数列定义1：记为:又则故定义2:由定义知:收敛收敛发散发散(

2、此时无限个数相加 表示一个确定的数 ).设数列为若数列 收敛于S,则称级数收敛例1解例2 讨论等比级数(几何级数)的收敛性. 级数收敛 级数发散 级数发散 级数发散 综上且收敛时，有记住此结论解例3 判别无穷级数的收敛性.解：例4记住结论:等比级数:调和级数:发散.若级数收敛，则余项:且2. 当级数 求其和S.收敛时, -求得级数和的近似值.常数项级数的两个基本问题:-求得级数和的精确值.1. 判别级数的敛散性.例5 若级数收敛，则有=（ ）（余项）分析：因0三、基本性质即：收敛级数逐项相加或逐项相减后仍收敛。注意：性质1、若收敛于S，则亦收敛，且收敛于kS容易证明： 与有相同的敛散性!发散;

3、发不定证明：同时收敛，同时发散；又设级数去掉 的前k项得级数:设类似可证明，添加有限项，也不改变级数的敛散性。证明：略性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛. 发散推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.去掉括号:四、收敛的必要条件证明：.收敛的必要条件！由该定理知：若必发散。即(即收敛级数的一般项必为无穷小量!)例： 调和级数即:发散。收敛的充分条件！注意: 一般项极限为零是级数收敛的必要条件， 但不是充分条件！收敛。思考题:1.为什么? 2. 判定无穷级数 的敛散性。判别下列常数项级数的敛散性: (1) (2)用定

4、义(部分和数列)很难判定级数的敛散性.第八章第二节常数项级数收敛判别法一、正项级数的判敛法三、任意项级数的判敛法二、交错级数的判敛法（重点！）一、正项级数及其判敛法定义:则称该级数为正项级数.定理1：正项级数发散正项级数收敛即1.比较判别法 设 和 都是正项级数，且 则有如下结论：定理2：(1) 如果级数 收敛，则级数 必收敛。(2) 如果级数 发散，则级数 必发散。（大的收敛，小的必收敛）（小的发散，大的必发散）证明: . 例1. 判别级数 的敛散性解：而 是收敛的，由比较判别法知： 正项级数 收敛。放大 该级数为正项级数,(2) 解:判别下列级数的敛散性 .练习:(1) 解:收敛;收敛;解

5、由图可知:记住此结论由P级数可明显看到：正项级数是否收敛取决于其一般项趋于0的快慢程度！（即速度）这正是比较判别法的本质!解：缩小 注意: 估计其为收敛时,则将一般项放大.估计其为发散时,则将一般项缩小.但放大与缩小都要适当!.放缩法用比较判别法： （一般形式） （1）由观察初步估计级数的敛散性； （2）对一般项进行放缩。说明：一般项的“放缩”是比较麻烦的！ 所以需对比较判别法进行改进。后面引入可避免“放缩”过程的 比较判别法的极限形式。完补充：重要参考级数: 几何级数, P -级数, 调和级数. 1. 由于无穷级数有限项的变化不改变其敛散性。故定理2的条件：没必要从第一项开始成立，即可改为：

6、关于定理条件的进一步讨论: 2. 根据级数的性质，条件 没必要这么严格，也可有所改动。即可改为：(N为自然数) 设 和 都是正项级数，且可找到正数 k 和自然数 N，推论1：(1) 如果级数 收敛，则级数 收敛。(2) 如果级数 发散，则级数 发散。按上述讨论，改变后的定理2：（比较判别法的一般形式）大的收敛，小的必收敛。小的发散，大的必发散。思考题: 3. 判定无穷级数 的敛散性。另解：（见教材P218，例5）例4 判定常数无穷级数敛散性的方法与步骤：（目前）1. 一般项的极限是否为0。2. 若一般项的极限为0，看是否可利用已知级数和性质来处理。 否则，处理部分和 ，通过代数恒等变形等方法注意：大多数情况下，求部分和的函数表达式非常困难 故需另寻判敛法。得到