习题与复习题详解(线性空间)----高等代数

1、习题5. 11 .判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.答是.因为是通常意义的矩阵加法与数乘，所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加 n阶实对称矩阵仍然是 n阶实对称矩阵，数乘 n阶实对称矩阵仍然是 n阶实对称矩阵，所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭，构成实数域上的线性空间.2.全体正实数 R+,其加法与数乘定义为a b ab k oa其中 a,b R ,k R 判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间 答是.设， R.因为 a, b R a b ab RR,a R oa a R所以R对定义的加法与数乘运算

2、封闭oa ;下面一一验证八条线性运算规律a b ab ba b a;(a b) c (ab) c (ab)cR中存在零元素1, a R ,(4)对R 中任一元素 a ,存在负元素abc a(bc) a (b c);有 a 1 a 1 a ；n /上11a R ,使 a a aa 1;o oa oa a aoa a故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则(1 ),全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实oa oa ；所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.全体实n阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间答否.数域上的线性空间.在P2 2中，W A/A 0

3、, A P22,判断W是否是P 1oa a a ；(6) 2的子空间答否.的行列式不为零也就是说集合对加法不封闭1 2 一 1 1 ，例如 和的行列式都为零，但1 23 3习题1 .讨论P2 2中的线性相关性.X3A3X4A4O,ax1X2X3X40X1即X1ax2X3X40X2ax3X40X1X2X3ax40解设 xA1x2A2由系数行列式a 1 1 11 a 1 11 1 a 1111a(a 3)(a 1)32，3，4下的坐标.其中X4 41 2 10M 01 1 11M 00 3 01 M 01 1 01 M 11, 2, 3, 4下的坐标为1000M1初等行变换0100M00010M1

4、0001M0(1,0 , - 1 , 0 ).知，a 3且a 1时，方程组只有零解，这组向量线性无关;2 .在R4中，求向量在基1,斛取11X22 0 x2 0 x3 0 x471 1 X2 2 x3 3由 1234 M得 13.故向量在基X33X44X1 0X2 X3 X42则有X1X2X30X4X1X20X30 x41011,1110 由110 0100 0M 2M 3初等行变换M 4M 71000M70100M110010M210001M307 111 2 21 3 30 4 .故向量在基1, 2, 3, 4下的坐标为-7, 11 , -21, 30)4.已知R3的两组基311=0 ，3

5、= 0-11232= 3 ,3= 443求由基（i）到基（n）的过渡矩阵；已知向量在基32, 3下的坐标为10 ，求在基32, 3下的坐标；-11已知向量在基j 2, 3下的坐标为-1 ，求 在基 32, 3下的坐标2求在两组基下坐标互为相反数的向量解（1）设C是由基（I）到基（n）的过渡矩阵，由知基（I）到基（n）的过渡矩阵为 c 11111200231114（2）首先计算得C1于是 在基1,2,3下的坐标为C 1 011（3） 在基1, 2, 3下的坐标为C 1232012711112(4)设在基3下的坐标为V1V2 ,据题意有解此方程组可得4k 2 3k 35.已知PX4的两组基(I):

6、f1(x)(n):g1(x)(1)求由基(2)ViV2ViV2V3V3V3V1V2V3=kk为任意常数.卜为任意常数.x3, f2(x) x2g2(x) 1 x(I)到基(n)的过渡矩阵;求在两组基下有相同坐标的多项式)设C是由基(I )到基(n)有(1,x, x2,x3x2, f3(x)f(x).的过渡矩阵2(1,x,x ,x,f4(x)g3(x)g4(x)g1,g2,g3,g4仆2, f3, f43x )(2)设多项式f(x)在基下的坐标为(x1, x2,x3, x4 )T .据题意有Cx2x2因为C Ex3x3(Cx2E)x3(*)x4x4,所以 f(x) = 0所以方程组(*)只有零解

7、，则f(x)在基(I)下的坐标为(0,0,0,0)习题证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间R x3同构.证明设线性方程组为 AX = 0,对系数矩阵施以初等行变换.QR(A) 2线性方程组的解空间的维数是5-R(A) 3.Rxh同构.实系数多项式空间Rx3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间习题求向量 1, 1,2,3的长度.- 12( 1)2 2 2 32. 15.求向量 1, 1,0,1与向量 2,0,1,3之间的距离.d(,).(1 2)2 (0)2 (0 1)2 (1 3)2.7 .求下列向量之间的夹角1,0,4,3 ,12111,2,2,3 ,31511,1,

8、1,2 ，31,1,0解(1)1) 0(1) 0,a, : 2(2)(3)13 111 ( 1)0 3,1-1-1-4|、/9一1一1-0.11,18,18 arccos6.18arccos 一 .3.设为n维欧氏空间中的向量，证明 ：d( , ) d( , ) d(,).证明 因为|所以|)2,从而 d(,)d( , ) d().习题41.在R中，求一个单位向量使它与向量组1,1, 1, 1 ,21,1,1,1 ，31, 1,1, 1 正交.解设向量(Xi, X ,X3,X4)与向量3正交，(,1) 0X2X3X40则有(,，2)0即X1X2XX0(,3)0X1X2X3X0(*).1 ,2

9、,X1X2X3齐次线性方程组(*)的一个解为X41 .(1,1,1,1),将向量单位化所得向量1111 一二 (, ,)即为所求.2 2 2 22.将R3的一组基(1 )正交化，取化为标准正交基.(2 )将2,3单位化2)1112 11111111132313* . . . . .3为R3的一组基标准正交基3.求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵可得齐次线性方程组的一个基础解系1111000 , 21 , 30004001由施密

10、特正交化方法，取11/ 21/311/ 21/31110 , 22 11, 33121/ 3223004001将1， 2， 3单位化得单位正交向量组- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .* * *因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以1, 2, 3是解空间的一组标准正交基.3.设1, 2，n是n维实列向量空间 Rn中的一组标准正交基，A是n阶正交矩阵，证明：A 1,A 2 , ,A n也是Rn中的一组标准正交基.证明 因为1, 2, n是n维实列向量空间 Rn中的一组标准正交基，所以T 0 i j(i,

11、 j) i j d .(i, j 1,2,L ,n).1 i j又因为A是n阶正交矩阵，所以ATA E.故A 1,A 2, a n也是Rn中的一组标准正交基.5.设1, 2, 3是3维欧氏空间V的一组标准正交基，证明也是V的一组标准正交基.证明由题知所以1, 2, 3是单位正交向量组，构成V的一组标准正交基.习题五(A)一、填空题当k满足时，11,2,1 , 22,3,k ,13,k,3为R3的一组基.三个三维向量为R3的一组基的充要条件是1, 2,2.由向量1,2,3所生成的子空间的维数为向量 1,2,3所生成的子空间的维数为向量组的秩,故答案为1.3.R3中的向量3,7,1 在基 11,3

12、,5 ,6,3,2 ,3,1,0下的坐标为根据定义，求解方程组就可得答案设所求坐标为（x1,x2,x3）,据题意有X22X3为了便于计算，取下列增广矩阵进行运算初等行变换15482 ,33所以(X1,X2,X3) = (33,-82,154).4.R3中的基3到基12,1,3 , 21,0,1 , 32, 5,1的过渡矩阵为5.因为（正交矩阵AT A1 , 2 , 3)( 1, 2 ,A的行列式为3)103125 ,所以过渡矩阵为12 1 A 1.6.已知5元线性方程组 AX = 0的系数矩阵的秩为 3,则该方程组的解空间的维数为5元线性方程组 AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含

13、5 3 =2个向量故解空间的维数为2.7.已知 12,1,1,1 , 22,1,a,a , 33,2,1,a , 44,3,2,1 不是 R4 的基且 a 1,则a 满 足 .解 四个四维向量不是 R4的一组基的充要条件是1, 2, 3, 4 0,则a或1.2一 1故答案为a 1.2二、单项选择题).下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是(A) Vixi ,0,0,xn xi,xnRV2x1,x2, ,xn xi x2xn0, xi RV3x1,x2, ,xn xi x2xn 1, xiR(D) V4X,0,L ,0,0 x1R 解 （C ）选项的集合对向量的加法不封闭 故

14、选（C）.在P33中，由A2生成的子空间的维数为（）3(A)(B) 2(C) 3(D)向量组A=生成的子空间的维数是向量组A的秩,故选(A).1 0 1解因(B )选项中(12 2,2 23 3,3 31)=( 1, 2, 3) 2 2 00 3 3又因1, 2, 3线性无关且1 0 12 2 0可逆，所以2 2,2 23 3,3 31线性无关解因(12)( 23)( 1故选（B）3） 0,所以（C感项中向量组线性相关，故选（C）. n元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为 r,该方程组的解空间的维数为s,则（）.(A) s=r (B) s=n-r (C) sr (D) sr 选（B）.

15、已知A, B为同阶正交矩阵，则下列（）是正交矩阵(A) A+B (B) A-B (C) AB(D) kA ( k 为数)解A, B为同阶正交矩阵/ 、TT TT一，AB(AB) ABB A AA E 故选(C)7.线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（A） 一定不可逆（B） 一定可逆（C） 不一定可逆（D） 是正交矩阵选 （ B）(B)1 已知R4 的两组基1,2, 3,11234,2234,4, 4（1 ）求由基（n）到（i）的过渡矩阵;（ 2 ）求在两组基下有相同坐标的向量解（1）设C是由基（I）到基（n）的过渡矩阵已知( 1 , 2,3, 4)( 1,2,3,4)所以由基（n）到基（I）的过

16、渡矩阵为2 ） 设在两组基下有相同坐标的向量为坐标变换公式可得x1x2x3x4C1齐次线性方程（* ）, 又设在基和基下的坐标均为（x1 ,x2,x3 ,x4 ) , 由x1x1x2x3x4(EC)x2x3x4的一个基础解系为*）(0,0,0,1) , 通解为 X(0,0,0, k) (k R) 故在基（I）和基（n）下有相同坐标的全体向量为0 1 0 2 0 3 k 4 k 4 (k R) .解 （ 1 ） 由题有220 0 1因1000,所以i，2，3线性无关. TOC o 1-5 h z 1 112 2 2故1, 2, 3是3个线性无关向量，构成R3的基.(2 )因为0 10所以从基1,

17、 2，3到基1, 2，3的过渡矩阵为-1 -1 210 0112 23(1,2,3)201012 , 3)-1-1221001(1,2(1, 2 , 3)-512所以向量在基1, 2, 3下的坐标为5 .1解(1)因为由基4到基1, 2, 34的过渡矩阵为1100,所以00350012C =2 10 0( 1 , 2 , 3, 4)( 1, 2, 3, 4 )C12 0 01-10 02 10 0-1210 0 00 0 120 2-500170 0-13所以 TOC o 1-5 h z 130100, 2, 3000003(2 ) Q32 4( 1 , 2 , 3, 4)( 1, 2, 3, 4)C2向量证明则有设 11fl (x)t1(1Xt1 t2 t1 t2t12t2所以方程组（设 f (x)t2f2(X)2X ) t2(1t302t30 (*)3t3 04)1272 4在基4下的坐标为12-713 f3(X)0,-2x 2x ) t3(1-22x 3x ) 0因为系数行列式*）只有零解.故yifi(X)y2 f2(x)y1 y2 y36则有 V1 V2 2y39V1 2y2 3y314fl （x）, f2（X）, f3（X）线性无关，构成线性空间PX3的一组基y3 f3(x)y1V2y3所以f（x）在基fi（x）, f2（x）, f3（x）下的坐标 为(1,2,