高三专题—概率复习(一)

1、山高人为峰，努力定成功！第 页共 8 页山高人为峰，努力定成功！第 页 共 8 页BST 金牌数学高三专题系列之概率复习(一)一、离散型随机变量及其分布列离散型随机变量 : 若随机变量的取值能够一一列举出来， 这 样的随机变量称为离散随机变量 随机变量的线性组合 Y aX b(a,b是常数 )也是随机变量离散型随机变量 X 的的分布列设离散型随机变量 X 的取值为 a1,a2,L ,an，X 取ai的 概率为 pi (i 1,2,L ,n)，记作：P(X ai ) pi(i 1,2,L ,n) 把上式列成表：Xa1a2P(X ai )p1p2则上表称为离散型随机变量 X 的的分布列分布列的两个

2、性质： pi 0， i 1,2,L p1 p2 L 1 求随机变量 X 的分布列的步骤：(1)确定 X 的可能取值 ai (i 1, 2,L ) ； (2)求出相应的概率 P(X xi ) pi； (3)列成表格的形式。说 明 ： 在 写 出 X 的分布列后，要及时检查所有的概率之和 是否为 1三、两个重要的分布1.超几何分布： 一般地，设有 N 件产品， 其中有 M (M N) 件次品，从中 任取n (n N )件产品，用X 表示取出的 n件产品中次品的k n k件数，那么 P(X k) CMCM N .其中 k 为非负整数 CN如果一个随机变量的分布列由上式确定， 则称 X 服从参数为 N

3、，M ， n的超几何分布 .2、二项分布进行 n 次试验，如果满足下列条件：每次试验只有两种相互对立的结果， 可以分别称为 “成功” 和“失败”；每次试验“成功”的概率均为p ，“失败” 的概率均为1 p ；各次试验是相互独立的 . 用X表示这 n次试验中成功的次数，则P(X k) Cnk pk (1 p)nk(k 0,1,2,L ,n)若一个随机变量 X 的分布列如上所示，称 X 服从参数为 n, p 的二项分布，记作 X B(n, p) .四、数学期望与方差 .1、均值： 一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为P(X ai ) pi(i 1,2,L )则称 EX a1 p1 a2 p2

4、 L ar pr 为 X 的均值或数学期望 (简称期望 ).数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平2、方差、标准差的定义：DX (a1 EX ) 相互独立事件的概率：对两个事件 A,B ，如果事件 B发生与否不影响事件 A 发生 的概率，则称 A,B 相互独立，即有 P(AB) P(A)P(B) .若事件 A与 B独立，则 A与 B，B与 A， A与B 也相互 独立(3)对多个事件，如果 A1,A2,L , An相互独立，则有P(A1 A2L An) P(A1)P(A2)L P(An ) p1 (a2 EX )2 p2 L (ar EX )2 pr 称为 X 的方差 . 显然 DX 0 ，

5、 故 X DX ， X 为 X 的标准差 .随机变量 X 的方差与标准差都反映了随机变量 X 取值的稳 定与波动，集中与离散的程度 . DX 越小，稳定性越高，波动 越小.均值 EX 、标准差 X 具有与随机变量 X 相同的单位 . 3、期望、方差的性质(1)随机变量 Y aX b(a,b均为常数 )的数学期望、方差： EY E(aX b) aEX b ；DY D(aX b) a2DX (2)二项分布 X B(n,p)： EX np，DX np(1 p)X 服从参数为 N , M ,n的超几何分布： EX n M N例 1.【福建理科】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3 次密码尝试错误，该

6、银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决 定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试 .若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.（）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求 X 的分布列和数学期望拓展变式练习【福建理科】如图，点 A 的坐标为 1,0 ，点 C 的坐标为 2,4 ，函数 f x x2 ，若在矩形 ABCD 内随机3 个，白粽取一点，则此点取自阴影部分的概率等于例 2. 【江苏理科】 （本小题满分 13 分，（1）小问 5 分，（ 2）小问 8

7、 分） 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个。（1）求三种粽子各取到 1 个的概率；（2）设 X表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望江苏理科】袋中有形状、大小都相同的只与道路畅通状况有关，例 3.【理科】（本小题满分 12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：（分钟）25303540频数（次）20304010（ I）求 的分布列与数学期望 ；（ II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教

8、授从离开老校 区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率拓展变式练习理科】设复数 z （x 1） yi （x,yR） ，若 |z| 1，则 y x的概率为（31A 4 2典型高考11 B4211 C211D2【北京理科】（本小题13 分）A，A 组：10，11，12，13，14，15，B 组：12，13，15，16，17，14，16aB 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙山高人为峰，努力定成功！第 页共 8 页山高人为峰，努力定成功！第

9、 页共 8 页（） 求甲的康复时间不少于 14 天的概率；（ ） 如果 a 25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；【山东卷】（本小题满分 12 分）若 n是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字， 则称 n 为“三位递增数” （如 137,359,567 等） . 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如 下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5整除，参加者得 0分；若能被 5整除，但不能被 10 整除， 得-1分；若能被 10整除，得 1 分.（）写出所有个位数字是 5的“三位递增数”

10、； （）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX.【天津理科】（本小题满分 13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5名，其中种子选手 3 名.从这 8名运动员中随机选 择 4 人参加比赛 .（I）设 A为事件“选出的 4人中恰有 2 名种子选手，且这 2名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概率； （II）设 X为选出的 4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望 .20 个【新课标二卷】 （本题满分 12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A， B两地

11、区分别随机调查了 用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区： 6273819295857464537678869566977888827689B 地区： 7383625191465373648293486581745654766579（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可） ；A 地区B 地区456789）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B

12、 地区用户的满意度等级 ”假设两地区用户的评价结果相互独立根据 所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率【四川理科】 某市 A,B两所中学的学生组队参加辩论赛， A中学推荐 3名男生， 2名女生， B中学推荐了 3名男生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队（1）求 A中学至少有 1 名学生入选代表队的概率 .（2）某场比赛前，从代表队的 6名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X表示参赛的男生人数，求 X得分布列和数学期 望.【湖南理科】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额

13、商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5个红球、 5个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2个球中，若都是红球，则获一等 奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则 不获奖 .（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（2）若某顾客有 3次抽奖机会，记该顾客在 3次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望 .【安徽理科】 （本小题满分 12分）已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测 一件产品，检测后不放 回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束 . （）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率（）已知每检测一件产品需要费用 100元，设X 表示直到检测出 2件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费 用（单位：元） ，求 X 的分布列和均值（数学期望）山高人为峰，努力定成功！第 8页 共 页山高人为峰，努力定成功！第 8页 共 页课前回顾姓名： 得分： 1.【理 4】二项式 （x 1）n（n N ）的展开式中 x2的系数为 15，则 n.（用数字作答 ）2.【湖北，理 3】已知 （1 x）n的展开式中第 4 项与第 8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为.（用数字作答 ）3.【重庆，理 12】12x5的