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文档简介
1、随机信号分析1/108第1页,共89页。第2章 随机信号2第2页,共89页。2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号目 录3第3页,共89页。2.1 定义与基本特性 2.1.1 概念与定义1. 典型例子(1)贝努里实验:其样本空间只有两个样本点,即只有两个可能结果: A 和 。 在掷币实验中,贝努里随机变量 可以表示为: 4第4页,共89页。有概率若重复在t = n (n=1, 2, )时刻上,独立进行相 同的掷币实验,构成一随机变量序列n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 105第5页,共89页。则有 其概率 6
2、第6页,共89页。n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10所有随机变量序列的集合就是随机信号。每一个随机变量序列称为一个样本,也叫一个实现。7第7页,共89页。(2)时间连续的随机现象 观察电阻上的噪声电压,可能有不同的波形。 每一个波形称为样本函数,也叫一个实现。 所有波形的集合就是随机信号。8第8页,共89页。2.随机信号的定义定义: 设随机实验的样本空间 ,对于空间 的每一个样本 ,总有一个时间函数 与之对应 , 对于空间的所有样 本 ,可有一族时间函数 与之 对应,这族时间函数称为随机信号。 定义: 设 是随机实验E的样本空间,若
3、对于每 个样本点 , 都有唯一的实数 与之对应 , 且对于任意实数 ,都有确定 的概率与之对应,则称 为随机变量。9第9页,共89页。3.随机信号的表征(数学模型)(1)在任意给定时刻,随机信号是一个随机变量 随机信号可视为许多随机变量的集合;X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t1,)X(t2,)X(tn,)X(t,)t10第10页,共89页。n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011第11页,共89页。(2)随机信号可视为所有样本函数的集合;X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t,)t12第12页,共
4、89页。n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1013第13页,共89页。(3)当时刻 t 与样本 都固定时,随机信号是 一个实数,称之为状态;X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t,)tt1n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1014第14页,共89页。(4)当时刻 t 与样本 都发生变化时,就构成随 机信号的完整概念。X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t,)tn01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1015第15页,共89页。4.随机信号的分类及举例(1)时间离散、取值离散 D.R.Seq.
5、例:贝努里r.s.n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1016第16页,共89页。例:一脉冲信号发生器传送的信号(2)时间连续、取值离散 D.R.P.17第17页,共89页。(3)时间连续、取值连续 C.R.P.例:正弦型信号18第18页,共89页。(4)时间离散、取值连续 C.R.Seq.例:每隔单位时间对噪声电压抽样n02 1 2 3 4 519第19页,共89页。2.1.2 基本概率特性1. 例子20第20页,共89页。21第21页,共89页。22第22页,共89页。2.一阶(维)概率分布和密度函数一阶概率分布函数定义: 一阶概率密度函数定义: 23第23页,共89页。txfX(
6、x; t)24第24页,共89页。2125第25页,共89页。联合密度函数: 联合分布函数 :离散型二维随机向量的概率特性26第26页,共89页。27第27页,共89页。3.二阶(维)概率分布和密度函数二阶概率分布函数定义: 二阶概率密度函数定义: 4.分析随机过程本质上就是分析相应的随机变量 28第28页,共89页。2.1.3基本数字特征任取t时,随机变量X(t)的统计平均,定义为t1t2t31. 随机信号的均值t429第29页,共89页。对R.Seq. :30第30页,共89页。例:求随机过程正弦波 的数学期望,方差及自相关函数。式中, 为常数,是区间0, 上均匀分布的随机变量。 解:由题
7、可知: (1)同理31第31页,共89页。(2)可知 32第32页,共89页。(3)33第33页,共89页。2.随机信号的自相关函数 任取 时,两个随机变量 的相 关矩,定义为 C.R.Seq., D.R.Seq. 可同理写出。34第34页,共89页。自相关函数的性质:(1)相关的概念表征了随机信号在两时刻之间 的关联程度;(2)同一时刻之间的相关性大于等于不同时刻 之间的相关性;(3)实际中的大多数随机信号,当两观察时刻 越远,相应随机变量的相关性通常越弱;(4)自相关函数具有功率的量纲。 35第35页,共89页。3.随机信号的协方差函数与方差函数(1) 协方差函数 任取 时,两个随机变量
8、的联合中心矩,定义为C.R.Seq., D.R.Seq. 可同理写出。36第36页,共89页。当 时,协方差函数退化为方差函数(2) 方差函数C.R.Seq., D.R.Seq. 可同理写出。37第37页,共89页。X(t)的均方差(或标准差)函数为38第38页,共89页。4.相关系数 类似于随机变量的相关系数,定义为同样,有关系式:当 时,39第39页,共89页。2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号目 录40第40页,共89页。2.2 典型信号举例2.2.1 随机正弦信号 电路与系统中,几乎总要产生、发送与接收正弦
9、振荡信号,它本质上都是随机的。部分或全部是随机变量。41第41页,共89页。42第42页,共89页。随机相位信号(随相信号):讨论随相信号X(t)的基本特性:1. 均值43第43页,共89页。2. 自相关函数44第44页,共89页。45第45页,共89页。都服从一维高斯分布: 4. 一阶概率密度函数46第46页,共89页。2.2.2 伯努利随机序列47第47页,共89页。nX(n,n)01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X(9,)nX(n,1)01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数字通信中,串行传输的二进制比特流是伯努利序列,是通信中最常用的数学模型之一。48第48页,共
10、89页。1. 均值2. 自相关函数讨论伯努利随机序列X(n)的基本特性:49第49页,共89页。3. 一阶概率密度函数50第50页,共89页。2.2.3 半随机二进制传输信号 51第51页,共89页。ttt52第52页,共89页。D1D2D3ttt53第53页,共89页。均值,讨论半随机二进制传输信号 X(t)的基本特性:54第54页,共89页。2. 自相关函数令 若位于同一时隙 ,有 ,若位于不同时隙 ,有 , 合并两种情况,有则则55第55页,共89页。当 , 有56第56页,共89页。3. 一阶密度函数57第57页,共89页。随机信号还可以分为:可预测随机信号(或称确定的随机信号): 信
11、号的任意一个样本函数的未来值都可以由过去的观测值确定,即样本函数有确定的形式。不可预测随机信号(或称不确定的随机信号): 信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过去的观测值确定,即样本函数没有确定的形式。58第58页,共89页。2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号目 录59第59页,共89页。2.3 一般特性与基本运算 1. n维概率分布与密度函数 n个随机变量 的n维联合概 率分布函数为:2.3.1 n阶概率特性t1t2t3tnX(t)t60第60页,共89页。则称 为其n维概率密度函数。 如果存在 ,使 2. n
12、维特征函数任取 与61第61页,共89页。1.随机信号的nm维联合概率分布和密度函数 两个不同r.s.X(t)与Y(t)之间的联合概率特性。 对随机信号X(t)任取 时,获得n个随机变量 ;2.3.2 联合特性 对随机信号Y(t)任取 时,获得m个随机变量 。62第62页,共89页。t1t2t3tnX(t)ts1s2s3smY(t)t63第63页,共89页。定义nm维联合概率分布函数为: 定义nm维联合概率密度函数为:64第64页,共89页。2. 随机信号的互相关函数与互协方差函数 两个不同随机信号X(t)与Y(t)的联合矩特性 互相关函数定义为:互协方差函数定义为: 65第65页,共89页。
13、互相关系数定义为: 66第66页,共89页。67第67页,共89页。3. 两个随机信号正交、线性无关与统计独立(1)正交: 对于任意时刻 ,都有 则称X(t)与Y(t)正交。(2) 线性无关: 对于任意时刻 ,都有 则称X(t)与Y(t)线性无关。68第68页,共89页。(3)统计独立:对于X(t)和Y(t)的任一组随机 变量,都有则称X(t)与Y(t)彼此统计独立。 两个随机信号的正交、线性无关与统计独立三者关系与两个随机变量间的完全相同。69第69页,共89页。 统计独立性,线性无关性和正交性的关系 1.两个随机信号统计独立,它们必然是线性无关的;2.两个随机信号线性无关,不一定互相独立;
14、3.在两个随机信号中任一均值为零时,线性无关 性与正交性是等价的;4.在两个随机信号的互相关和互协方差同时不为零 时,它们不是线性无关的,也不是相互正交的。70第70页,共89页。(a)一般情况下 统 计 独 立线 性无 关 相 互 正 交 任一随机信号 均值为零71第71页,共89页。 当 和 均为高斯随机信号时: 统计独立性和线性无关性是等价的; (b)高斯随机信号 线 性 无 关 统 计 独 立 进一步,且有一个均值为零时: 独立性、线性无关性和正交性三者是等价的。(c)高斯随机信号,且 有一个均值为零 线 性 无 关 统 计 独 立 相 互 正 交72第72页,共89页。若X(t)与Y
15、(t)正交,则若X(t)与Y(t)无关,则解:73第73页,共89页。2.3.3 相关函数与协方差函数的性质性质1 :随机信号X(t)的自相关函数等满足 (1)对称性(2)均方值为非负实数(3)方差为非负实数(4)74第74页,共89页。(2)(3)对信号进行中心化与归一化处理,则有性质2:随机信号X(t)与Y(t)的联合矩特性满足 (1)对称性75第75页,共89页。76第76页,共89页。77第77页,共89页。2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号目 录78第78页,共89页。2.4 多维高斯分布与高斯信号2.4.1 多维高斯分布一维高斯分布记为 1.一维与二维高斯分布79第79页,共89页。一维高斯分布的特征函数为80第80页,共89页。二维高斯分布记为 81第81页,共89页。二维高斯分布的特征函数为82第82页,共89页。2.4.3 高斯随机信号1.定义若对任意正整数及,元随机的联合分布为高斯分布,则称 该信号为高斯信号(或正态变量维 信号)。 83第83页,共89页。2.高斯随机信号的概率特性与数字特征均值函数: 自相关函数: 协方差函数: 方差函数: 记为 84第84页,共89页。概率密度函数: 特征函数: 一阶85第85页,共89页。(1)所有分布由其和决定;(2)经过线性变换(或
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