高三数学_数学归纳法(第二、三课时)_

1、2.1 数学归纳法 及其应用举例 2 学习目标进一步理解数学归纳法的证明原理会利用数学归纳法证明与自然数有关的几何问题、不等式问题和整除问题了解数学归纳法应用的广泛性，进一步掌握数学归纳法的证明步骤数学归纳法证明有哪些步骤？数学归纳法通常解决什么问题？ (与正整数有关命题) 回 顾例1.x 1，且x0，nN，n2求证：(1+x)n1+nx证明：1.当n=2时，左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右n=1时不等式成立2.假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx当n=k+1时，因为x 1 ，所以1+x0，于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x

2、)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x因为kx20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当n=k+1时也成立根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立 例2.证明：2n+2n2，nN+证明：1.当 n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边右边当n=2时，左=22+2=6，右=22=4，左右；当n=3时，左=23+2=10，右=32=9，左右因此当n=1，2，3时，不等式成立2.假设当n=k(k3且kN)时，不等式成立即2k+2k2因为2k+1+2=22k+2=2(2k+2)22k22 =k2+2k+1+k22k3 =(

3、k2+2k+1)+(k+1)(k3) (因k3，那么k30,k+10 k2+2k+1=(k+1)2所以2k+1+2(k+1)2故当n=k+1时，原不等式也成立根据1和2，原不等式对于任何 nN*都成立例3、求证：当n2,nN时，证明：1、当n=2时，n=2时原不等式成立2、假设n=k (k2)时不等式成立，即当n=k+1时例4.设数列an满足an+1=an2nan+1,n=1,2,3,(1)当a1=2时，求a2,a3,a4，由此猜测出an的一个通项公式,并证明(2)当a13时，证明：对所有的n1，有ann+2 注意： 此问题解答过程中用到了“观察-归纳猜测-证明的思维方式. 1用数学归纳法证明

4、，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变 2用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种根本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而到达目标 3数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的问题1.证明不等式：2.对于任意大于1的自然数n，求证：3.已知函数证明对任意不小于3的自然数nn都有稳固练习：例题选讲例5 用数学归纳法证明： 34n+252n+1能被14整除分析：(i)容易验证当n1时，341+2521+18541461，能被1

5、4整除(ii)设nk(k1，kN*)时，34k+252k+1能被14整除当nk1时，相应的表达式怎样写？整除问题34(k+1)+252(k+1)+1从34(k+1)+252(k+1)+134k+23452k+152 入手34k+23452k+152 怎样利用34k+252k+1 证明可以被14整除？例题选讲例5 用数学归纳法证明： 34n+252n+1能被14整除证明：(i)当n1时，341+2521+18541461，当n1时，34n+252n+1能被14整除(ii)设nk(k1，kN*)时，34k+252k+1能被14整除那么当nk1时34(k+1)+252(k+1)+134k+23452

6、k+152 8134k+22552k+1(2556)34k+22552k+1 25(34k+252k+1)5634k+2整除问题2、解题关键是把34(k+1)+252(k+1)+1拆分为34k+23452k+152 ，再组合为都能被14整除的两整式的和。1、此题在解答中应用了数的整除性质设A、B、C是整数， 1假设A整除B,那么A整除BC; (2) 假设A整除B且整除C,那么A整除B+C (34k+252k+1)能被14整除，56能被14整除， 34n+252n+1能被14整除即nk1时，命题成立 根据(i)、(ii)可知, 34n+252n+1能被14整除例题选讲25(34k+252k+1)

7、5634k+2小 结 例6：用数学归纳法证明：x2ny2n能被xy整除 例题选讲分析 1当n=1时是成立的， 例6：用数学归纳法证明：x2ny2n能被xy整除 例题选讲证明：（1）当n=1时，x y = (x+y)(x-y), x - y 能被x+y整除。2222例4与例5这类整除问题，都用到拆项的方法例4把34(k+1)+252(k+1)+1拆成34k+23452k+152 ,例5把拆成 X y 22 不同之处是例4 拆项后可以直接分成两个都能被14整除的数的和，而例5拆项后那么需要增减项后才能分成两个都能被xy整除的数的和.例题选讲思考1：例4与例5这类整除问题在由n=k到N=k+1时的证

8、明方法有什么相同之处？思考2：例4与例5在由n=k到N=k+1时的证明有什么不同之处？练习：P67练习 1 、 25(5 k2k) 32k解析： (2)假设n=k时命题成立.即:5 k2k 被3整除. 当n=k+1时 5k+12k+1 =55k22k =5(5 k2k) 52k22k =5(5 k2k) 32k练习.用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+12k+1变形为 专 项 训 练 k k+1例题选讲分析：画出n=2，3，4，5时的图形示意图，观察交点的变化规律。例6 平面内有n(n1) 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，

9、证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.几何问题n图 形图 形n交点个数交点个数2345f(2)=1f(3)=3=1+2=f(2)+2f(4)=6=3+3=f(3)+3f(5)=10=6+4=f(4)+4从k条到k+1条交点增加了k点，应证f(k+1)=f(k)+k例题选讲几何问题例6 平面内有n(n1) 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.证明: (1) 当n=2时两条直线的交点只有一个，又f(2)=2(2-1)/2=1, 因此当n =2时，命题成立。2假设n=k(k1)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)=k(k-1)/2.现在来考虑平面内有k+1条直线的情况，任取其中的一条直线，记为L,由题设，L和其它k条直线必有k个不同交点，又根据假设，其它k条直线的交点的个数f(k)等于k(k-1)/2,根据题设，这k(k-1)/2个和这k个点是不同的交点，从而平面内满足题设的k+1条直线的交点的个数是K(k-1)/2 + k