电磁学稳恒磁场

1、第二篇电磁学第二章稳恒磁场2-9如图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一半径为R的半球面，B与 半球面的轴线夹角为a 0求通过该半球面的磁通量。解 半球面与其底面构成一个闭合曲面，通过此闭合曲面的磁通量 6等于通过半 球面的磁通量 句与通过底面的磁通量 的之和：。二% + %根据磁场的高斯定理可知，。:0 ,因此心二一心二-| B-dS = - BcosadS因为是均匀磁场，底面又是平面，所以 E和1是常量,B cos adS = -BScos a - -tlR2Bcos a2-10电流为I均匀地通过半径为R的圆柱形长直导线，试计算单位长度导线通过 图中所示剖面的磁通量。解 围绕轴线取同心

2、圆环路L,使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路 定理可求得导线内部距轴线r处的磁感应强度f/. flDfra，B .矶= B.2b = /。和门箕在距离轴线r处的剖面上取宽度为dr的很窄的面元由二曲，该面元上各点的B 相同，由磁通量的定义可知穿过该面元的磁通量为d = Bds = ldr所以单位长度的磁通量为2-11已知10mm2裸铜导线允许通过50A电流而不导致导线过热，电流在导线横 截面上均匀分布。求导线内、外磁感应强度的分布。解 铜线可视作长直圆柱体，电流沿导线轴向流过且均匀分布在导线横截面上，其磁场具有轴对称性。由安培环路定理可以求出磁场的分布。载流长直铜线激发的磁场，磁感线是围

3、绕铜线轴线的一组同心圆，取半径为r的磁感线作积分环路L,应用安培环路定理得，B -dl = B 2ir=当则/r3 的卜&必=帆下8=点当时，现二I，则2nr2-12如图所示一同轴电缆两导体中的电流均为 I,但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感应强度:(1) rR; (2) RrR2; (3) R2r+ 0.5, )丁的均匀磁场中，当电子速度为v=5m106 jm/s时，求电子所受的磁场力。解 F J 二二fjft,-16 X 10-w05xlOfi0=L6xlO-13fcNQ20.50,2-17 一电子在B=2. O id T勺均匀磁场中作沿半径为R = 2cm、螺距为

4、d =5. 0cm勺螺旋线运动，求电子的速度。解电子的螺线运动可分解为速度为4的沿轴线的匀速直线运动和速率为lTi的 垂直于轴线的平面上的匀速圆周运动电子速度垂直于磁场的分量 _ 1-_三则,eBRs .Ti = = 7,0 x 1。%，s-*电子速度平行于磁场的分量V可根据螺距的公式求得2wi则,eBk1=- = 2,8xlOfiins-1 1 2tt 讥于是，电子的运动速率为=J t+pf= 7_57 * 1 / e 喜v的方向与轴线的夹角W满足2出！ =25甲= 68*17,2-18如图所示，一根无限长直导线通有电流Ii=30A ,矩形线圈通有电流I2=20A。试计算矩形线圈所受的磁场力

5、。(其中a = 1.0cm, b = 8,0cm , l = 12.0cm )解 矩形线圈上，下两边所受磁场力大小相等，方向相反，互相抵消。所以矩形线圈所受磁场力就是其左侧边及其右侧边所受磁场力的合力。而线圈左边所受的安培力场向左，线圈右边所受安培力 片向右，且有2md + &)所以，矩形线圈所受磁场力的大小为2ir(tf + b)i = L28xlO-aN且磁场力的方向向左，指向直导线。2-19 一矩形线圈载有电流0.10A ,线圈边长分别为d=0.05m、b=0.10m ,线圈平面与xy平面成角日=30,线圈可绕y轴转动，如图所示。今加上B=0.50T的均匀 磁场，磁场方向沿X轴，求线圈所

6、受到的磁力矩。解1载流线圈在均匀磁场中所受磁力矩为其中口为线圈平面法线与磁感应强度 b之间的夹角，由题意可知s仇也二？俗8,则U 二脐dm a 二 Bdb cos 6- 2,165 X104加方向沿y轴负向。解2根据安培定律，与y轴平行的b边所受的磁场力为F二拗此力对线圈产生力矩（线圈其他边所受磁力对力矩无贡献），大小为M=Fd = Bfdb sos 8 = 217 xlON-m方向沿y轴负向。2-20 一平面线圈电流为I ,匝数为N、面积为S,将其放在磁感应强度为 B的 均匀磁场中，磁感应强度的方向与线圈磁矩的方向一致。 若将线圈翻转180 ,求外力 需要作的功解作用于载流线圈的磁力矩为M

7、= 诜 8 二 N1SB 受当线圈转过d（j角度时，磁力矩所作的元功为二川胡二-N说部删磁通量为至二 ESss6线圈转过的角度时，磁通量的改变为二-ESs摭8 d8,与加相比较，得当线圈磁矩与B的夹角由肉增至4 ,穿过线圈的磁通量从ml变为。而时，其 问磁力矩所做的功W为IV = f dlV = Wf f mld*m =力侬-中出）=2MB5 ,J * EZ2-21利用霍尔元件可以测量磁场的磁感应强度， 设一霍尔元件用金属材料制成， 其厚度为0.15mm ,载流子数密度为1024m,，将霍尔元件放入待测磁场中，测得霍尔 电压为42 mV ,测得电流为10mA。求此时待测磁场的磁感应强度。解霍尔

8、电压的经验公式是IB从理论上可以证明因此nqdUH将题中数据带入，并令q = L可得5=0112-22载流子浓度是半导体材料的重要参数，工艺上通过控制三价或五价掺杂原 子的浓度，来控制p型半导体或n型半导体的载流子。利用霍尔效应可以测量载流子 的浓度和半导体类型。如图所示一块半导体材料样品，均匀磁场垂直于样品表面，样 品中通过的电流为I ,现测得霍尔电压为UH o证明样品载流子浓度为：n= IB 。edUH解 假定半导体是n型的，载流子是电荷为e的正电荷，它的速度v的方向与电 流方向相同。当样品内有垂直于电流方向的磁场时， 载流子受到如图所示方向的洛伦 兹力，其大小为在这力的作用下，样品中空穴

9、分布不再均匀：在前表面附近浓度增大，而使前表面带 正电；在后表面附近浓度减小，而使后表面带负电，在出现这种情况的同时，样品内 必然会出现如图所示的静电场。电场强度E随着样品前后两表面附近空穴浓度差别越 来越大而变得越来越强。显然，当出现电场时，空穴也会受到电场力与作用，而这个作用力的方向是与 及方向相反的。及是个包力，1随着电场增强而增强，因此一 定会出现匕二%这种情况。自此以后，空穴浓度分布稳定了。空穴受到的电场力和 磁场力保持平衡，即在样品前后两表面分别带有正、负电荷，两表面之间就出现电压，这就是霍尔电 压为。其大小为UEb = 翎b设样品内空穴浓度为n,样品垂直于电流方向的截面积为 S

10、,则电流1 二帆S 二 nevbd将此方程代入UH=Eb = vBb可得由此可得IB edUH2-23如图所示，半径为R的圆片均匀带电，电荷面密度为。，令圆片以角速度o 绕通过其中心且垂直于圆平面的轴转动。 求轴线上距圆片中心为x处P点的磁感应强 度和旋转圆片的磁矩。解 旋转带电圆片可等效为一组同心圆电流。 在圆片上离开圆心r处取一宽度为 。的圆环，环上所带等效电流为。 2irrdrdi =-=的）rdiT圆电流dl在圆片轴线上P点激发的磁感应强度为gD r3cEZdB 二件一厘+某苧整个旋转带电圆片在其轴线上 p点激发的磁感应强度为斯加汩r2 sZ（T2 +x2）5即R2 + 2x2F-2x

11、2 Vfla+xE圆片的磁矩为2-24如图所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相 对磁导率为W ,导体的磁化可以略去不计。电缆沿轴向有恒定电流I通过，内外导体 上电流的方向相反。求空间各区域内的磁感应强度。解 电流分布呈轴对称，依照右手螺旋定则，磁感线是以电缆轴线为中心的一组 同心圆。选取任一半径为r的同心圆为积分路径L,应用磁介质中的安培环路定理F H dI = H-2iir = Vl当T咽时，即=今射雪 叫 鼠;三，所以小加=无Ht= 忽略导体的磁化（即导体的相对磁导率 “ = 1）,有瓦二即坨=曰*/TUT*当&r也时，二1,所以H2 1 2nr = / %=-一1

12、3 2亚填充的磁介质的相对磁导率为距,有当&r&时，二，一痂沪（八一媳,所以%2而=1 一碍近7f 一磴为=石谷同样忽略导体的磁化（*二1）,有gD/够一产当F用时,门二所以心211r = 0九=0 比= 02-25环形螺线管共包含500匝线圈，平均周长为50cm ,当线圈中的电流为2.0A 时，用冲击电流计测得介质内的磁感应强度为 2.0T,求：(1)待测材料的相对磁导 率匕；(2)磁化电流面密度上。解 (1) TOC o 1-5 h z 册 500 x2 ,H=nl = - A/m = 2 000 A/m jL Un OB2.0u- = =：= 796gDH 4ttx 10? x2xl(J(2)由于磁化面电流产生的