2022新高考总复习《数学》(人教)第十一章　概率11.5　离散型随机变量的均值与方差

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI11.5离散型随机变量的均值与方差第十一章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破03素养提升微专题10 分不清试验是不是独立重复试验必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,n.(1)均值:称E(X)=为随机变量X的均值或数学期望.x1p1+x2p2+xipi+xnpn 标准差 (3)期望含义:期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均;E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X是可变的

2、,可取不同值,而E(X)是不变的,它描述X取值的平均状态;E(X)=x1p1+x2p2+xnpn直接给出了E(X)的求法,即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.(4)方差含义:随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动.集中与离散的程度D(X)越大,表明平均偏离程度越大,X的取值越分散.反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近.方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负.2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=;(2)E(+)=E()+E();(3)D(aX+b)=.3.两点分布与二项分布的均值与方差(1)若X服从两点分布,则E(X)=,D(X)=.(2)若X

3、B(n,p),则E(X)= ,D(X)=.aE(X)+b a2D(X) p p(1-p) np np(1-p) 常用结论1.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)E(X2).2.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).5.若XN(,2),则X的均值与方差分别为E(X)=,D(X)=2.6.若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X).7.超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)= .【考点

4、自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.()(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.()(3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.()(5)正态分布中的参数和完全确定了正态分布,参数是正态分布的均值,是正态分布的标准差.()2.设0a3B.E(X)=5,D(X)3C.E(X)3D.E(X)5,D(X)3答案 D 4.已知随机变量X满足E(2X+3)=7,D(2X

5、+3)=16,则下列选项正确的是() 答案 A 关键能力 学案突破考点1求离散型随机变量的均值与方差【例1】 设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.解析由(1)于A,B,C,D彼此互斥,且ABCD是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个

6、事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.(2)由于成绩为A的有23人,故抽到C的概率为答案 (1)D (2)A 思考如何简便地求二项分布的随机变量X的均值与方差?解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果XB(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.对点训练1为了了解校园噪声情况,学校环保协会对校园噪声值(单位:分贝)进行了50天的监测,得到如下统计表:噪声值(单位:分贝)55,57(57,59(59,61(61,63(63,65(65,67频数14122085(1)根据

7、该统计表,求这50天校园噪声值的样本平均数(同一组的数据用该组组间的中点值作代表).(2)根据国家声环境质量标准:“环境噪声值超过65分贝,视为重度噪声污染;环境噪声值不超过59分贝,视为轻度噪声污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率,回答下列问题:()求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪声污染而其余三天都是轻度噪声污染的概率;()学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛,把这3天校园出现的重度噪声污染天数记为X,求X的分布列和方差D(X).考点2二项分布的均值与方差【例2】 从某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段40,50),50,60)

8、,90,100后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;(3)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在40,60)记0分,在60,80)记1分,在80,100记2分,用表示抽取结束后的总记分,求的分布列和数学期望.解 (1)设分数在70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,有(0.01+0.0152+0.025+0.005)10+x=1,可得x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.(2)平均分为 =450.1+550.15

9、+650.15+750.3+850.25+950.05=71.解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).思考如何求离散型随机变量X的均值与方差? 对点训练2某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组13,14),第二组14,15),第五组17,18,如图是按上述分组方

10、法得到的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计这50名学生百米测试成绩的中位数和平均数(精确到0.1).(2)若从第一、五组中随机取出三名学生成绩,设取自第一组的个数为,求的分布列,期望及方差.考点3均值与方差在决策中的应用【例3】 某地区拟建立一个艺术博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个招标问题中,甲公司可正确回答其中的4道題目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立,互不影响的.(1)

11、求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率;(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?思考如何利用均值与方差对生活中相关问题进行决策?解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.对点训练3(2018全国1,理20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不

12、合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0;当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.要点归纳小结1.求某事件发生的概率,首先理解题意,分清概率模型,恰当选择概率计算公式.2.求随机变量的均值、方差的基本方法:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差,可直接用均值、方差的性质求解;(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布),可直接利用它们

13、的均值、方差公式求解.要点归纳小结要点归纳小结素养提升微专题10 分不清试验是不是独立重复试验【例】 某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行.每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为 .(1)求选手甲可进入决赛的概率;(2)设选手甲在初赛中答题的个数为,试写出的分布列,并求的均值.错因分析(1)甲答3题进入决赛指的是甲全部答对该3题,甲答4题进入决赛指的是前3题中答对2道题,答错1道题,第4题答对.只有前3次答题事件满足独立重复试验.同理答5题进