考点26基本不等式-高考全攻略之备战2019年高考数学文考点一遍过

1、考点26基本不等式 a b 基本不等式：: ; ab(a _0,b _0)了解基本不等式的证明过程(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题第知识整合、基本不等式 a b基本不等式：.ab _2(1)基本不等式成立的条件：a 0,b 0.(2)等号成立的条件，当且仅当a = b时取等号.算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a、b的算术平均数为 史上b ,几何平均数为 Tab ,基本不等式可叙述为：两个正数 2的算术平均数不小于它们的几何平均数.利用基本不等式求最值问题(1)如果积xy是定值P,那么当且仅当 x=y时，x+ y有最小值是2而.(简记：积定和最小)P2(2)如果和x+y是定值

2、P,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是 % .(简记：和定积最大).常用结论a2+b2 至2ab(a,bw R)bab+a 之2(a,b同号)a ba b o(3 ) ab M()2(a,b R)2 TOC o 1-5 h z .2. 2/,、 ，a b2 a b /() 0,xb 0)等.解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解.考向一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式.(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形， 如构造“1的代换等.常见的变形手

3、段有拆、并、配.拆裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离一一分离成整式与真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件.并一一分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值.配一一配式配系数有时为了挖掘出 积”或和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式 TOC o 1-5 h z 相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值(3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须

4、要一致注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解典例引领 HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 1119典例1若正数a, b满足,+1=1,则，+ 9的最小值为a b a -1 b -1 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document A. 1B. 6C. 9D . 16【答案】B1 一【斛析】 斛法一：因为一+ =1 ,所以a+ b=ab? (a-1) (b-1)=1 ,a b一. 19 一 194所以+2j=2q=6(当且仅当 a = , b=4 时取 “=”).a-1 b-1. a -1

5、 b -13故工+9的最小值为6.a -1 b-1解法二：因为工+： 二 】，所以a+”也 a b= i+9-10 = +=- + +1+9-10 (7-1 i-1 ab-a-b-la b a b故4 二6(当且仅当白=三，24时取9J的最小值为6. TOC o 1-5 h z 一、， 1 11解法二：因为一+ =1 ,所以b -1 =， a ba-199所以十=(b1)+之2,9=6(当且仅当b=4时取“=”.)a-1 b-1b -1,19故,十一一的最小值为6.a -1 b -1正一一各项均为正;【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是 定一一积或和为定值；三

6、相等 一一等号能否取得，若忽略了某个条件，就会出现错误.变式拓展 TOC o 1-5 h z 5 -.11. （1）已知x 2Vab(a0,b0,x0)上靠拢.x变式拓展2.要制作一个体积为 9m3,高为1m的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？考向三基本不等式的综合应用基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现.通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题.主要有以下几种命题方式：(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小.解决此类问题

7、通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式问题.通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解. TOC o 1-5 h z (3)求参数的值或范围.观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.典例引领典例3下列不等式一定成立的是 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document ,21, 小.1A . lg(x +)Algx(xA0)B . sin x +2(x*kn,k= Z) HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 4sin x HYPERLINK l book

8、mark102 o Current Document 21C. x2 1 -2|x|(x R)D. 21(x R)x 1【答案】C HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 2 11.21【斛析】对于 A: x +之*(当*=一时，x +-=x), A不正确； HYPERLINK l bookmark186 o Current Document 42411 HYPERLINK l bookmark82 o Current Document 对于 B： sinx+之 2(sin x= (0,1) , sin x + ,y 1,不等式 24x2y -12y

9、2x -1 m恒成立，则m的最大值为A. 2&C. 8典例引领14典例4设正项等差数列an的前n项和为Sn ,若S2017 =6051,则一 +的最小值为 a4 a2014【答案】32【解析】因为邑窜=6051 ,所以605L则口 1 +4口r=&即4 +处313 = 6 .14 I, 丁14、1.4&) 1 ,、3所以+= -(4 + oi41. +. = 7 54+:之工乂(5+4)二彳一% /讥4 61 14) 61口二71：% ) 62当且仅当4二2ia = 4时取等号一故答案为：【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然 后代入代数式

10、转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式 子，然后利用基本不等式求解最值.变式拓展12n14.已知函数y =loga(xm2n )+2恒过定点(3,2 ),其中a0且a#1, m,n均为正数，则m 1的最小值是、（点冲关上-1 ，1.函数y =x +（x a0）取得最小值时，x的值为 4xC. 1 2 ,已知a,bCR,且abwQ则下列结论恒成立的是a2+b 22ab3&TA. a+b洞 a bC. |+|23.忒3T丽+6）（-6EUE3）的最大值为A.C、一 一 xy yz.4,已知x, y,z为正实数，则2 y 2y 2的最大值为 x2 y2 z2

11、2 ;3A.5.若正实数a, b满足a+b=1,则，一二1C. ab有最小值一422 一，一 2a +b有取小值2，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高室在第打层楼时，上下楼造成的不满意度为 巴但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第层楼时，环境不满意度为 巴则同学们认为最适宜的教室应在楼A. -B .：.若关于x的方程9x+（4+a） 3x+4=0有解,则实数a的取值范围是(-8-8 U 0, + oo(-8-4)C. -8,4)D. (-00-8，一，1.若对任意正数 x,不

12、等式 fx 11,且 10g2X ,1,-，10g2 y成等比数列，则xy有4最小值B.最小值2C.最大值、2D.最大值21.如图，在4ABC中，点D，E是线段后。上两个动点，且AD + AE = xAB + yAC则x尸的最小值为DB .二D.A3A .5C.C11,已知正实数口加满足/ib+4/1 0,当必取最小值时，n+h T.的最大值为3B .1D .在锐角ZXABC中，瓦心为角4昆匕所对的边，且9-幻（4门4 + 3加用8）sinC,若口 =木,则庐+ c的最小值为C. 6.函数 = / +以羊1）的图象恒过定点八，若定点八在直线由n00用口）上，则3加十收的最小值为 TOC o 1

13、-5 h z A . 13B. 14C. 16D . 12+ 2y 3 E 0i a.x + 3y - 3 0= + -14.已知/y满足I yMl , x = 2x +尸的最大值为m 若正数口加满足以+ b=m,则口占的最小值为3A . 9B . HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 45C. ：D .2x.当x0时，f(X)=F的取大值为x2 1.已知函数ZW = 2sW =3/十勿十1,当X 0时，函数 等!的最小值为 .f x.在公比为，的正项等比数列&中，% = 4,则当外十 %取得最小值时，饱加=.已知nbOFb = l,则a-b的最

14、小值为.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y = x2+18x25(xW N ),则当每台机器运转 年时， 年平均利润最大，最大值是 万元.某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括保养费和维修费两部分.每年的保养费用为1万元.该系统的维修费为：第一年 1.2万元，第二年1.6万 元，第三年2万元，依等差数列逐年递增.(1)求该系统使用n年的总费用(包括购买设备的费用)；(2)求该系统使用多少年报废最合算(即该系统使用多少年平均费用最少).my = xA（m

15、 0已知函数：）.若阳=,求当方1时函数的最小值；(2)当时,函数有最大值-3,求实数出的值.22. (1)设x,y是正实数，且2x+y=4,求lg x+lg y的最大值.(2)若实数 a,b满足 ab-4a-b+1=0(a1),求(a+1)(b+2)的最小值.acasfi23,已知在4ABC中， b,分别为角上。所对的边长，且Qc-b)cg/l(1)求角*的值;(2)若以=木,求的取值范围.直通高考x V1. （2017山东又科）若直线 +2=i（a0, b0）过点（1,2），则2a+b的最小值为 a b2.2018天津文科）已知a, bw R ,且 a 3b+6=0,则 2a +18b的最

16、小值为（2015重庆文科）设a,b0,a+b = 5,则J0+1+Jb+3的最大值为 （2015天津文科）已知a 0,b0,ab =8,则当a的值为 时，10g2aog2（2b）取得最大值.（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是.（2018江苏）在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c, /ABC =120/ABC的平分线交 AC于点D,且BD =1,贝U 4a +c的最小值为 .任渗考答案.变式拓展5.【解析】（I） x4x 5 0,y0, - = 1, x y

17、Q rQ Yfv9 Y：x+y= i + - (x+i) = - + + 102 匕一注+10 = 6+10 = 16yj荣yVvyy 9x 1 9 *, x = 4当且仅当二=一且一 + =艮储一时，等号成立，x v x iH1 = 12，当x=4j = 12 时 Jx+j，L =16.92【解析】设该长方体的容器长为xm ,则宽为一m ,又设该容器的造价为 y兀,x TOC o 1-5 h z 99则 y=90,二 x+一之 2. x，一 =1 , 4x 4 4x HYPERLINK l bookmark170 o Current Document 1.1.当且仅当x = 时取等号，此日x

18、 =,故选B.4x2.【答案】C【解析】当a,b都是负数时,A不成立；当a,b 一正一负时,B不成立；当a=b时,D不成立，因此只有选项C是正确的.【答案】B【解析】:. 3-a0,a+60,3-3-a a 69. J(3a)(a+6)w/-|,当且仅当 入口一口 + 6,即2时等号成立,9.&2-而+可(-6o v2xy, z + y之M2yz, HYPERLINK l bookmark194 o Current Document 2结合不等式的性质有：x2 y2 z2之-二2 xy yz ,当且仅当时等号成立，即 HYPERLINK l bookmark198 o Current Docu

19、ment xy yz、2 HYPERLINK l bookmark196 o Current Document 222 - HYPERLINK l bookmark202 o Current Document x y z2所以1了 0的最大值为 x2y2 z2【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值5.【答案】B【解析正实数处占满足口十方=1,.一+工二匕 +丝白=2 + % 32 + 2上卷=4当且仅 a b a o a b v a b时取等号一故;+萧最小值，故A不正确F由于（右+指）=口+3 + 2寸茄=1 + 2,二V3十

20、故后+有最大值、笃？故B正确孑由基本不等式可得a-b=2/ab,，加 !：故ab有最大值?故C不正确?44*.1/+/=I 4 +）* 2次? = 1 2ab 1 = +旷有最小值 , 故D不正确一 6.故选B【答案】Bq【解析】由题意知同学们总的不满意度y-n+ W2,n，r ,8 rr-，一一、口，当且仅当 = - n = 272dm时,不满意度最小， n则同学们认为最适宜的教室应在 3楼，故选B .7.【答案】D3，1x =-4，即 a /8,9x 4 v【解析】由 9+(4+a) 3+4=0 得 4+a= =-(3+1)鼻23x当且仅当3x=2时等号成立8.【答案】Dx 、 一【解析】

21、由题意可得 a之xJL_恒成立.x2 1由于（当且仅当x = 1时取等号），故的最大值为1 , TOC o 1-5 h z x 112x 12x -x HYPERLINK l bookmark241 o Current Document 1 1 ，二a -,即a的最小值为一，故选D . HYPERLINK l bookmark9 o Current Document 22.【答案】A【解析】,二A】，/.log1xOJog3 0,又; log产 : , log” 成等比数列，J J = 10g/xl0g工 416由基本不等式可得匕日产+匕力 二nXXlOg.V = J.当且仅当1吨/=1。g：

22、-即工=1时取等号,故1口处冷之1J即呼之W,故.0的最小值为拒 本题选择A选项一.【答案】D【解析】易知x, y均为正，设 疝二m上由+痴匕病二心17? +卬化,:民EE共线,m + rt = V + = l, AD+ AE = xAB + yAC =(m + A)AB + ( + n)AC,(x + y )= 5 + y 4 -21x-I 5 2. y4Xy J 21 HYPERLINK l bookmark208 o Current Document y 4x24当且仅当工=一,即x=,y=时等号成立. HYPERLINK l bookmark210 o Current Document

23、 x y331 49=+ =则汇A的最小值为幺故选D.11.【答案】C【解析】根据题意,c = a2-ab 4b2 所以c a2 - ab 4b2 ab aba 4b=+-12V4-1 = 3, b aa 4b当且仅当卜一。，即R=2b时取等号，1 T 3/。刀7=_ 6 (b ) + -所以13方=当 4时取得最大值舟，故选C.【答案】C【解析】由正弦定理及题中条件,可得9 -幻S-切=8-匕)。，即-产=M + be因为口 = v3,所以炉+ c2 = 3 + be.又讲+ c2 2bcf所以3 - i?c 2bg所以k6,所以选C.【答案】D【解析】丁工二时，函数y = 1十的值恒为3,

24、臬函数y = / 1十的图象恒过定点川XR,土+ jJ + 3=i又点1在直线山月 上，由其 ，/1 3n 9 mfn_9mmrn 0,1 3m + n = 3 m + n) 1 = (3m + n)j + =3+3 + I-6 + 2 J-=12又当且仅当折二仃时取“曾则3m +月的最小值为12故选d.14.【答案】B【解析】作出不等式组o O-33 1-0, .-. f (x) =-= - =x 1 x 12x一一. 1当且仅当x =,即x=1时取等号.【答案】小+ 1【解析】由题意可得 丑=3x? +2x +1 =3x +1+1占2回+1 =百+1(当且仅当3x= f x 2x 2 2x

25、 . 2 2x2 2x即Y _Y3时取等号). x31.【答案】4【解析】2a2 +a6 r+a,q2 = 44+q2之4父2，区q2 =8也,当且仅当小二退时取得最小值, qb0,ab=1,所以a-b0, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark243 o Current Document 汇, a2 +b2 (ab)2 +2ab2/2 号5 HYPERLINK l bookmark245 o Current Document 所以 a ba-b -2. a-b： =a -b a-ba-ba-b当且仅当-& = n2时取等号，故答案为 心业.【答案】5 8 HYP

26、ERLINK l bookmark247 o Current Document V25【解析】每台机器运转 x年的年平均利润为 V =18-(x + ), HYPERLINK l bookmark38 o Current Document xx而 x0,故 y i,所以M-i HYPERLINK l bookmark239 o Current Document 11 HYPERLINK l bookmark259 o Current Document 所以 y=x-1 1_2, x-1 :：1=3, x-1x-11.当且仅当x-1=-即左=2时取等号，所以当x 1时函数的最小值为 3.Q）因为

27、犬 L所以* 1 0,y0,所以由基本不等式得 5 /2,因为2x+y=4,所以渐以xy2当且仅当2x=y时，等号成立,2x y =4 由y2x =y，解得|y _2,所以当x=1,y=2时,xy取得最大值2,所以 1g x+ 1g y=lg(xy) 2+1=6a+j+1=6a+8+ +1=6(a-1)+;jj +15.因为a1,所以a-10.所以原式=6（a-1）+152+15=27.Q 1当且仅当（a-1）2=1,即a=2时等号成立.故所求最小值为27.23 .【解析】（1）依题意由正弦定理可得：2sinCcosA-sinficA = sinAcoB ,则.sinC 羊 0/ 二 cosA =-2A 6 (0).A = 又（2）由余弦定理知：v be 。o匕 + 0 W 2 J3又，故的取值范围是 d国.直通高考1 .【答案】8【解析】由直线-+f =0)过点(L 2)可得土 +二二La ba b所以2d+b = (Zi + 方XI) = 4d + 之4 + 2./= 8 -当且仅当