第12讲主从联动模型解析版2020年中考数学几何模型能力提升篇全国通用

1、中考数学几何模型12 :主从联动模型名师点睛 当轨迹为直线时AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时,揭秘：将点P看成主动点，点 Q看成从动点，当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.可以这样理解：分别过 A、Q向BC作垂线，垂足分别为 M、N,在运动过程中，因为 AP=2AQ, 所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故 Q点轨迹是一条直线，且 Q点运动 路径长为P点运动路径长的一半.思考2CP=CQ,且/ PCQ为定值，当点P在直线如图，点C为定点，点P、Q为动点, AB上运动，请探究点 Q的运动轨迹揭秘：当CP与CQ夹角固定，且 AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且 P

2、Pi=QQi.可以这样理解：易知 CPPiA CPPi,则/ CPPi=CQQi,故可知思考3Q点轨迹为一条直线.以 CP为斜边作 RtACPQ,且 Q的运动轨迹.揭秘：条件CP与CQ夹角固定时，P、Q轨迹是同一种图形，且有PR CPQQiCQ如图，点C为定点，点P是直线AB上的一动点, / P=30 ,当点P在直线AB上运动，请探究点可以这样理解：由 CPQsCPiQi,易得 CPPiA CPPi,则/ CPPi=CQQi,故可知Q点轨迹为 一条直线.总结条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量;主动点、从动点到定点的距离之比是定量.结论： 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；主动点路径

3、做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长; 当主动点、从动点到定点的距离不相等时,从动点运动路径二从动点到定点距离主动点运动路径-主动点到定点距离典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，在等边 4ABC中，AB=10, BD=4, BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连结 PD,以 PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边 DPF,当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径 长是.【分析】根据4DPF是等边三角形，所以可知 F点运动路径长与 P点相同，P从E点运动到A点路径长为 8,故此题答案为 8.变式练习1

4、.如图,方作等边在平面直角坐标系中， A (-3,0) ABP,点B在y轴上运动时，求占) 八 、OPB是y轴正半轴上一动点，以 AB为边在AB的下 的最小值.P点轨迹, 知P点轨迹也是直线.取两特殊时刻：(根据 ABP是等边三角形且 B点在直线上运动，故可1)当点B与点O重合时，作出P点位置P1; (2)当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60时，作出P点位置P2.连接P1P2,即为P点轨迹.根据/ABP=60可知：PP2与y轴夹角为60,作OP，PP2,所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3,EF,例题2.如图，正方形 ABCD的边长为4, E为BC上一点，且BE=1 , F为AB边上的一

5、个动点，连接以EF为边向右侧作等边 EFG,连接CG,则CG的最小值为CG最小值，可以将F点看成是由G点轨迹也是线段，取起点和终点即可【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求 点B向点A运动，由此作出 G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故确定线段位置，初始时刻 G点在Gi位置，最终G点在G2位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹.CG最小值即当CG，G1G2的时候取到，作 CH，GiG2于点H, CH即为所求的最小值.根据模型可知：G1G2与AB夹角为60,故G，EGi .过点E作EFLCH于点F,则HF=GiE=1,CF=1CE 3,所以CH=5,因此CG的

6、最小值为5.2222变式练习（2017秋？1汉区校级月考）如图，4ABC是边长为6的等边三角形，点 E在AB上，点D为BC的中点，4EDM为等边三角形.若点 E从点B运动到点A,则M点所经历的路径长为6 .【解答】解：当点E在B时，M在AB的中点N处，当点E与A重合时，M的位置如图所示, 所以点E从点B运动到点A,则M点所经历的路径为 MN的长，.ABC是等边三角形， D是BC的中点， ADXBC, /BAD = 30, AB= 6,1AD = Je - 3 2= 3V，. EDM是等边三角形，AM=AD =3/3，/DAM =60, ./ NAM = 30 +60 =90,AN=-LaB =

7、 3,在 RtANAM 中，由勾股定理得：MN =7s2+（3(2019?东台市模拟)如图，平面直角坐标系中，点A (0, - 2) , B ( - 1, 0) , C ( - 5, 0)，点D AOB,从点B出发，沿x轴负方向运动到点 C, E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持MED【解答】解：如图，连接OE. / AED= Z AOD=90,.A, O, E, D四点共圆，./ EOC= / EAD =定值，点E在射线OE上运动，/ EOC是定值. tan/ EOD = tanZ OAB=-1-,可以假设E (- 2m, m),当点D与C重合时，AC=+/=亚西, AE= 2EC,，E

8、C=更叵而 5(-2m+5) 2+m2= , 5解得m=或-(舍弃)，55,F z 16 8. E (), 5 D点E的运动轨迹=OE的长=四,故答案为 形.5名师点睛 当轨迹为弧线时思考1AP, Q为AP中点.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？揭秘：Q点轨迹是一个圆，考虑到 Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径 MQ是OPAQ_ 1AP - 2小结：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线,由Q为AP中点可得：AM=1/2AO. Q点轨迹相当于是 P点轨迹成比例缩放.根据动点

9、之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.轨迹是圆、?999，思、考2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接 AP,作AQLAP且AQ=AP.当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？揭秘：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.考虑 APXAQ,可得Q点轨迹圆圆心 M满足AMLAO;考虑AP=AQ,可得Q点轨 迹圆圆心 M满足AM=AO,且可得半径 MQ = PO.即可确定圆 M位置，任意时刻均有 APO0AQM.,思、考 3：如图，4APQ是直角三角形，/ PAQ=90 ；且AP=

10、2AQ, 当P在圆O运动时，Q点轨迹是？揭秘： 考虑APXAQ,可得Q点轨迹圆圆心 M满足AMXAO;考虑AP: AQ=2: 1,可得Q点轨迹圆圆 心M满足AO: AM=2: 1 .即可确定圆 M位置，任意时刻均有 APOsAQM,且相似比为 2.推理:(1)如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接 AP,以AP为一边作等边 4APQ. 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是和圆O全等的一个圆.(2)如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为斜边作等腰直角 4APQ.当点P在圆O上运动时，Q点轨迹为按AP: AQ=AO : AM= ： 1的比例缩放的一个圆.总结：为了便于区分动点 P、Q

11、,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量，即：PAQ是定值)；AP: AQ是定值).主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(/主动点、从动点到定点的距离之比是定量(结论:PAQ= / OAM ;AP: AQ=AO : AM ,也等于两圆半径之比,Q与P的关系相当于旋转+伸缩.(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：/(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点距离之比：也等于两动点运动轨迹长之比，按以上两点即可确定从动点轨迹圆，古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”启迪思维探究重点典题探究例题4.如图，点P (

12、3, 4),圆P半径为2, A (2.8, 0) , B (5.6, 0),点M是圆P上的动点，点 C是 MB的中点，则AC的最小值是.【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点.考虑 C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O, 以O为圆心，OC为半径作圆，即为点 C轨迹.当A、C、O三点共线且点 C在线段OA上时，AC取到最3小值，根据B、P坐标求O,利用两点间距离公式求得 OA,再减去OC即可.答案为 一2工.当事Mfcffh的，JC出小，当M型动到短H?最小，4的小苗二 gmw 二！ QP-PV .变式练习4.如图，在等腰RtAABC中，AC=BC=245,点P在以余边 AB为直径的

13、半圆上,M为PC的中点，当点P从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 【分析】考虑 C、M、P共线及M是CP中点，可确定 M点轨迹：取AB中点O,连接CO取CO中点D, 以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹.当然，若能理解 M点与P点轨迹关系，可直接得到 M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题.答案为2例题5.如图，正方形 ABCD中，AB 2后，O是BC边的中点，点 E是正方形内一动点，OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF,连接AE、CF.求线段OF长的最小值.【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2 ,故E

14、点轨迹是以O为圆心，2为 半径的圆.考虑 DELDF且DE = DF,故作 DM，DO且DM = DO, F点轨迹是以点 M为圆心，2 为半径的圆.直接连接OM,与圆M交点即为F点，此时OF最小.可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM,减去MF即可得到OF的最小值.答案为 5，2-2变式练习AABC中，AB=4, AC=2,以BC为边在 ABC外作正方形 BCDE , BD、CE交于点 O,则线段 AO的最 大值为.【分析】考虑到 AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB,将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段 AO的最大值.根据 AC=2,可得C点轨迹是

15、以点 A为圆心, 2为半径的圆.接下来题目求 AO的最大值，所以确定 O点轨迹即可，观察 BOC是等腰直角三 角形，锐角顶点 C的轨迹是以点 A为圆心，2为半径的圆，所以 O点轨迹也是圆，以 AB为斜边 构造等腰直角三角形， 直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.连接AM并延长与圆M交点即为所求的 点O,此时AO最大，根据 AB先求AM ,再根据BC与BO的比值可得圆 M的半径与圆A半径的比值，得到MO,相加即得AO.答案为372 ,本题或者直接利用托勒密定理可得最大值.名师点睛当轨迹为其他种类时根据刚才我们的探究，所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从 动点与定点连线形

16、成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是 其他图形时，从动点轨迹必然也是.典题探究启迪思维探究重点例题6.如图，在反比例函数 y2的图像上有一个动点 A,连接AO并延长交图像的另一支于点xkB,在第一象限内有一点 C,满足AC=BC,当点A运动时，点C始终在函数y 的图像上运动， x若tan/ CAB =2,贝U k的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【分析】/ AOC=90且AO: OC=1 : 2,显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作 AM、CN垂直x 轴，垂足分别为 M、N,连接 OC,易证 AAMOs ONC,CN=2OM , ON=2AM ,

17、 .ON CN=4AM OM , 故 k=4X2=8.【思考】若将条件 tan/CAB=2”改为ABC是等边三角形”，k会是多少？变式练习2（2017林圳模拟）如图，反比例函数 y=k的图象上有一动点 A,连接AO并延长交图象的另一支于点tan/ CABB,在第二象限内有一点 C,满足AC=BC,当点A运动时，点C始终在函数y=N的图象上运动, =2,则关于x的方程x2-5x+k= 0的解为 xi = - 1, x2= 6 .【解答】解：连接 OC,过点A作AE，y轴于点E,过点C作CF，y轴于点F,如图所示,由直线AB与反比例函数 y=的对称性可知 A、2工又. AC=BC, COXAB.

18、/AOE+/AOF = 90, Z AOF+Z COF = 90,./ AOE= / COF,又./AEO = 90, /CFO = 90,AOEA COF,，妪=匝=外，CF OF CO. tanZ CAB = -S- = 2, ，CF=2AE, OF = 2OE.0A又. AE?OE = , CF?OF= |k|, ，k=i6.B点关于O点对称，.-.AO=BO.丁点C在第二象限，k= - 6,，关于 x 的方程 x2-5x+k=0 可化为 x2 - 5x- 6=0,解得 x1=- 1, x2=6.故答案为：xi=- 1, x2= 6.例题7.如图，A (-1,1) , B (-1,4)

19、, C (-5,4),点P是4ABC边上一动点，连接 OP,以OP为 斜边在OP的右上方作等腰直角 OPQ,当点P在 ABC边上运动一周时，点 Q的轨迹形成的封 闭图形面积为.【分析】根据4OPQ是等腰直角三角形可得： Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ=2 :1 ,可得P点轨迹图形与 Q点轨迹图形相似比为 J2:1,故面积比为2:1, 4ABC面积为1/2 3X4=6,故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3.【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图.变式练习（2017春?工业园区期末）如图，4ABC的面积为9,点P在 ABC的边

20、上运动.作点 P关于原点O的对称点Q,再以PQ为边作等边4PQM.当点P在4ABC的边上运动一周时， 点M随之运动所形成的图 形面积为（）A. 3B. 9C. 27D. 9/1【解答】解：如图，点P从点A出发，沿4ABC的边从A-B-C-A运动一周，且点 Q关于原点O与点P对称,点Q随点P运动所形成的图形是 4ABC关于O的中心对称图形，以PQ为边作等边PQM, M点对应的A, B, C的点分别为 Ma, Mb, Mc,MbQbB是等边三角形，MbO = /OB,同理 McO=V3oc,. Z COB+Z BOMc=90, / McOMb+/BOMc=90此Z COB= Z McOMb,McO

21、MbA COB,MbMc=/3BC同理，MaMb= V3aB, MaMc=V3AC,MaMbMcS ABC,MaMbMc的面积=9X (7s)2=27,即点M随点P运动所形成的图形的面积为27.故选：C.例题8.如图所示，AB=4, AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD,连接AD并延长至点P,使AD=PD,则PB的取值范围为 .EBAMCBACPPPDAE BDDA . 572B, 6C, 2/13【解答】解：如图，连接 OQ,以OQ为边向下作等边 OQH, ./ OQP= ZHQD ,.OQPQHQD (SAS),D. 4【分析】固定AB不变，AC=2,则C点轨迹是以A为圆心，

22、2为半径的圆，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD,则D点轨迹是以点 M为圆心、 /为半径的圆考虑到AP=2AD,故P点轨迹是以N为圆心，2J2为半径的圆，即可求出 PB的取值范围.答案为 4-2,2 PB 4 2.2变式练习8. (2018秋渐吴区期末)如图已知：正方形 OCAB, A (2, 2) , Q (5, 7) , ABy轴，ACx轴，OA, BC交于点P,若正方形OCAB以O为位似中心在第一象限内放大，点P随正方形一起运动，当 PQ达到最小值时停止运动.以 PQ的长为边长，向PQ的右侧作等边 4PaD,求在这个位似变化过程中，D点运动的路径长()连接DH,作QELOA交OA的延长线

23、于 E. . OQH , APQD都是等边三角形，.QO = QH, QP=QD, Z OQH = Z PQD= 60,.OP=DH,点D的运动路径的长=点 P的运动路径的长,直线 OA 的解析式为 y=x, Q (5, 7) , QEXOA,，直线EQ使得解析式为y=-x+12,由,y=xhy=-x+12X=6, E (6, 6), V=6. P (1, 1) ,PE=5/2,P与点5n5 2，E重合时，PQ的长最短,根据垂线段最短可知，当点 ，点P的运动路径的长为 ，点D的运动路径的长为 故选：A.例题9. （2019秋?斫口区期中）如图,副含 30和45角的三角板 ABC和EDF拼合在一

24、个平面上，边 AC与EF重合，BC = 4jcm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动，当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为（24-12/21 cm.cm, /A=30, /DEF = 45,AC=BC= 12cm, AB=2BC=8百cm, ED = DF=；AC =6 cm,当点E沿AC方向下滑时，得 EDF,过点D作DNAC于点N,作DMBC于点M,如图所示: ./ MDN=90,且/EDF=90, . EDN= / FDM,rZEz 丁H在口、和DMF中，NE =4 KF =90E 二D . DNEA DMF (AAS), ,.DN = DM,

25、且 DN,AC, DM CM, CD平分 Z ACM , 即点E沿AC方向下滑时，点 D在射线CD上移动，当 EDAC 时，DD值最大，最大值= V2ED - CD= (12-6西)cm,当点E从点A滑动到炉；C时，点 故答案为：（24- 12点）.D 运动的路径长=2X (12- 6/2) = ( 24- 12/2) cm；变式练习9. （2018神华模拟）如图， RtAABC 点重合，随着顶点 A由。点出发沿 重合时运动结束.在这个运动过程中.中，BC=4, AC =8, RtABC的斜边在x轴的正半轴上，点 A与原 y轴的正半轴方向滑动，点 B也沿着x轴向点O滑动，直到与点 O（1） A

26、B中点P经过的路径长再兀.（2）点C运动的路径长是 8-匹-12-AB=4 反,.-.OP = 2,二.AB中点P运动的轨迹是以 O为圆心，以OP为半径的圆弧,即AB中点P经过的路径长=X2-75 户 V5 兀;（2）当A从。到现在的点A处时，如图2,此时CAy轴,点C运动的路径长是 CC的长，AC= OC= 8, AC/ OB, .ACO= / COB,cos/ACO = cos/COB = l=&C： ,三=, OB 0Cy 研 0CzOC = 4、匹,CC = 4/5-8;当A再继续向上移动，直到点 B与O重合时，如图3,此时点C运动的路径是从 C到C,长是CC, CC = OC - B

27、C=4/5-4,综上所述，点 C运动的路径长是： 而-8+4/缶-4=84亏-12;故答案为：（1）泥兀； （2） 8/5-12.达标检测领悟提升强化落实1. （2018秋世冈期中）在4ABC中，/ BAC=90, AB=AC=2cm,线段BC上一动点P从C点开始运动, 至|J B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边4ARQ,则Q点运动的路径为22 cm.【解答】解：如图，Q点运动的路径为 QQ的长, ACQ和 ABQ 是等边三角形，CAQ= / BAQ= 60, AQ = AC=AQ = 2cm,. / BAC=90,./ QAQ = 90,由勾股定理得：QQ = 十一+ 2 2 = 2/2

28、，Q点运动的路径为2，cm;故答案为：2、叵2.如图，在矩形 ABCD中，AB = 4, /DCA = 30,点F是对角线 AC上的一个动点，连接 DF ,以DF为 斜边作/ DFE =30的直角三角形 DEF ,使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中， 点E的运动路径长是竺1 .【解答】解：E的运动路径是线段 EE的长;,. AB=4, /DCA = 30。，BC = 警当F与A点重合时,在 RtMDE中，AD =,/DAE=30,Z ADE=60,.DE=Jp_, /CDE=30。，当F与C重合时，/ EDC = 60, ./ EDE= 90, / DEE=30,在RtDE

29、E中，EE=/;故答案为 士/.3. (2019?铜山区二模)如图，已知点 M (0, 4) , N (4, 0),开始时， ABC的三个顶点 A、B、C分 别与点M、N、。重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点 。结束运动，同时点 B沿着x 轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长4 .【解答】解：过点C作CDx轴，CEy轴 点 M (0, 4) , N (4, 0),. OM = ON, / CAC+45 = / EAB+ / MGB = 45 + / MGB , . / EAC= / BGB,. / BGB + /GBB = 45, Z GBB+Z DBC = 45,一 !

30、 WFi 尸 飞 TOC o 1-5 h z GV。? -A ./ EAC= / DBC,F7i f n 4 hi tit HYPERLINK l bookmark40 o Current Document _ _ _cr又AC= BC,RtAACERtABCD (HL),EC = DC,C在第四象限的角平分线上，C的运动轨迹是线段 AC, C的运动路径长为 4;故答案为4;(2018?宝应县三模)在 RtABC中，/C=90, AC=2、/1, BC=2,若P是以AB为直径所作半圆上由A沿着半圆向B运动的一点，连接 CP,过P向下作PMXCP,且有PM = 0.5CP,如图示，求点 P运动过

31、程中，点 M的运动路径长是直兀._【解答】 解：如图，二点P的运动轨迹是半圆 A3, PMXCP,且有PM = 0.5CP,可见点M的运动轨迹是半圆 面.当PC是直径时，CM也是面的直径，PC=AB=4 时，PM = 2,. CM十42=2/, ，EF 的长=?兀，故答案为工兀如图，已知线段 AB = 8, O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP=2不变，连结BP,将PB绕点P逆时针旋转90到PC,连结BC、AC,则线段AC长的最大值是 2714 .c【解答】答案为：6(2017?1阴市二模)如图，线段 AB为。O的直径，点 C在AB的延长线上，AB= 4, BC=2,点P

32、是 OO上一动点，连接 CP,以CP为斜边在 PC的上方作 RtAPCD,且使/DCP = 60,连接 OD,则OD长的最大值为2+1 .【解答】 解：如图，作 COE,使得/CEO=90, /ECO=60, 则 CO = 2CE, OE = 2石 /OCP=/ECD,.CP=2CD,CO而. /CDP=90, ZDCP = 60,里=2, .COPsCED , 史=空=2,即 EDOP=1 （定长），CDED CD2点E是定点，DE是定长，点D在半彳仝为1的。E上,. ODOE + DE = 23+1 ,，OD 的最大值为 2+1,故答案为12相+1.(2018?建湖县一模)如图，在平面直角

33、坐标系中，A (4, 0)、B (0, - 3),以点B为圆心、2为半径的OB上有一动点P.连接AP,若点C为AP的中点，连接 OC,则OC的最小值为 1.5 .【解答】解：解法一：如图，取点 D (-4, 0),连接PD,.C是AP的中点，O是AD的中点,.OC是4APD的中位线，OC=PD,2连接BD交。B于E,. OD=4, OB=3,BD = 5,当点P与点E重合时，PD最小为5-2=3,故OC的最小值为1.5;解法二：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点 Pi, Ci是APi的中点,当点P在线段AB上时，C2是 点C的运动路径是以 D为圆心，设线段AB交。B于Q,AOB 中，OA

34、=4, OB=3,AB= 5,.OB的半径为2,BPi = 2, APi= 5+2=7,Ci是APi的中点， ACi = 3.5, AQ=5-2 = 3,.C2是AQ的中点，AC2=C2Q= i.5,CiC2=3.5 - i.5=2,即。D 的半径为 i ,AD = i.5+i = 2.5 = A.AB,2.-.OD=AB=2.5,2中点，取CiC2的中点为D,以DCi为半径的圆，当O、C、D共线时，OC的长最小,7.8.OC = 2.5- i = i.5, 故答案为：i.5.（20i6?T岸区校级模拟） 如图，线段AB=2, C是AB上一动点，以AC、BC为边在AB同侧作正AACE、 正ABCF,连EF,点P为EF的中点.当点 C从A运动到B时，P点运动路径长为 i .【解答】解：如图，分别延长 AE、BF交于点H. Z A= Z FCB=60,AH / CF ,. / B= / ECA=60,CE / BH ,四边形ECFH为平行四边形，EF与HC互相平分.P