2014届二轮思维提升能力拓展专题研究性讲义

1、PAGE PAGE 782014届高三数学研究性学习系列专题（思维提升能力拓展）PAGE PAGE 78 专题 集合、常用逻辑用语中相关问题的再研究 学习是一趟旅程，教师充当的是导游角色。在旅程开始前，何导游先介绍一下本次旅程我们要参观的景点（相当于认知地图Cognition-map），游览前要对我们本次参观的景点做到心中有数，游览完本专题后回头审查这份认知地图，看看能否对此次旅程的所有景点有较深刻的印象，如果能做到这一点，恭喜你，我们不虚此行！ 学习完本专题，你应该要掌握下列问题的处理方法？1. 整数型（整除型）问题、不定方程问题；2. 单参数、双参数不等式恒成立（有解）问题；3. “条件”

2、处理的优化方法；4. 两组数列元素所成集合的交并集合的元素问题；5. 数列中隔项成等差（等比）数列问题；6. 复合函数的零点问题研究.【易错题】1.（教L1例2）用列举法表示 2.（教L2基7）集合，若，则实数的取值范围是_ 3.（教L2例3）已知集合，满足且，则实数 4.（2011届高三苏州期末考试19题改编）不等式的解集为_ 5.（教L3基6改编）命题“”的否定为_6.（教L3基8改编）函数为奇函数，则实数的取值集合为_ 7.（同心圆梦3）满足的集合共_组；满足集合关系的集合共有_组8.（三角形中的充要关系的判断）在中，是的_条件；在中，是的_条件；在中，是为锐角三角形的_条件【专题研究、

3、方法梳理】专题1：整数型（整除性）问题研究类型1：方程型的整数型（整除性）问题引例1（理科做）：已知二项式，其中，且，在其二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？引例2：已知，问是否存在正整数m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由？类型2：不等型的整数型（整除性）问题引例3：已知数列的通项公式为，是其前n项的和，问是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，请说明理由.练习：1.已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q为小于1的正有理数。若，且是正整数，则q等于 _2. m

4、N，若函数存在整数零点，则m的取值集合为 _3. 函数中，为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的值的和为_4. 设均为大于的自然数，函数，若存在实数使得，则触题生情：求函数的值域.（有几种方法？哪种方法能体现本题的原型？）问题源头分析：不定方程问题.【高考试题背景探源】（2012年江苏20）已知各项均为正数的两个数列和满足：（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值5. 各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中前三项依次成公差为d（d0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列. 若，则q的所有可能的值构成的集合为 _ 专题2：集合与不等式恒成立（有解）的问题

5、研究引例：已知集合，集合（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；总结：不等式恒成立问题的相关转换策略，请分析下列恒成立的等价条件：1. =，其中ab0，有对一切xR恒成立；2. 函数，对任意都有成立；3. 函数（），若在区间上是减函数，且对任意的，总有；4. 已知函数，若存在，使得；5. 已知，若对，；6. 函数，若对任意的，总存在，使成立；7. 上题条件改为“若存在，总存在，使成立”呢？8. 函数，若对于任意的，均存在以为三边长的三角形.练习：已知函数定义在区间a, b上，设“”为函数在集合D上最小值，“”为函数在集合D上最大值.设，()；，()若存在最小正整数k，使得对任意

6、的成立，则称函数为区间上的“第k类压缩函数”（）若函数，试写出、的解析式；（）若m0，函数是上“第3类压缩函数”，求实数m的取值范围专题3：一类集合交集非空问题研究引例：（教L2例4）集合，若，则实数的取值范围是_ 变式1：（2011年江苏14）设集合，若，实数范围是_变式2：设, 若 则实数m的取值范围是_.专题4：两组数列元素所成集合的交并集合的元素问题研究引例1：两个集合和都各有100个元素，且每个集合中元素从小到大都组成等差数列，则集合中元素的最大值为_引例2：设数列an的通项公式为为数列bn的通项公式为bn3n2集合Axxan，nN*，Bxxbn，nN*将集合AB中的元素从小到大依次

7、排列，构成数列c1，c2，c3，则cn的通项公式为_专题5：数列隔项成等差（等比）数列问题研究引例1：（教L4例2）已知数列满足，求证：数列为等差数列的充要条件是拓展：若数列为公差为的等差数列，试探究数列为等差数列的充要条件，并加以证明.引例2：已知正项数列满足，求证：数列为等比数列的充要条件是.拓展：若正项数列满足：数列为公比为的等比数列，试探究数列为等比数列的充要条件，并加以证明.练习：数列满足，则的前项和为_；专题6：复合函数的零点问题研究引例1：（教L4例4）已知函数，集合，. 若为单元素集，试求的值.引例2：已知，函数，如果函数与函数有相同的零点，试求实数的取值范围.【高考试题背景探

8、源】（2012年江苏高考）已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数练习： 1. 函数方程有7个根的充要条件是_2. 已知函数，关于的方程，给出下列四个命题： 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为_3. （2007年江苏高考20）已知是不全为零的实数，函数，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x）=0的根，反之，g（f（x）=0的实数根都是f（x）=0

9、的根.（1）求的值；（2）若a=0，求的取值范围. 专题 函数中相关问题的再研究 本专题的认知地图，游览完本景点，你应该能够处理下列问题：1. 含参数的三次函数的最值问题及讨论三层次问题2. 简单的复合函数、含分式的复合函数、含根式的复合函数、多元变量函数的值域和最值问题；3. 恒成立问题中参数范围的局部缩小策略4. 函数型方程（不等式）常见求解策略5. 常见的八类非基本初等函数的问题研究八类函数分别是：尖底、平底型折线函数、型函数、牛顿三叉函数、可化为二次函数的绝对值型的复合函数、对数与绝对值函数的复合函数、指数与绝对值函数的复合函数、对数与双曲线型函数的复合函数、对数与二次函数的复合函数6

10、. 二次函数的零点分布问题、最值问题7. 高中数学中具有将指数下移功能的运算方式问题8. 函数与方程有三种等价语言的转化问题【易错题】1.（教L6练7）已知函数的定义域为，值域为，则的定义域为_；值域为_ 2.（教L6练8）已知函数的图像与的图像关于点对称，则的解析式为_ 3.（教L7基8）函数的值域为_；函数的值域为_；函数（）的值域为_；的值域是_4.（教L8基6改编）函数的单调增区间为_已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是_ 5.（教L9例3）设为函数的对称中心，则必有恒等式_根据上述结论，写出函数的一个对称中心为_6.（双对称性问题）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数

11、.若方程在区间上有四个不同的根，则7.（教L9练5）已知函数若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_ 变式1：已知数列是单调递增数列，且通项公式为则实数的取值范围是_ 变式2：函数f(x)=在R不是单调函数，则实数的取值范围是 _ 变式3：函数,其中. 若对任意的非零实数,存在唯一的非零实数,使得成立,则的取值范围为_变式4：已知函数f(x)=，无论t取何值，函数f(x)在区间(-，+)总是不单调则a的取值范围是 8.（教L12例3）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是_ 9. （教L14基3）已知函数是定义在上的单调函数，若，则函数的零点个数为_ 10. 抽象函数虽然抽象，但总能从我

12、们所学的基本初等函数中找到一个具体函数支撑抽象性质，请各找出一个满足下列条件的基本初等函数：（1）_；（2）_11. （教L16练4）已知偶函数满足，当时，则 12.求的最小值为_（注重对结构的认知）拓展1：已知满足则的最大值为_拓展2：设为实数，且满足关系式，则【专题研究、方法梳理】专题1：含参数的三次函数的最值问题及讨论三层次研究引例1：（教L6练9）函数的图像上有两点，且轴，点，其中，（1）试写出用点的横坐标表示面积的函数解析式；（2）记的最大值为求练习：已知函数，且试用含有的式子表示；（2）求的单调区间专题2：简单的复合、含分式的复合、含根式的复合、多元变量函数的值域和最值问题第I类：

13、简单的复合函数引例1：；第II类：带分式的复合函数（换元、部分分式法、反解（判别式法）、公式法）引例2：直接写出函数的值域为_，曲线的对称中心为_；若添加条件，则值域为_；根据以上结论直接写出函数的值域：；引例3：求函数的值域 变式：求函数的值域变式：求函数（）的值域引例4：求函数的值域第III类：带根式的复合函数引例5：求函数的值域；思考：根式函数的值域如何研究？引例5：求函数的值域；变式1：求函数的值域；变式2：求函数的值域；变式3：求函数的值域；变式4：求函数的值域；思考：一般地，求函数（其中）的值域如何研究？第IV类：构造法求函数的值域问题引例6：求函数的值域是_探究拓展：多元函数的最

14、值问题研究1.设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为 _2.已知点到原点的距离为1，则的最大值为_3.，对于任意实数，的最大值为_4.已知关于的实系数一元二次不等式的解集为，则的最小值是 _专题3：恒成立问题中参数范围的局部缩小策略引例1：（L7例4）若函数的定义域与值域均为区间（），求实数的取值范围.引例2：已知函数，其中是自然数的底数，.若在上是单调增函数，则的取值范围为_练习:1. 设aR，若x 0时均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0，则a=_2. 对于总有成立，则= 3. 设f(x)奇函数，当时， f(x)2xx 2，若函数f(x)(xa，b)的值域为 eq f(1,b)，

15、eq f(1,a)，则b的最小值为_ ，实数的取值集合为_ 专题4：函数型方程（不等式）的常见求解策略 引例1：（天津高考）已知函数，若，则实数的取值范围是_ 引例2：实数，函数，若，则= _练习：1.函数f(x)= eq blc(aal(x2+1，x0,1 ，xf(2x)的x的范围是_ 变式：函数则满足不等式的的范围是_2.已知，求满足的所有实数a专题5：八类常见非基本初等函数的问题研究函数模型一：尖底、平底型折线函数（且是等差数列）它的图像是什么？一定是轴对称图像吗？若是，对称轴是什么？最小值何时取得？引例1：函数的最小值为_引例2：设函数的图像关于直线对称，则的值为_练习：，且，则满足条

16、件的所有整数的和是_变式：下列命题中真命题的序号是 _（1）是偶函数；（2）在上是增函数；（3）不等式的解集为；（4）方程有无数个实数解拓展：已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100 x-1|，则当x= 时，f(x)取得最小值函数模型二： 型函数函数的图像和性质如何研究？引例：函数的定义域是，若对任意的，都有，则实数的取值范围是_ 练习：已知函数f(x)|exeq f(a,ex)|(aR)在区间0,1上单调递增，则实数a的取值范围是_函数模型三：牛顿三叉曲线称为牛顿三叉曲线.运用数学方法，总结“牛顿三叉”函数的图像和性质练习：1.已知函数在上为增函数，则的取值范围为

17、变式：若条件改为上为减；上为增；上为减，结论分别如何？2.已知二次函数的图像以原点为顶点，且过点（1，1），反比例函数的图像与的两个交点间的距离为8，。试判断当时，关于的方程的实数解的个数为 函数模型四：可化为二次函数的绝对值型复合函数引例1：已知，函数（1）判断函数的奇偶性，请说明理由；（2）求函数在区间上的最小值；（3）设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（只要写出结果，不需要写出解题过程）思考：已知，函数.求函数在区间1,2上的最小值.练习：1. 已知函数有最小值，则实常数的取值范围是 变式：函数在上有最大值，则实数的取值范围是_2. 已知函数，其中，且.（1）如果

18、函数的值域是，则实数的取值范围为_；（2）如果函数的值域是，实数的最小值为_函数模型五：对数和绝对值函数的复合型函数引例：已知函数,.（）当时,求函数在区间上的最大值；（）若恒成立,求的取值范围；（）对任意,总存在惟一的,使得成立,求的取值范围.函数模型六：指数和绝对值函数的复合型函数引例：（2008江苏卷20）若，为常数，且（）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；（）设为两实数，且,若.求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）函数模型七：对数与双曲线型函数的复合型函数引例：设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质.

19、（1）设函数，其中为实数（i）求证：函数具有性质； （ii）求函数的单调区间；（2）已知函数具有性质.给定设为实数，且，若|0, 则实数b的取值范围为_；不等式(3x2+a)(2x+b) 0对一切x(a，b)恒成立，其中a0，则b-a的最大值为_9.（教L44基5）不等式对于任意恒成立，实数的取值范围是_ 10. 写出柯西不等式并写出等号成立的条件_ 【专题研究、方法梳理】专题1：求参数取值问题中的一类确定主元问题的研究引例1：设关于的不等式对于满足的一切都成立，则的取值范围是_ 引例2：（主元的选择与确定）设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高之比为（），画面的上、下各留的空白，画面的

20、左、右各留的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？如果，那么为何值时，能使得宣传画所用纸张面积最小？练习1：若在上存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是_ 2：（2010浙江）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，且满足，则的取值范围是_变式：试求的取值范围3：若为等差数列，前项和为，求证：对于任意的，不能构成等比数列.专题2：一类区域的面积问题研究引例1：在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为_ 练习：1：，则满足条件的点所形成的区域面积为_2：已知函数，若，且，则满足条件的的点所围成的面积为_3：如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(A

21、CB，AC2)沿x轴 滚动，设顶点A(x，y)的轨迹方程是y，则在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为 引例2：直角坐标系中，点集，点集所表示的区域的面积_练习：两个正实数满足，若当时，恒有，则以为坐标的点所形成的平面区域的面积等于_专题3：多元变量问题处理方法的系统研究一、变式换元法引例1：已知函数的导函数是，. 设是方程的两根，则|的取值范围为 _引例2：在中，已知三边长满足，则的取值范围是_练习1：已知正数满足：则的取值范围是_练习2：（浙江大学自主招生试题）设为正实数，（1）如果，则是否存在以为三边长的三角形？请说明理由；（2）对任意的正实数，试探索当存在以为三边长的三角形时的

22、取值范围.二、引入新元法引例：求函数的最大值变式1：已知实数满足，则最小值为 变式2：已知，且，求的最大值为_变式3：设是正实数，且，则的最小值是 _ 三、确定主元法（具体见专题1）引例：已知实数满足方程及,则的最小值是 练习：已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是_变式：设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a b=,=60,则|c|的最大值为 专题4：几类基本不等式问题研究第一类：设，则的最小值为_ 变式1：设，则的最大值为_ 变式2：设，则的最大值为_ 练习：设实数x、y满足x2xy10，则xy的取值范围是_第二类：若已知，则的最小值为 .变式：设是不全为零的

23、实数，求的最大值第三类：若是与的等比中项，则的最大值为_ 练习：已知，则的最大值为_ 变式：已知，则的最大值为_ 专题5：利用函数研究不等式的相关问题研究引例1：已知函数是定义在R上的奇函数且，当时，则不等式的解集是 练习1：定义在的可导函数满足：为偶函数，则不等式的解集为 练习2：定义在的可导函数满足： ，则当时，与（是自然对数的底数）的大小关系是 引例2：已知定义在的函数满足：，。若，令，则使数列的前项和的最小自然数= _引例3：已知函数，方程的一个根为t，且，（1）求函数的导函数；求导函数的值域；（2）证明：，练习：1.设M是由满足下列条件的函数构成的集合：方程， 有实数根；函数的导数满

24、足.（1）若函数为集合M中的任意一个元素，证明：方程只有一个实根；（2）判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由；（3）设函数为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意，当且时,证明： 2. 已知函数是奇函数，且图像在点为自然对数的底数）处的切线斜率为3. （1）求实数、的值;（2）若，且对任意恒成立，求的最大值;（3）当时，证明： 专题 解析几何中相关问题的再研究 本专题的认知地图，游览完本景点，你应该能掌握处理下列问题的方法： 1. 一类与三角问题有关的最值问题与直角走廊问题的拓展研究 2. 两类最值问题研究 3. 平行线间的一类三角函数问题的研究 4. 圆系方程问题研究 5. 和圆有关的

25、八类轨迹问题研究 猫的轨迹问题（达芬奇椭圆仪）、阿波罗尼斯圆、 运动轨迹面积问题、圆（圆锥曲线）的一组切线方程问题、圆的公切线问题、圆的包络问题6. 椭圆中的系列问题研究 椭圆定义知多少与椭圆圆周角性质定理的拓展研究圆锥曲线中一类对称问题、焦点三角形问题、一类向量成定比问题、几类椭圆中点的存在性问题、椭圆的极坐标方程的相关问题研究、椭圆的极点和极线的相关问题研究、解析几何中定的问题研究、解析几何中的几类最值问题【易错题】1.（教L46基6）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为_2.（教L46例1（1）直线的倾斜角的取值范围为_变式：若已知，则直线的倾斜角大小为_ 3.（教L47

26、基6）已知直线，若三条直线共有三个不同的交点，则实数满足的条件是_ 4.（教L47巩3）若两点到直线的距离均等于1，则直线的方程为_5.（教L49基4）动点满足，为坐标原点，则的取值范围是_6. 注意圆中的几个结论：（看看你还记得么？）（1）相交弦定理；（2）直线与相切问题如果切点已知，则切线与切点与圆心连线垂直；（3）两个等圆相切，则切点必为两个圆心的中点；7.已知圆的半径为1，为圆的两条切线，为两切点，的最小值为_8. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是_9. 已知圆，若圆上有且只有4个点到直线的距离为1，则r的取值范围是_.引申：关于圆上点到直线l与距离为d的点的个数归纳？10. 若实

27、数a,b,c成等差数列，点P（-1,0）到动直线上的射影为M，已知点N（3,3），则线段MN长度的最大值为_.11. 已知点的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，过的直线与轨迹有两个不同的交点时，则直线的斜率的取值范围是_ 12. 在平面直角坐标系xoy下，已知双曲线（），右焦点为F，右准线为l,点A，B是右支上两点， ，线段AB的中点M在右准线上的射影点为，则的最大值为 . 13.（教L53基7）若是双曲线的左右焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于9，则点到焦点的距离是 . 14.（教L53巩3）过点与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_ 15.（教L54基2）抛物线的焦点坐标

28、为_ 16.（教55巩4）若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是_【专题研究、方法梳理】专题1：一类与三角问题有关的最值问题与直角走廊问题的拓展研究引例：已知直线过点，且与轴的正半轴、轴正半轴分别交于两点（1）求面积最小值及此时直线的方程；（2）求最小值及此时直线的方程；（3）求最小值及此时直线的方程变式1：过点作直线交轴与轴交于两点，若的面积为12，试问这样的直线有几条？ 变式2：已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴交于两点，若面积为的直线条数为2条，则的取值范围是_问题背景探源：直角走廊问题（拓展）引例 如图，一条直角走廊宽为:1m，若一根铁棒EF能水平地通过此直角走廊，求此根铁棒的最大长度

29、变1：如图，一条直角走廊宽分别为1m和8m，若一根铁棒EF能水平地通过此直角走廊，求此根铁棒的最大长度变2：如图，一条转角处角度为（）的等宽走廊宽为1m，若一根铁棒EF能水平地通过此直角走廊，则此根铁棒的最大长度为_变3：如图，一条等宽直角走廊宽为2m，现有一转动灵活的平板车，其俯视图的外框为一矩形，它的宽为1，平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少？变4：一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于，两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点设，试用表示木棒的长度；NMABCD

30、EFGHPQ1m1m（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值小结：解决直角走廊问题的基本思想方法：直角走廊问题的数学本质：专题2：两类最值问题研究第一类引例：在直线：上（1）求一点，使到点和的距离之和最小；（2）求一点，使到点和的距离之差最大.变式1：以为一个顶点，试在轴上找一点，另在直线上找一点构成，使其周长最小.变式2：自发出的光线被轴反射后射到圆上，则光线走过的最短距离为_ 第二类引例：等腰三角形的腰上的中线长为，则的面积的最大值_变式1：等腰三角形的腰上的中线长为，则的周长的最大值为_变式2：在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC(k为常

31、数，且0k1)，BD=l为定长，则ABC的面积的最大值为 变式3：在正三棱锥P-ABC中，D为线段BC的中点，E在线段PD上，PE=kPD(k为常数，且0k0,.（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）【高考试题背景探源】椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆（ab0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:（1）若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（3）过椭圆外（上、内）任意一点，如何作出相应的极线？练习：(2009年福建) 已知椭圆C的离心率e，长轴的左右端点分别为（2，0），（2，0），如图所示（1）求椭圆C的方程；（2）设直线xmy1与椭圆C交于两点P，Q，直线与交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由问题7：解析几何中五类定的问题研究类型1：定直线问题已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中