振动理论及工程应用10第十章-非线性振动课件

1、第10章 非线性振动 一般来说，振动系统总是非线性的，线性系统只是一种简单模型。如果线性理论能反映所要考察的物理现象的定性性质和适当的定量结果，那么就把它当作线性系统来处理；否则，就要研究非线性系统。 在线性系统的研究中可以应用叠加原理，即系统对不同激励的响应可以线性相加，而对非线性系统叠加原理不成立，因此对非线性系统的研究比线性系统要复杂得多。 从研究方法上或是振动过程的变化规律上，非线性振动与线性振动之间有本质区别。 研究非线性振动有两种基本方法定性方法： 定性方法关心的是在已知解的邻域内系统的一般稳定性特征，并非寻求与时间相关的解。定量方法： 定量方法关心的是运动的时间历程，一般应用摄动

2、法来求得这类方程的近似解析解。 10.1 非线性振动的例子 单摆的有限振幅振动是最简单的一个例子 对于微小振动，如果振幅不是很小 运动微分方程为 线性系统非线性系统单摆运动特性 质量m在拉紧着的钢丝中的振动。设质量m附着在长度为2l的钢丝中间，钢丝两端的拉力为S。当质点从其平衡位置侧向移动距离x时，钢丝产生恢复力， 运动微分方程为 其中A, E和l分别表示钢丝的横截面积，弹性模量和长度增量； 为钢丝与竖直线的偏角。运动微分方程为 其中 如果不再假设位移x很小，那么弹簧的弹性恢复力一般地是位移x的非线性函数 代入整理得一般非线性系统的运动微分方程可表示为 如果则称弹性恢复力为硬特性恢复力（称为硬

3、弹簧）；则称弹性恢复力为软特性恢复力（称为软弹簧） 如果例如当时表示硬弹簧；时表示软弹簧。 当硬弹簧曲线示意图 软弹簧曲线示意图 如果系统还受到阻力强迫力的作用，则系统的运动微分方程为在一般情况下，单自由度系统的运动微分方程为或它是x和的非线性函数。其中 如果函数 f 不显含t，则称这个系统为自治系统，否则称为非自治系统。10.2 相平面 平衡点式中x表示质点的位移， 表示质点的速度。如果把(x, y)看作平面上点的坐标（称为相点） ，该平面称为相平面。 设自治系统可表示为或对于更一般的情形，方程可表示为 微分方程式的一个解x=x(t), y=y(t)对应于相平面上的一条曲线，称为相轨迹，简称

4、轨迹。 若相平面上的点为即则称点(xs, ys)为方程式的平衡点。设点O(xs, ys)是一个平衡点。令不妨设平衡点O为原点，则方程式可写成对于线性方程组特征方程为 两个特征根为 平衡点（0，0）有如下类型：（1）特征值均为负实数(p0 , p2 4q0)，则平衡点是稳定结点稳定结点稳定非正常结点稳定星形结点（2）两特征值均为正实数(p0 , p2 4q0)，则平衡点是不稳定结点。分别称为不稳定结点，不稳定非正常结点和不稳定星形结点。图形分别与上图相似，但箭头方向相反。（3）特征值为相异实数（q0），则平衡点称为鞍点，如图所示。（4）特征值为复数，实部为负(p0 , 4qp2)，则平衡点称为稳

5、定焦点，如图所示。稳定焦点鞍点 （5）特征值为复数，实部为正(p0 , 4qp2)，则平衡点称为不稳定焦点，此时形状与上图相同，但箭头方向相反。（6）特征值为纯虚数，则平衡点称为中心，此时相迹为封闭的圆，如图所示。中心点平衡点类型示意图 总结以上各种情况，平衡点类型可在pq平面上简单表示，如图所示。例1 设质量为m,长为l的单摆在具有粘性阻尼的介质中运动,阻尼系数为c,其运动微分方程为试研究单摆运动的相图.解： 令则方程式可写成则方程式（b）可表示为再令 则方程式的平衡点为对于平衡点（0，0），按式求得特征方程为特征值为当 1 时，点（0，0）为稳定结点； 对于平衡点(，0)，两特征值为相异实

6、数， 点(，0)为鞍点当 = 1 时，点（0，0）为稳定的非正常结点；当 1 时，点（0，0）为稳定焦点。 其它平衡点可类似讨论。一般来说平衡点（0，0）， ( 2，0) ，(4，0) 为同类型平衡点。大阻尼小阻尼临界阻尼 由摆的相图可见，摆的最低位置（=0）是稳定的，而摆的最高位置（=）是不稳定的（同为鞍点 ）。 摆的相平面示意图稳定结点非正常结点稳定焦点（0，0）点 1 = 1 1大阻尼小阻尼临界阻尼10.3 保守系统保守系统的运动微分方程可以写成将上式积分得或 设x=0处势能为零，E是积分常数，它表示质点的机械能。表明系统的机械能守恒。 保守系统中的周期运动对应于相平面上的闭轨线。闭轨线

7、不是孤立的，这是保守系统的一个特点。闭轨线一个包围一个，在相平面上充满某个区域。从物理意义上来看，这意味着，如果有一个周期运动，就有无穷多个周期运动。周期运动的周期为 由于E依赖于初始条件，可见周期与初始条件有关，而对于线性系统，周期与初始条件是无关的。这是非线性系统与线性系统的一个区别。例10-3 求质量为m长为l的单摆，在作无阻尼自由振动时的周期T。解 单摆的运动微分方程为令，并对式积分得为摆幅，则单摆振动得周期为设则上式可写成令，则上式展开后积分得以代入上式得 若将式直接进行数值积分求其数值解，其时间历程如图所示，它与解析结果表达式是基本一致的。由此可知，非线性振动的周期与振幅的大小有关

8、。时间历程示意图即10.4 非保守系统 由于阻尼的存在，其总能量将随时间而变化，这一类系统称为非保守系统。 若系统的总能量随时间增加而单调减少，运动最终趋向一个稳定的平衡位置，称为耗散系统。 耗散系统中不存在周期运动。若在有阻尼的情况下实现周期振动，必须不断地补充能量。 若用外加周期力来补充能量，称为强迫振动。 若系统内部存在非振荡性能源，由它引起的周期性振动，称为自激振动，简称自振。10.4.1 极限环 若在非线性系统中存在着封闭的相轨线，它对应于系统的周期运动。 在保守系统中，封闭相轨线包围着奇数个奇点，这些奇点是中心和鞍点。形成层层相套的连续系统。 在非保守系统中，存在着一条孤立的简单的

9、封闭相规线，称为极限环。 极限环的振幅仅取决于系统的参数，而保守系统封闭相轨线的振幅决定于初始能量。 在非保守系统中必须是经过一整周后，能量的增量为零。稳定的极限环不稳定的极限环图 极限环L有一个环形邻域，当随着时间的增长，所有轨线都从内部和外部无限趋近极限环L时，则称此极限环为稳定的， 反之，都远离极限环L，则称此极限环为不稳定的，因此，极限环是否存在，是否唯一，是否稳定，以及其位置如何，都要根据具体问题认真分析讨论。 若属于L外部的（内部的）趋于L，内部的（外部的）离开L，这种极限环称为半稳定的， 半稳定的极限环10.4.2 一个由摩擦引起的自激振动现象若 为皮带的速度，并为常数，设x1为

10、M离开原点的距离，则皮带相对于M的速度为摩擦力F是皮带对物体的相对速度vr的非线性函数物块M的运动微分方程为设物块的平衡位置为x0，以 代入上式得则函数 的图形如图所示。以x0为新的坐标原点，其位移为x，由坐标变换则运动方程式可表示为其中令 若将此系统的运动在相平面(x，y)上表示，则由任意初始状态确定的相点P0( x0,y0)出发，绘制成相轨迹。 它是具有恒定频率和恒定振幅的周期运动，称为自激振动。工程中称为颤振。 由直线P3P1和曲线P1P P3构成的封闭曲线S，成为一个稳定的极限环，10.4.3 中华文物龙洗的振动机理 假设流体为无粘、无旋和不可压缩。在摩擦作用下，壳体的振动很小，完全在

11、线性范围内。设流体的运动也属于线性范围，所以流体速度势表示为 忽略厚度的不均匀性，将龙洗简化为一个铜制的近似旋转薄壳，靠近边缘有两个供手搓动摩擦的耳。由势流理论，应满足Laplace方程，即流场的边界条件是把两耳上的搓动视为在壳上两点上的搓动。并搓动的速度相同 搓动速度为， 干摩擦力函数为 壳体的振动方程为 将耦合系统的湿模态，记为方程式的解表示为模态的线性组合由湿模态的正交性，模态坐标下的运动方程为振动位移表示为 其中Pi(t)为模态广义力。平面是镜面对称的，模态可分为三类：（）对xz平面对称；（）对xz平面反对称，对yz平面也反对称；（）对xz平面反对称，对yz平面对称。对于第I类，模态在

12、A、B点处周向位移为零。设NA=NB，计算非线性模态广义力得第一种情形，双耳同向搓动第二种情形，双耳反向搓动 模态广义力是广义速度的非线性函数，此系统是一类多自由度自激振动系统。 第一种情形只产生第II类模态的自激振动； 第二种情形只产生第III类模态的自激振动。方程式是多自由度的非线性振动方程。直接求解析解较困难，首先以第一种情形为例进行数值解。首先对时间t进行坐标变换，引入新变量，设代入方程式，取前两阶湿模态，可得其中由模态实验结果，湿模态参数为计算结果（相平面图）如图所示。第一阶模态的数值均在第二阶模态相应数值的3以下，并且都是稳定解。结论：在此多自由度非线性振动系统中，自激振动主要以同

13、类最低阶湿模态为主，高阶湿模态可忽略不计。 振幅的最大值发生在 点。以搓动速度为横坐标，振幅为纵坐标，结果曲线如图所示。它表示当粘滑系数一定时振幅与搓动速度的变化关系 时，振幅随搓动速度的增大而增大 时，振幅随搓动速度的增大而减小 定常解振幅值与粘滑系数和搓动速度有关。要达到较大值，使水珠喷得高，不但调整搓动速度，还要选择适当的粘滑系数。（在搓动之前要用肥皂洗手） 第一种情形，龙洗振动表现的是第类中第一阶模态。它有四个振动的波峰处，此处的振动最大，而与之交错的节线将水面分成四部分，因此就形成了水珠在四个部位被喷起的景观。 第二种情形，龙洗振动表现的是第类第一阶模态，振动的六个波峰与节线相互交错

14、将水面分成六个区域，形成了水珠在六个部位被喷起的壮观场景。10.5 摄动法 众所周知，只有为数很少的非线性微分方程可求得精确的解析解。在一般情况下，只能用近似方法求解，将微分方程的解近似地表为幂级数形式，其近似程度取决于级数解中所取得的项数。 如果表示系统的微分方程中的非线性项是个小量，那末这个小的非线性项就称为摄动。摄动项一般用一个小参数标出。我们通常是求小参数 的幂级数形式的解。这种求解方法统称为摄动法，或称小参数法。 非线性自治系统的方程为 派生系统为设非线性自治系统的方程为 代入方程，由于等号两端的同幂项的系数必须相等，于是整理后有 由此，得到一系列关于函数的微分方程。这样，解非线性微

15、分方程就代之以解一系列线性微分方程，而且可以递归求解。可得精确到n的近似解在应用基本摄动法时，在解中经常出现久期项，若只保留前几项，它将随时间无限增长，但是，如果取无限多项，那末级数必定是收敛的，但我们又不能求出无限多项。 10.6 平均法 在一般情况下，非线性振动微分方程很难求得精确的解析解，只能用近似方法求得近似解析解，平均法就是的其中一种有效的方法。 所谓平均法就是将以位移为未知量的振动方程，化成以振幅、相位为未知量的标准方程组，因为振幅和相位的导数都是O()量级的周期函数，因此，可用一个周期的平均值代替它，故称其为平均法。平均法有多种形式，下面以KBM法为例加以说明。10.6.1 自治

16、系统的平均法一个自由度系统的自由振动方程为其中为正的小参数；x为振动位移；为非线性函数。如=0 ，可得其解为其中a、为起始条件确定的常数（1）（2） 当0时，即有非线性干扰力存在，则a、将为时间t的函数，现研究是什么函数时微分式（2）的第一式令上式与式（2）的第二式相等，则有满足（1）（2）（3）微分式（2）的第二式代入式（1），则 （4）从(3)、(4)中解出称为标准方程组 （5） 设函数a、由平稳变化的项y、和小振动相叠加而成，取KB变换为并要求新变量y、的导数为其中Y1、Y2、Y3、Z1、Z2、Z3不显含t，U1、U2、V1、V2为的以2为周期的周期函数及为t的以T为周期的周期函数。将上

17、式代入式（5）得 其中 为将 在=0点展成泰勒级数时的系数。令上面等式两端同次方的系数相等，则可确定Y、Z、V、U的微分方程式，下面只写出前二阶的系数方程根据Y、Z不显含t的条件，可用下列方法确定和其中T为振动周期。 而和在运算过程中，将不显含t的函数当作常数。 第一次近似解第二次近似解其中 和 由此可知，如将式写成的m阶级数，当有关的系数确定后，则可求得其m次近似解。 如果在振动系统上作用有外干扰力Esinvt，则单自由度非线性系统强迫振动的方程式10.6.2 非共振情况的平均法在线性系统中，定常解的频率与干扰频率相同，并且定常解和起始条件无关。在非线性系统中，除含有和干扰力相同的频率成分外

18、，还有高频率成分存在，并且与起始条件有关。 如果干扰力频率和派生系统（当=0时的系统）的固有频率差值较大，则为非共振情况。当=0时，设其解为其中a,为任意常数。 如果0 ，强迫振动的解仍取上式的形式，则其中的a,将为时间t的函数，现以a,作为新变量，进行变量转换。 通过类似与自治系统的平均法的计算，即可求出非共振情况的近似解析解。基本思路与以前相同。可参考有关书籍。10.6.3 共振情况的平均法 在单自由度非线性系统强迫振动的方程式中，如果v与相等或二者的差值为与同价的量，则为共振情况。 在共振情况下实际上是有周期解的，此时干扰力的幅值与同量级，为此，方程式为下面讨论上述方程在共振情况下的渐近

19、解。设 是vt的以2为周期的周期函数，可表示为 若无干扰，即=0，则系统将有简谐振动 将其代入上式,并将展成傅氏级数，由于它对vt来说是周期函数，所以其傅氏级数中将有 sin(nv+m)t和cos(nv+m)t ，其中n和m是整数 在干扰力中将有组合频率为nv+m的谐波成分。 很明显，任何一个组合频率成分与固有频率相接近时，则具有该频率成分的干扰力对振动特性将发生很显著的影响。 因此在非线性系统中，共振现象不但发生在v时，而且也发生在nv+m时，故在单频干扰力作用下，共振关系可近似取为几种共振情况：2、 nv 时， 称为超谐共振；1、 v 时， 称为主共振；3、 v n时， 称为亚谐共振 由于共振的类别很多，所以在研究共振情况的渐进解时，应指明研究哪种共振类型的渐进解。 4、 v p/q时，称为分数共振以分数共振为例称为调谐参数，设解为 以a、作为新变量进行坐标变换，通过类似与自治系统的平均法的计算，即可求出共振情况的近似解析解。基本思路与以前相同。可参考有关书籍。 10.6.4 龙洗自激振动的近似解析解 作用于龙洗两耳上的干摩擦力和相对速度的关系可近似表示为：其中 a1 为静摩擦系数， b1、c1为实验