切线与割线斜率关系的深度探析

1、切线与割线斜率关系的深度探析问题提出文【1】得出了如下的结论：可将Q3转化为X 一 X设y = f 3)是定义在(a,b)上的可导函数，曲线C : y = f (x)上任意两个不同点的连线 (称为割线)斜率的取值区间为P，曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q，则 P c Q，而且Q中元素比P中元素至多多了区间P的端点值.并指出，求解|f(x- /VXJ的恒成立问题，f f(X)，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D，然后再检验区间D的端点值是否符合题意.、-1例如，已知f (X) = 2x2 + - +人Inx(x 0)，对于任意两个不等的正数 气,X2，恒有|f( x) f(

2、x) |匕xj，求力的取值范围(四川2006高考题变式).1.人、.2 人【解】 设g ( x f (= x) 一丹一，g(x) = 4 +，依条件 TOC o 1-5 h z x 2 xx 3x 2里切g(x2) 1，由 |g(x) | 得 4 + 1，以替换x，则有 2x3-人x2 + 4 1 HYPERLINK l bookmark11 o Current Document x 一 xx3x2x对任意x 0恒成立.当x 0 时， 令 h(x) = 2x3 X x2 + 4(x 0) ，h(x) = 6x2 2X x， 令 HYPERLINK l bookmark15 o Current

3、Document .Xh ( x=0 x=.x(0,9X(+8)h (x)一0+h( x)h(勺,X X 3 ,h(x) . = h(y) = + 4 .若h(x)1对任意x 0不能恒成立，故mmmin,X 3依条件有必有h(x) . 0，此时|h(x)| . = h(x) . = + 4，X 33V3.一 27X 327题意.当X = 333时o 3x x + 气 + % 331 2 xx1 2综上得Xx ) x = x4 + 气 + *2 112 112x2x 2 xx5尤x2 +气+ x 3x x + 3x x + + Z 3 3 3( |当 x x =1 2 xx 12:xx1 2:x

4、x(xx1 231 2 1 2_* 12*12时取等号)，故X = 3窘符合题意，因而人=3安3.反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验人-333是否符合题意时得另起炉灶，检 验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答 这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范 围，即尸Q ？何时P0 Q，且Q比P多了区间P的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？结论构建定理 设y = f (x)是定义在连通开区间I(I c R)上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P，曲线C

5、上任意一点处的切线斜率取值集合为Q， 则P c Q ；当曲线C不存在拐点时，P = Q ；P0 Q =曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C至 多有一个交点；在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S，则笔S .引理1函数y = f (x)在(a,A)内二阶可导，则曲线y = f (x)在(a,A)内上凸(或下凸) 的oVx e (a, b)，f(x) 0)，且在(a, b)的任何子区间上f(x)不恒为0.引理2曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点若y = f (x)在一个连通开区间I上二阶可导，则(x , f (x )为曲线y = f (

6、x)拐点的必要条件是f(x ) = 0. TOC o 1-5 h z 000下面给出定理的证明.Vx ,x e I，设x 0 ；当 x x0 时，f(x) 0，故 f(x) 口 ，h (x) = f (x) f (x0) 0.故h(x)在I上，故f (x)- g(x) = 0至多有一解，即直线g(x) = kx + b与曲线C的 交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线 斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线C: j = e2x 3ex(xe R)任意不同两点的连线斜率为k，求k的取值范 围. TOC o 1

7、-5 h z 99解 y= 2e2x -3心=2(ex - )2 N，又 j = 4e2x 3ex = ex(4ex 3)88 HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 一 333当x In 时j 0,曲线下凸，故曲线在工=ln HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 4449,z 96,根据推论，k的取值范围为(-；,+8).88曹军，中学数学杂志2010年11月.【附】文【1】主要结论|f (气)f (x2)|V |x1 x2|定理 设J = f (x)在(a,b)内可导，连结其图象上任意两点A,B的割线斜率为k 图象上任意一点处的切线斜率为k，则若 k m，则 k m ；若 k m，则 k m 或 k m.若 k m，则 k m 或 k m ；若 k m，则 k m .证明：设A(x , f (x )，B(x , f (x )是曲线j = f (x)图象上任意不同的两点.1122不妨设x v x，由拉格朗日中值定理可知，在(x ,x )内至少存在一点&1212性)=f (x-f (xJx x由于k m，故fG) m，故kAB m .其余类似.设 x = x +Ax(A