固体物理学：固体物理习题课

1、能带理论6.1 一维周期势场中电子的波函数 应满足Bloch定理 若晶格常数为a，电子的波函数是：a)c)b)f 是某个确定的函数。试求出电子在这些状态时的波矢 k。且a=4b，是常数。1) 画出此势能曲线，并计算势能的平均值；2) 用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙宽度 6.2 电子在周期场中的势能函数解：（1） 势能的平均值为什么不是K和K势能的平均值：由图可见，是个以a为周期的周期函数令在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数 第一个带隙宽度第二个带隙宽度与另一种解法的结果不一样，哪个对？6.3设有二维正方晶格，晶体势场为用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶

2、角处（ /a ， /a ）的能隙。提示：电子能量为四重简并，即可以找到四个倒格矢Gn，使得k=kGn态与k态的零级能量相等，为E0k0 (/a ， /a ) G0 = 0k1 (-/a ， /a ) G1 = (2/a , 0) k2 (/a ，- /a ) G2 = (0, 2/ a) k3 (-/a ，- /a ) G3 = (2/a , 2/a ) 不太理解？解：Un：面心立方晶格 s态原子能级相对应的能带函数6.3 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带 函数 任选取一个格点为原点 最近邻格点有12个 s原子态波函数具有球对称性12个最邻近格点的位置 类似的

3、表示共有12项立方s态原子能级相对应的能带 对于体心立方格子，任选取一个格点为原点 有8个最邻近格点 最近邻格点的位置 类似的表示共有8项 归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带6.4 由相同原子组成的一维原子链，每个原胞中有两个原子， 原胞长度为a，原胞内两个原子的相对距离为b ： (1) 根据紧束缚近似，只计入近邻相互作用，写出原子 s态 相对应的晶体波函数的形式。 (2) 求出相应能带的 E (K) 函数。黄昆书 4.6 题解：这是相同原子组成的一维复式格子，设第一套原子格点位置为xn，则第二套原子格点位置为xn+b 对一确定k值，周期中运动解为一布洛赫波第一套原子的布洛赫波为第

4、二套原子的布洛赫波为紧束缚近似中，波函数是二者的线性组合（1）问得解（2）计算E(k)方程两边分别乘以 和 ，得 可得久期方程根据紧束缚近似，相邻原子波函数交叠很小但各个原子波函数各自归一化久期方程变为令Rm=xn-xn，xn=0，则由于只考虑近邻相互作用，故Rm=0由于H是厄米算符在考虑最近邻原子相互作用情况下久期方程变为 只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级相对应的能带函数表示为1) 用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数2) 求出其能态密度函数 的表达式3) 如每个原子s态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级 和 处的能态密度6.5 一维单原子链，原子间距a，总

5、长度为LNa对于一维情形, 任意选取一个格点为原点 有两个最近邻的格点，坐标为：a和a能态密度函数的计算对于一维格子，波矢为 具有相同的能量，此外考虑到电子自旋有2种取向，在dk区间的状态数能态密度，结果一定化成E的表达式所以sinka要转化成E的表达式能态密度T=0K的费密能级计算总的电子数其中T=0K的费密能级T=0K费密能级处的能态密度6.7 对原子间距为 a 的由同种原子构成的二维密堆积结构， (1) 画出前 3个布里渊区； (2) 求出每原子有一个自由电子时的费米波矢； (3) 给出第一布里渊区内接圆的半径； (4) 求出内接圆为费米圆时每原子的平均自由电子数； (5) 平均每原子有

6、两个自由电子时，在简约布里渊区中画出费米圆的图形。 (1)证明一个简单正方晶格在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区一边中点大两倍。（2）对一个简单立方晶格，在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区面心上大多少？（3）说明（2）的结果对2价金属的电导有什么影响？6.8黄昆书 4.8（1）k1= (/a, /a), k2=(0,/a), 代入得出：能量比值为2（2）k1=(/a, /a, /a), k2=(/a, 0, 0)代入得出： 能量比值为3二价金属每个原子有2个自由电子，内切球只能装1.047个电子，余下0.953个电子可填入其它状态。若布里渊区边界上存在大的能量间隙，余下电子

7、只能填满第一区余下所有状态，晶体将具有绝缘体性质。然而由(b)可知，B点的能员比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的事实上对于二价金属，布里渊区边界上能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭。这样处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形费米面。因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能实际上，多数的二价金属具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电费米面应为球面，内切于6点的内切球的体积该内切球内能容纳的电子数为其中 V=Na3 三维简单立方晶格，立方原胞边长为a，试用简约布里渊区表示自由电子能

8、量。定性画出沿 X 轴与六个近邻倒格点相对应的自由电子 E ( k ) 函数。完全看不懂提示：波矢分量单位： /a 能量单位： ( 0, 0, 0 ), X ( 1, 0, 0) 六个近邻倒格点对应 点 E ( k ) 对应X点的位置 E ( k )(-2, 0, 0) 4 (-1, 0, 0) 1 (2, 0, 0) 4 (3, 0, 0) 9(0, -2, 0) 4 (1, -2, 0) 5(0, 2, 0) 4 (1, 2, 0) 5(0, 0, -2) 4 (1, 0, -2) 5(0, 0, 2) 4 (1, 0, 2) 56.96.10 Fcc的s带紧束缚近似下的E(k)函数，在沿

9、着布里渊区几个对称轴方向约化形式解：Fcc最近邻原子数为12，由习题4.4结果可知沿X（ky=kz=0, kx=m2p/a)沿L（kx=ky=kz=m2p/a)沿K（kz=0, kx=ky=m2p/a )沿W（kz=0, kx=m2p/a, ky=mp/a )式中a为晶格常数。计算: 1）电子在波矢k的状态时的速度；2）能带底部和能带顶部电子的有效质量6.11 设一维晶体的电子能带可以写成解：电子在波矢k状态时的速度电子的有效质量能带底部能带顶部有效质量有效质量晶格常数为2.5 的一维晶格，当外加102 V/m和107 V/m的电场时，分别估算电子自能带底运动到能带顶所需要的时间。能带底到能带

10、顶 k 的变化为 /a，所需时间6.12解：电子倒空间里 k 方向上匀速运动E=100 V/mE=107 V/m导出k = 0 点上的有效质量张量，并找出主轴方向。6.13 若已知电子的有效质量设矩阵P的本征值为 ， 则解得主轴的取法 ， 要求三个主轴方向可取为金属电子论5.1 设N个电子组成简并的自由电子气，体积V，证明T=0 K时有每个电子平均能量金属中电子总数证：自由电子能态密度T=0 K时，费米分布函数电子平均能量5.2 He3的自旋为1/2，是费米子。液体He3的绝对零度附近的密度为81 Kgm-3，计算费米能EF和费米温度TF5.4 在低温下金属K的摩尔电子热容的实验结果为Ce=2

11、.08 mJ/molK。在自由电子气模型下估算K的费米温度TF和费米面上的能态密度N(EF)解：摩尔电子热容，考虑材料含一摩尔K原子，电子数N=NA，电子热容为晶格振动动力学2.1 讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应. 绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 红色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 2.2质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间力常数交错等于 和 ，并且最近邻的间距 1) 求出色散关系和分析计算 处格波的频率值2) 大致画出色散关系图 第2n个原子和第2n1个原子的运动方程 体系N个原胞，

12、有2N个独立的方程 方程的解令 A、B有非零的解，系数行列式满足 两种色散关系 色散关系图 两种色散关系 2.3 2D平面方格子， ul,m记l行，m列原子垂直于格平面的位移，原子质量M，力常数c(1) 运动方程证：只考虑最近邻原子相互作用，且力的方向均在垂直平面方向，故有故得证(2) 证明：满足运动方程且色散关系为左端右端得证：(3) 证独立解存在的k空间是边长为(2p/a)的正方形，即平方格子的第一布里渊区，画出k=kx,ky=0和kx=ky的w-k图证：由ul,m可知，当kxa和kya改变2p时，原子振动实际上无任何不同，这表明kxa和kya可限制在得证ky=0时kx=ky时(4) ka

13、1，证明ka1时泰勒展开式（麦克劳林级数）F=ma2.6 设晶体中每个振子的零点振动能为 ，试用德拜模型求晶体的零点振动能解：零点振动能与T无关，故只需求0K时的振动能qD100K量级，因而零点振动能是很大的2.7 在三维晶体中利用德拜模型(D 是德拜频率)： a. 证明高温时，0D 范围内的声子总数与温度 T 成正比 b. 证明甚低温度下，0D 范围内的声子总数目与温度 T3成正比。 晶体结构1.1 如果将等体积球分别排成下列结构，求证钢球 所占体积与总体积之比为：(黄昆书1.1) 简立方：0.52；体心立方：0.68；面心立方：0.74； 解: 设n为一个晶胞中的刚性原子数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度为: （设立方晶格的边长为a） (1) 简单立方(2) 体心立方(3) 面心立方1.2 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数,若立方边长为a,写出最近邻和次近邻的原子间距。(黄昆书1.7；kittel 1.3)1.3 对于简单立方晶格，证明密勒指数为 (h, k, l) 的晶面系，面间距d满足：其中a 为立方边长解：对于简单立方 1.4 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方； 面心立方晶格的倒格子是体心立方 1.5 证明：倒格子原胞的体积为： 为正点阵