2022高考总复习 数学(人教A理一轮)1.1　集合的概念与运算

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI1.1集合的概念与运算第一章2022内容索引010203必备知识 预案自诊关键能力 学案突破素养提升微专题1运用Venn图解题的三个阶梯必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.集合的含义与表示(1)集合元素的三个特征:、.(2)元素与集合的关系有或两种,用符号或表示.(3)集合的表示方法:、.(4)常见数集的记法.集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号 确定性互异性无序性属于不属于列举法描述法Venn图法NN* (或N+ ) ZQR2.集合间的基本关系 关系自然语言符号表示Venn图子集对于两个集合A,B,如

2、果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集真子集如果集合AB,但存在元素xB,且xA,就称集合A是集合B的真子集 集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等 AB(或BA)AB(或BA)A=B3.集合的运算 集合的并集集合的交集集合的补集Venn图符号语言AB=AB=UA=x|xA,或xBx|xA,且xBx|xU,且xA常用结论1.并集的性质:A=A;AA=A;AB=BA;AB=ABA.2.交集的性质:A=;AA=A;AB=BA;AB=AAB.3.补集的性质:A(UA)=;A(UA)=U;U(UA)

3、=A;U(AB)=(UA)(UB);U(AB)=(UA)(UB).4.若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.常用结论5.如图所示,用集合A,B表示图中、四个部分所表示的集合分别是AB,A(UB),B(UA),U(AB).6.card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB).【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)集合x2+x,0中的实数x可取任意值.()(2)x|y=x2+1=y|y=x2+1=(x,y)|y=x2+1.()(3)对任意集合A,B,一定有ABAB.()(4)若AB=A

4、C,则B=C.()(5)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是1,4.()2.(2020广东湛江测试,理1)已知集合A=1,2,3,4,B=y|y=2x-3,xA,则集合AB的子集个数为()A.1B.2C.4D.8答案 C解析 因为A=1,2,3,4,B=y|y=2x-3,xA,所以B=-1,1,3,5,所以AB=1,3,所以AB的子集个数为22=4.3.(2020山东济南一模,1)已知全集U=R,集合A=x|x2x,则UA=()A.0,1B.(0,1)C.(-,1D.(-,1)答案 A解析 由x2x,得x1或x1,或x0,所以UA=x|0 x1=0,1.4.已知集合U=1,2,3,

5、4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,则A(UB)=()A.1,4B.1,4,5C.4,5D.6,7答案 C解析 由题意得UB=1,4,5,又A=2,3,4,5,所以A(UB)=4,5,故选C.5.(2020江苏南京六校5月联考,1)已知集合A=x|x2-2x0,B=x|x1,则AB=.答案 (-,2)解析 集合A=x|x2-2x0=x|0 x2,且B=x|x1,AB=x|x0,则集合A的真子集个数为()A.3B.4C.7D.8(2)已知集合A=a,b,2,B=2,b2,2a,且AB=AB,则a=.思考求集合中元素的个数或求集合中某些元素的值应注意什么?解题心得与集合中的元素

6、有关问题的求解策略:(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集,还是其他类型的集合.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.对点训练1(1)(2020河北唐山一模,理1)已知集合A=-1,0,1,2,B=y|y=2x,M=AB,则集合M的子集个数是()A.2B.3C.4D.8(2)已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,则m的值为.考点2集合间的基本关系【例2】(1)(2020浙江镇海中学摸底,1)设集合A.A=BB.ABC.BAD.AB=x|x1(2)(2020河北石家庄二中模拟,理2)设集合P

7、=x|x|3,Q=x|x24,则下列结论正确的是()A.QPB.PQC.P=QD.PQ=R则下列结论正确的是() 答案 (1)D(2)B AB=x|x1,故选D.(2)由题得,集合P=x|x|3=x|x3,Q=x|x24=x|x2,所以PQ,故选B.思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间基本关系问题的常用技巧有哪些?解题心得1.判定集合间的基本关系的方法有两种:一是化简集合,从表达式中寻找集合间的关系;二是用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找集合间的关系.2.解决集合间基本关系问题的常用技巧有:(1)若给定的集合是不等式的解集,则结合数轴求解;(2)若给定的集合是

8、点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解.答案 (1)D(2)D 考点3集合的运算(多考向探究)考向1利用集合运算的定义进行运算【例3】 (1)(2020新高考全国1,1)设集合A=x|1x3,B=x|2x4,则AB=()A.x|2x3B.x|2x3C.x|1x4D.x|1x4(2)(2020全国3,理1)已知集合A=(x,y)|x,y N*,yx,B=(x,y)|x+y=8,则AB中元素的个数为()A.2B.3C.4D.6(3)(2020全国2,理1)已知集合U=-2,-1,0,1,2,3,A=-1,0,1,B=1,2,则U(AB)=()A.-2,3B.-2

9、,2,3C.-2,-1,0,3D.-2,-1,0,2,3答案 (1)C(2)C(3)A解析 (1)(数形结合)由数轴可知所以AB=x|1x0,B=x|x2-40,则AB=()A.-2,0B.(-,0)C.-2,0)D.-4,4(2)(2019全国1,文2)已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,则B(UA)=()A.1,6B.1,7C.6,7D.1,6,7(3)(2020山东潍坊一模,1)设集合A=2,4,B=xN|x-30,则AB=()A.1,2,3,4B.0,1,2,3,4C.2D.x|x4答案 (1)C(2)C(3)B解析 (1)由题得A=x|x2

10、-4x0=x|x4,B=x|x2-40=x|-2x2,则AB=x|-2x0,则PQ=()A.0,1(4,+)B.0,1(2,+)C.1,4D.(4,+)答案 B解析 P=0,2,Q=(1,+),PQ=0,+),PQ=(1,2,因此PQ=0,1(2,+).思考求解集合新定义运算的关键是什么?解题心得求解集合新定义运算的关键是仔细分析新定义运算法则的特点,把新定义运算法则所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中.对点训练4定义A*B=x|x=x1+2x2,x1A,x2B,若A=1,2,3,B=1,2,则A*B=;(A(A*B)B=.答案 3,4,5,6,71,2,3解析 A=1,2

11、,3,B=1,2,A*B=x|x=x1+2x2,x1A,x2B=3,4,5,6,7;(A(A*B)B=(1,2,33,4,5,6,7)1,2=31,2=1,2,3.考点4求集合中参数的值或取值范围【例5】 (1)(2020湖南湘潭三模,理1)已知集合A=x|ax=x2,B=0,1,2,若AB,则实数a的值为()A.1或2B.0或1C.0或2D.0或1或2(2)(2020全国1,理2)设集合A=x|x2-40,B=x|2x+a0,且AB=x|-2x1,则a=()A.-4B.-2C.2D.4答案 (1)D(2)B解析 (1)因为当a=0时,A=x|0=x2=0,满足AB;当a0时,A=0,a,若A

12、B,所以a=1或2.综上a的值为0或1或2.故选D.思考如何求集合表达式中参数的值或取值范围?解题心得一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的取值范围,此时要注意端点的取舍.对点训练5(1)已知集合A=x|x2-3x+20,B=x|x+1a,若AB=R,则实数a的取值范围是()A.2,+)B.(-,2C.1,+)D.(-,1(2)已知集合A=x|x7,B=x|x2m-1,若BA,则实数m的取值范围是.答案 (1)

13、B(2)(-,-1解析 (1)由题得集合A=x|x2-3x+20=x|x1,或x2,B=x|x+1a=x|xa-1,又AB=R,a-11,解得a2,实数a的取值范围是(-,2.(2)由题意知2m-1-3,m-1,所以m的取值范围是(-,-1.变式发散1将本题(2)中的B改为B=x|m+1x2m-1,其余条件不变,该如何求解?变式发散2将本题(2)中的A改为A=x|-3x7,B改为B=x|m+1x2m-1,其余条件不变,又该如何求解?素养提升微专题1运用Venn图解题的三个阶梯 由于图形简明、直观,因此很多数学问题的求解往往借助于图形来分析,下面例析运用集合中Venn图的三个阶梯:识图用图构图.

14、阶梯一识图:用集合的交、并、补运算表示给出的Venn图【例1】 (2020山东泰安一模,1)已知全集U=R,集合M=x|-3x1,N=x|x|1,则阴影部分表示的集合是()A.-1,1B.(-3,1C.(-,-3)(-1,+)D.(-3,-1)答案 D解析 由图可知,阴影部分表示的集合为M(UN).由U=R,N=x|x|1,可得UN=x|x1,又M=x|-3x1,所以M(UN)=x|-3x-1.故选D.对点训练1如图,I是全集,M,P,S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是()A.(MP)SB.(MP)SC.(MP)(IS)答案 C解析阴影部分是集合M与P的公共部分,且在集合S的外部,即(

15、MP)(IS),故选C.阶梯二用图:借助Venn图求集合或集合的交、并、补【例2】 设全集U=x|0 x10,x N*,若AB=3,A(UB)=1,5,7,(UA)(UB)=9,则A=,B=.答案 1,3,5,72,3,4,6,8解析 由题知U=1,2,3,9,根据题意,画出Venn图如右图所示,由Venn图易得A=1,3,5,7,B=2,3,4,6,8.对点训练2已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N(IM)=,则MN=.答案 M解析 因为M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,N(IM)=,所以由Venn图可知NM,所以MN=M.阶梯三构图:构造Venn图解某些应用题【例3】 (2020新高考全国1,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%答案 C解析 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由Venn图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.答案 3613 所以对A,B都赞成的学生人数为36人,对A,B都不赞成的学生人数为13人.要点归