9.5二重积分教案

1、9.5二重积分教案9.5二重积分教案9.5二重积分教案山东理工职业学院教案首页 学年 第 学期课程名称 高等数学任课教师授课班级授课时间第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题9.5二重积分教学目的1. 理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。2. 熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法。教学重点二重积分概念，二重积分的计算。教学难点对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序。教学用具备 注回顾旧知引入新课新授课新授课课堂练习小结布置作业定积分

2、相关知识一二重积分的概念与性质 曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底面是平面上的有界闭区域，侧面是以的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，它的顶是由二元非负连续函数所表示的曲面，这里且在上连续(图9-5(a)，这种立体称为曲顶柱体. 试求其体积.图9-5如果曲顶柱体的顶是与平面平行的平面，也就是该柱顶的高度是不变的，那么它的体积可以用公式：体积 = 底面积高来计算.现在柱体的顶是曲面，当自变量在区域上变动时，高度是个变量，因此它的体积不能直接用上式计算.我们可采用类似于求曲边梯形面积的方法来研究曲顶柱体的体积. 分割 将区域分割成个小区域：，同时也用表示第个小区域的面积以每个小区域的边界线为准线

3、，以平行于轴的直线为母线作柱面，这样就把给定的曲顶柱体分割成了个小曲顶柱体近似 由于是连续变化的，在每个小区域上，各点高度变化不大，可以近似看做平顶柱体并在中任意取一点，把这点的高度认为就是这个小平顶柱体的高度，如图9-5(b).所以第个小曲顶柱体的体积的近似值为 求和 将个小曲顶柱体体积的近似值相加，得到所求曲顶柱体体积的近似值 取极限 区域分割的越细密，上式右端的和式越接近于体积.令个小区域的最大直径，则上述和式的极限值就是曲顶柱体的体积，即许多实际问题都可按以上做法，归结为和式的极限剔除具体问题的实际意义，可从这类问题抽象概括出它们的共同数学本质，得出二重积分的定义 定义1 设函数是定义

4、在有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分割成个小区域同时它也表示其面积，在每个小区域上任取一点，作和，如果当各个小区域的直径的最大值趋于零时，上式和的极限存在，且此极限与区域的分割方法以及点的取法无关，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作，即其中叫做被积函数，叫做积分表达式，叫做面积微元，称为积分区域，为积分变量. 关于定义1的几点说明：图9-6 (1)这里积分和的极限存在与区域分成小区域的分法和点的取法无关当在区域上可积时，常采用特殊的分割方式和取特殊的点来计算二重积分在直角坐标系中，常用分别平行于轴和轴的两组直线来分割积分区域，这样小区域都是小矩形(图9-6)这时小区域，因此面积元素

5、为，在直角坐标系下. (2)可以证明，若在有界闭区域上连续，则二重积分一定存在 (3)二重积分的几何意义:当且连续时，二重积分在数值上等于以区域为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积； 当时，二重积分表示该柱体体积的相反数；当有正有负时，二重积分表示以曲面为顶，以为底的被面分成的上方和下方的曲顶柱体体积的代数和特别的，当时，表示区域的面积，即.二二重积分的性质 由于二重积分和定积分本质都是和式的极限，所以它们有着相似的性质，下面给出二重积分的基本性质. 性质1 被积函数中的常数因子可以提到二重积分号前面，即 性质2 函数和或差的二重积分等于各个函数二重积分的和或差，即 性质3 如果积分区域被分成两个

6、子区域，则在上的二重积分等于各个子区域上二重积分的和，即三平面直角坐标系下二重积分的计算 用和式的极限来计算二重积分是非常困难的，所以需要寻求一种实际可行的方法来计算二重积分，下面介绍如何在直角坐标系下和极坐标系下将二重积分化为两次积分的计算方法. 平面直角坐标系下计算二重积分的方法是把二重积分化为二次积分。首先画出积分区域，找出积分区域中的最小值和最大值，并将其擦去，则积分区域的边界上只剩下两条“线”：上面一条线，下面一条线，则的取值就是从到，即 这样二重积分就可以通过求两次定积分来计算，第一次计算积分，把看作常数，是积分变量；第二次积分时，是积分变量.这种方法称为先对后对的二次积分.图9-

7、7 同样，也可找出图形中的最小值和最大值，并将其擦去，则图形的边界上只剩下两条“线”：右面一条线，左面一条线，则的取值范围就是从到，图9-8从而有，即将二重积分化为先对后对的二次积分. 例1 计算二重积分，其中区域为由围成的区域. 解：先画出区域的图形图9-9 此题若先对积分，后对积分须分块考虑，计算较麻烦. 例2 计算二重积分，其中区域为由围成的区域. 解：先画出积分区域的图形图9-10如果化为先后的二次积分计算比较麻烦.因为积分区域要分成两个.四极坐标系下二重积分的计算 在计算二重积分时，如果被积函数和积分区域边界曲线和圆有关系，则考虑在极坐标系下进行计算， 极坐标变换公式 可以把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分通常都是先对积分，后对积分.(1)极点在区域之外图9-11这时闭区域可表示为，则有(2)极点在区域边界上这时闭区域可表示为，则有图9-12(3)极点在区域内部(图7-24)图9-13这时闭区域可表示为，则有 例3 计算，其中是圆形区域.解：先画出积分区域的图形区域的极坐标表示为 从而 = 例4 计算，其中是环形区域. 解：先画出积分区域的图形 区域