三角形内角和 (11)

1、从三角形内角和谈起奥数辅导系列三角形的内角和等于180(也称一个平角)是三角形的一个基本性质从它出发可引出下面两个事实：(1)三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和 (2)n边形的内角和等于(n-2)180例1 如图137所示平面上六个点A，B， C，D，E，F构成一个封闭折线图形求：A+B+C+D+E+F解: 在PAB，RCD，QEF中，A+B+APB=180， C+D+CRD=180， E+F+EQF=180 又在PQR中QPR+PRQ+PQR=180又 APB=QPR，CRD=PRQ，EQF=PQR(对顶角相等)+-得A+B+C+D+E+F=360例2 求如图2所示,图形中A+

2、B+C+D+E的大小 DCBEAO图2解法1 连接BE在COD中， C+D+COD=180 在ABE中， A+ABE+AEB=180 由+得 (A+C+D)+COD+ABE+AEB=360 又 ABE=ABO(即为B)+OBE， AEB=AEO(即为E)+OEB故式可化 (A+B+C+D+E) +(COD+OBE+OEB)=360由于 COD=BOE(对顶角相等)，在BOE中 ,COD+OBE+OEB =BOE+OBE+OEB =180由得 A+B+C+D+E=180解法2 如果我们注意到三角形外角的性质，结合图形(图139)会发现:在OCD中有1=C+D，在APE中2=A+E，在BOP中1+

3、2+B=180，从而A+B+C+D+E=180例2 求如图1-39所示,图形中A+B+C+D+E的大小 例3 如图140所示在ABC中，B的平分线与C的外角平分线交于D，且D=30求A的度数解 :由已知，D=30在BCD中，CBD+BCD=180-30=150因为BD是ABC的平分线，所以CBD=12ABC, 又因为CD是ACE的平分线，所以ACD=12ACE,从而BCD=ACB+12ACE =ACB+1 2(A+ABC) 由，得 12ABC+ACB+12(A+ABC)=150即12A+ABC+ACB =12A+ABC+ACB=150所以(A+ABC+ACB)-12A=150,12A=180-

4、150所以 A=60例4 如图1-41所示A=10，ABC=90，ACB=DCE，ADC=EDF，CED=FEG求F的度数 解 :在ABC中，A=10，ABC=90， 所以ACB80因为 DCE=ACB=80， 在ACD中，DCE是它的一个外角，所以DCE=A+ADC， 80=10+ADC，所以 ADC=70，EDF=ADC=70在ADE中，EDF是它的一个外角，所以 EDF=A+AED， 70=10+AED，所以 AED=60，FEG=AED=60在AEF中，FEG是它的一个外角，所以 FEG=A+F，所以 F=FEG-A=60-10=50例5 如图142所示ABC的边BA延长线与外角ACE

5、的平分线交D求证：BACB证 明:BAC是ACD的一个外角，因为BAC=1+D，所以2BAC=21+2D=ACE+2DACE (因为CD是ACE的平分线)又ACE是ABC的一个外角，所以 ACE=B+BAC 由， 2BACB+BAC，所以 BACB例6. (第7届希望杯)如图,已知DO平分ADC,BO平分ABC,且A=27, O=33,求C的度数.COADBQHG解:由已知, ABO=CBO, ADO=CDO.在ABG和ODG中,有A+ABG=O+ODG, 在OBH和CDH中,有C+CDH=O+OBH , + 得A+C=2O.C=233-27=39例7.（山东竞赛）凸n边形除去一个内角外，其余

6、内角和为2570，求n的值。解：设该内角为x，则（n-2）180=x+2570，得n=（x+2570+360）180， X=130 此时n=17。1如图146所示求:A+B+C+D+E的大小练一练2如图 147所示求 A+B+C+D+E的大小3如图148所示求A+B+C+D+E+F的大小4如图所示ABC中，AE是A的平分线，CDAE于D求证：ACDBABCDE5.(2002年河南竞赛)如图,在ABC中, ACB=90D,E都在线段AB中,AC=AD,BC=BE,则DCE的大小是( )A.60 B.45 C.30D.随A的大小而变化ACBEDB解:因为AC=AD, 所以ACD=ADC又BC=BE

7、, 故BCE=BEC因为BEC+ADC+DCE=180从而BCE+ACD+DCE=180即ACB+2DCE=180 , 因为ACB=90所以DCE=456.在ABC中,若AB=2BC, B=2A,则 ABC是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定BCAD解:如图,ABBC,得ACBA.作ACD=A,CD与AB交于点D,则AD=CD, DCA=A,BDC=A+DCA=2A又B=2A, B=BDC CB=CD又AB=2BC, CD=BC=12AB.从而ABC为直角三角形.B7. （“信利杯”竞赛题）A+B+C+D+E+F+G的度数等于（ ）A.360B.450C.540D

8、.720ABCDEFMNC提示:连结CD,BE.G8.（希望杯）如图，1+2+3+4+5+6=_.1234563609.(17届江苏竞赛)在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002，则这个多边形的边数为（ ） A.12 B.12或13 C.14 D.14或15解:设这个多边形为n边形，由题意得 2002（n-2）1802002+360又 n是自然数，n=14或15D10.（安徽竞赛）设有一个凸多边形，除去一个内角外，其余n-1个内角的和为1993，则n的值（ ） A.12 B.13 C. 14 D.15C11.(2004年河南竞赛)如图,BP平分ABC交CD于F,DP平分ADC交AB于E,AB与CG相交于G,如果A=42, C=38,那么P的度数为_.ACBPDGEF解:由对顶三角形的性质得 1+A=P+2 21+A=22+C 2-,得A=2P-C P=(A+C) 2=40124012.(第7届希望杯）一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角,这样的多边形的边数最多是_.解:设这个凸多边形的边数为n,则其中4个内角为钝角,(n-4)个内角为直角或锐角.(n-2) 1804180+(n