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文档简介
1、第三章测度论习题解答1.证明:若E有界,则。证明 E有界,必有有限开区间E使得,因此.2.证明可数点集的外测度为零证明设E,对任意,存在开区间,使得,且(在空间中取边长为的包含的开区间),所以,且,由的任意性得。3.设E是直线上一有界集合,则对任意小于的正数,恒有E的子集,使。证明设,则,令,=是上的连续函数;当时,于是当用类似方法可证明,当,时,即是上的连续函数。由闭区间上连续函数的介值定理=,=,因此对任意正数,存在,使,即,令,则。4.设是一些互不相交的可测集合,求证证明因为是一些互不相交的可测集合,由2定理3推论1,对任意T有,特别取,则,所以。5.若,则E可测证明 任意T,所以又,所
2、以=0,所以因此,则E可测。6.证明康托集合的测度为0证明 据康托集合的构造,即在中挖去可数个互不相交的开区间而成。第n次挖掉的长度为,因此P在中的余集的测度为又因 所以,即康托集合的测度为0.7.设,且,若A是可测集,证明证明因A是可测集,由卡拉泰奥多里条件另一方面又有由,所以,于是 ,代入前式得证毕。8.证明:若E可测,则对于任意,恒有开集及闭集F,使,而,证明 当时,对任意,存在一列开区间,使,且,令,则G为开集,且因此,。当时,E总可以表为可数个互不相交的有界可测集的和;对每个应用上面结果,可找到开集,使,且,令,G为开集,且,因此又当E可测时,CE也可测,所以对任意,有开集G,且。因,令,则F是闭集,且证毕。9.设,存在两列可测集,使得,且,则E可测证明 对任意,所以,又,所以对任意,令,由,得。所以是可测的。又可测,也是可测的,所以是可测的。10. 设,证明成立不等式:证明 若或,则结论成立。当且,取型集与,使,,并且,则,所以由第7题证毕。11. 设,若对于任意的,存在闭集,使得,证明E是可测集证明 由条件对任何正整数,存在闭集,
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