金融数学课件--(9)利率风险

1、1利率风险Interest rate risk孟生旺中国人民大学统计学院2主要内容：衡量利率风险的两种工具：久期（duration）：马考勒久期，修正久期，有效久期凸度（convexity）：马考勒凸度，凸度，有效凸度利率风险管理的两种方法：免疫现金流配比3马考勒久期（Macaulay duration） 假设资产未来的一系列现金流为 Rt ，则资产的价格： 实际收益率 i 也可以用名义收益率 i(m)和利息力表示，故： 4资产的价格：为简化表述，用 y 表示名义收益率，当 m =1时，y就是实际收益率。未来现金流为 Rt 的资产的价格可以表示为5马考勒久期：未来现金流到期时间的加权平均值，权

2、数为每个现金流的现值在总现值中所占的比率，即：马考勒久期越大，加权到期时间越长，从而资产价格对收益率的敏感性越高，资产的利率风险越大。马考勒久期是一个时间概念，可以用年、月等时间单位计量。6例：一笔贷款的本金为L，期限为n，年实际利率为y，按年等额分期偿还。试求该笔贷款的马考勒久期。 解： 假设每年末的偿还金额为R7例：一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的 年名义利率为24，试计算这项贷款的马考勒久期。解：应用上例的结果 8利息力（收益率）对马考勒久期的影响 将马考勒久期对d 求导可得（请检验） 注：马考勒久期是利息力的减函数，利息力越高，风险越小。（到期时间的方差）9 债券到期时间

3、对马考勒久期的影响（一个反例） 注：用债券的到期时间衡量利率风险可能是不恰当的。息票率 r = 5%，收益率 y =15%久期到期时间10 债券的息票率对马考勒久期的影响注：马考勒久期随着债券息票率的上升而减小，但减小的幅度越来越小。n20年，y = 10%息票率久期11修正久期 修正久期（modified duration）：收益率变化时资产价格的单位变化速率。修正久期反映了资产价格随收益率变化而变化的速度：ModD越大，资产价格的波动幅度越大，资产的利率风险就越大。ModD越小，资产价格的波动幅度越小，资产的利率风险就越小。 12资产价格对收益率y（假设每年复利m次）求导可得：13修正久期

4、与马考勒久期的关系：当 m 时，而当m时，名义收益率趋于利息力，即 y d，因此注：请与前面给出的马考勒久期进行比较。14资产价格与修正久期的关系：注： %P 表示资产价格变化的百分比。 y 表示收益率的变化，通常用基点（base points）表示。一个基点为0.01%。例：已知某债券的价格为115.92元，收益率为7.00%，修正久期为8.37。试计算当收益率上升为7.05%时，该债券的价格。解：当收益率上升时，债券价格下降的百分比为：所以新的债券价格可近似为： 16 资产价格随收益率变动的近似线性关系y近似的误差是多少？17有效久期 （effective duration） 假定债券未来

5、的现金流是固定的，可以计算债券价格对收益率的一阶导数P(y) ，从而可以计算修正久期。如果未来的现金流不是固定的（可赎回债券），可估计 ：符号： P0 当前收益率下的债券价格 P+ 当收益率增加时的债券价格 P- 当收益率减少时的债券价格18 债券价格随收益率变动的近似线性关系 注：对P(y)的估计是以割线AB的斜率来近似在点(y0 ，P0)的切线斜率19 如果在修正久期中，用近似值代替P(y)，则可以得到有效久期： 即20例：已知一个6年期可赎回债券的现价为100元，当收益 率上升100个基点时，该债券的价格将降为95.87元。当收益率下降100个基点时，该债券的价格将升至104.76元。试

6、计算该债券的有效久期。解：21 基于名义收益率的凸度C： 修正久期度量了收益率变化时债券价格的稳定性；凸度则度量了收益率变化时修正久期的稳定性。凸度 ( convexity ) 注：不叫修正凸度22 债券价格对收益率求二阶导数可得 所以凸度可按下式计算： 可以证明，凸度是收益率的减函数。23凸度对债券价格的影响凸度是对债券价格曲线的弯曲程度的一种度量，债券A的凸度大于债券B的凸度： 当利率下降时，A的价格上升快 当利率上升时，A的价格下降慢PBAy24用利息力（连续复收益率）d 代替名义收益率 y，即可得到马考勒凸度：马考勒凸度25例：一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的年名义利率为

7、24，试计算这项贷款的马考勒凸度。解：y = 24%，m = 12，t = 1/12，2/12，15。贷款的现值为P = 48.5844而 故 26 马考勒久期与马考勒凸度的关系 （到期时间的方差）注：到期时间越分散，马考勒凸度越大。27 有效凸度 的近似计算： 28有效凸度 EffC 是对凸度C的一种近似计算：即 29例：已知一个6年期可赎回债券的现价为100元，当收益 率上升100个基点时，该债券的价格将降为95.87元。当收益率下降100个基点时，该债券的价格将升至104.76元。试计算该债券的有效凸度。解：该债券的有效凸度为：30证券组合的久期：方法一：计算组合中每种证券的久期以组合中

8、每种证券的市场价值为权数计算这些久期的加权平均数。方法二：将证券组合设想为一种证券，将证券组合的现金流看作是设想证券的现金流根据设想证券的现金流计算久期。 31例：假设某证券组合由 n 种债券构成，债券 k 具有现值 Pk，久期Dk，则该证券组合的价格为： 该证券组合的久期为：类似地，假设债券 k 的凸度为Ck，则证券组合的凸度为：32例：一个债券组合由两种面值为100的债券构成，两种债券到期后均按面值偿还，且年实际收益率均为5%。第一种债券的年息票率为6%，期限为5年。第二种债券为10年期的零息债券。试计算该债券组合的修正久期。解：第一种债券的价格为33该债券价格对收益率的一阶导数为：于是第

9、一种债券的修正久期为：34类似地，第二种债券的价格为：该债券价格对收益率的一阶导数为：35于是第二种债券的修正久期为：债券组合的价格为：该债券组合的修正久期为：36马考勒久期：修正久期：有效久期：价格：小结37马考勒凸度：凸度：有效凸度：38久期和凸度的综合应用 将债券的价格函数用泰勒级数展开，则有 其中 o(y y0)是关于(y y0)的高阶无穷小量由此可得近似公式： 39 应用上式时，恰当选择久期和凸度： 修正久期和凸度：名义收益率，固定现金流的资产。 马考勒久期和马考勒凸度：利息力，固定现金流的资产。 有效久期和有效凸度：名义收益率，固定现金流的资产或利率敏感型现金流的资产。40例：某债

10、券的面值是1000元，期限为15年，年息票率为11%，到期时按面值偿还。如果年实际收益率为12%，试计算其价格、马考勒久期、修正久期和凸度。当年实际收益率上升至12.5%，债券的价格将如何变化？解： 真实值：3.3674%。用修正久期作近似计算：6.91840.5% = 3.4592% 考虑凸度的影响，凸度引起的价格变化为 故市场利率上升50个基点所导致的价格变动幅度为利率上升50个基点所导致的价格变动幅度42债券的价格、马考勒久期、修正久期和凸度与收益率的关系收益率（%）45678910111213债券的价格17781623148613641257116110761000932871马考勒久

11、期9.699.449.198.958.708.468.227.987.757.52修正久期9.318.998.678.368.067.767.477.196.926.65凸度119.20112.80106.63100.7095.0189.5684.3579.3974.6770.19注：均为收益率的减函数。43假设未来的一系列负债为 L1，L2，Ln，安排一系列在未来到期的资产A1，A2，An，以偿付未来到期的债务。在最初的时点上，资产的现值应该等于负债的现值。当市场利率发生变化时，资产的价值将不等于负债的价值。可能超过负债的价值。可能小于负债的价值。免疫（immunization）44如何合理

12、安排资产的结构？免疫策略的条件：资产的现值等于负债的现值。资产的修正久期等于负债的修正久期。资产的凸度大于或等于负债的凸度。资产价值与负债价值的这种变化关系如下图所示：45现值相等修正久期相等资产的凸度 负债的凸度负债资产市场利率价格 当市场利率上升时，资产价值下降的 幅度 小于负债价值下降的幅度； 当市场利率下降时，资产价值上升的幅度大于负债价值上升的幅度。46命题：如果一个金融机构的资产和负债满足上述三个条件，那么利率的变化将不会导致金融机构的盈余减少。免疫的三个条件为： PA（资产的现值） PL（负债的现值）ModDA （资产的修正久期） ModDL （负债的修正久期）CA （资产的凸度

13、） CL （负债的凸度）证明：下页47 盈余： 对盈余求一阶导数： 对盈余求二阶导数： 如果三个条件得以满足，就有48如果三个条件得以满足，就有假设收益率的变化为y，应用泰勒级数展开式，可得结论：收益率的微小变化，不会导致盈余减少。注意：上述三个条件只能在特定时点上成立，随着时间的推移，资产和负债的久期（或凸度）会发生不同的变化49例：某人在10年以后需要偿还一笔1790.85万元的债务，按当前的市场利率6%计算，这笔债务的现值为1000万元。为了防范利率风险，债务人希望购买价值1000万元的债券实施免疫策略，假设可供选择的债券有如下三种：债券A：面值1000元，期限为10年，息票率为6.7%

14、。债券B：面值1000元，期限为15年，息票率为6.988%。债券C：面值1000元，期限为30年，息票率为5.9%。 试问债务人应该如何选择上述三种债券？50在当前的市场利率下（6%），修正久期：负债：9.4340；债券A：7.2316；债券B：9.4340（与负债相同） ；债券C：13.8076。在当前的市场利率下（6%），债券的价格：债券A：67 + 1000(1.06)10 = 1051.52债券B：69.88 + 1000(1.06)15 = 1095.96债券C：59 + 1000(1.06)30 = 986.2451债务人投资1000万元所能购买到的债券数量为：购买债券A：100

15、0万/1051.52 = 9510份购买债券B：1000万/1095.96 = 9124份购买债券C：1000万/986.24 = 10140份52下面分别利率不变和利率变化进行分析。（1）市场利率不变：购买债券A，每份债券在第10年末的价值为1000 + 67 = 1883.11 第10年末可以积累到的总价值为1883.119510 = 1790.85万元 正好等于到期需要偿还的债务。同样，购买债券B和债券C，在第10 年末也可以积累到1790.85万元。53结论：如果市场利率不变，债务人没有利率风险。债券类型ABC面值100010001000期限101530息票率6.70%6.988%5.

16、90%修正久期7.23169.434013.8076债券的价格1051.521095.96986.241000万元可以购买到的债券数量9510912410140每份债券在第10年末的累积价值（元）1883.111962.691766.20所有债券在第10年的价值（万元）1790.851790.851790.85市场利率保持在6%不变时购买三种债券的结果54（2）市场利率发生变化。假设购买债券后，市场利率下降到5%，重新进行上述计算可得下表。债券类型ABC购买到的债券数量9510912410140每份债券在第10年末的累积值（元）1842.731965.011854.26所有债券在第10年末的价

17、值（万元）1752.431792.971880.14结论：如果市场利率下降到5%，则 （1）债券A的价值不足以偿付到期债务（1790.85万） （2）债券B的价值略微超过了到期债务； （3）债券C的价值超过了到期债务。55 结论：实现免疫策略最好的债券是B。 原因：债券B的修正久期等于负债的修正久期。在其他市场利率条件下，在第10年的价值6%56免疫策略的另一种选择：构造一个债券组合，使其修正久期等于债务的修正久期。假设在债券A上的投资比例为p，在债券C上的投资比例为(1 p)，那么债券组合的修正久期为7.2316p + 13.8076(1 p) 令其等于债务的修正久期9.4340，即可求得在

18、债券A上的投资：66.509%在债券C上的投资：34.491%这个组合与债券B的凸度比较见下图：57结论： （1）组合的凸度更大，对利率风险的免疫能力更强。 （2）当市场利率变化时，组合的价值上升得更多。58完全免疫Redington免疫：只有当平坦的收益率曲线发生微小的平移时，才能保证盈余不会减少。完全免疫（full immunization）：在某些情况下，即使当平坦的收益率曲线发生较大的平移，盈余也不会减少。例：假设某机构在未来需要支付一笔负债 L，支付时间为 t，同时在未来有两笔资产现金流，金额分别为 A 和 B，到期时间分别为 t a 和 t + b。它们的大小关系如下图所示。59可

19、以证明，实现完全免疫需要满足下述三个条件：（1）资产的现值负债的现值（2）资产的久期负债的久期（3）资产到期时间处于负债到期时间之前和之后，即： 60根据（1），资产的现值等于负债的现值，即： 盈余是资产的现值与负债的现值之差，其一阶导数为：由条件（1）和（2）可知证明（略）：61上式变形得（展开括号）：由条件（1）知，第一项为零。由第二项为零，可得：62对于任意的利息力 d，盈余可以表示为：先把 L 代入上式，再把 B 代入上式，可得： 括号外边大于零。令括号中的项为 f (d )，则：63由于 a 和 b 都是大于零的数，所以：故64命题：当满足前述完全免疫的三个条件时，必然会满足Remi

20、ngton免疫的三个条件。证明：根据完全免疫的第二个条件有 由于负债只在一个时间点上有现金流，所以而资产在两个时间点上有现金流，所以马考勒凸度和马考勒久期的关系：65例：某保险公司在10年末需要支付一笔2000万元的债务， 它现在拥有5年期的零息债券6209213.23元（到期价值）， 15年期的零息债券16105100元（到期价值） 。假设年收益率为10。请判断保险公司是否处于完全免疫状态？如果收益率变为 20，保险公司的盈余将如何变化？66解：保险公司负债的现值为保险公司资产的现值为完全免疫的第一个条件得到了满足。67容易看出，负债的马考勒久期为10资产的马考勒久期为完全免疫的第二个条件也得到了满足。完全免疫的第三个条件显然是满足的：5 10 15，所以，保险公司当前处于完全免疫状态。68如果收益率从10%变为20，则保险公司的盈余为： 可见，由于保险公司处于完全免疫状态，所以收益率的较大变化仍然会导致盈余增加（参见下图）。697071现金流配比（cash flow matching or Dedication）例：假设某保险公司未来3年的现金流支出和三种可投资资产的现金流模式如下。如果实施现金流匹配策略，投资在这三种资产上的资金分别应为多少？第1年末第2年末第3年末现金流支出100010001000资产1