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文档简介

1、 山东理工职业学院 高等数学换 元 积 分 法 5.3 换元积分法5.3.1第一换元积分法（凑微分法） 5.3.2第二换元积分法5.3 换元积分法-第一换元积分法（凑微分）这是因为例如, 所以,的原函数.不是 换元 积分法 要解决上述问题,可进行适当的变量替换 在利用基本积分公式对被积函数 求不定积分 时,要求积分变量 与被积函数 中的元(即 )必须严格对应.只有这样才能直接积分.否则,就不能利用直接积分法.5.3 换元积分法-第一换元积分法（凑微分）这是因为例如, 的原函数.不是 换元 积分法 所以,令则被积函数被积表达式所以,将 代回 换元 积分法 5.3.1第一换元积分法 换元 积分法

2、令则由于即 是 的原函数.所求不定积分是正确的.上述方法具有普遍性是否正 确呢? 5.3.1第一换元积分法=变量替换=用积分公式=变量还原 第一换元 积分法 设 若 可导, 则有5.3.1第一换元积分法对照案例一换元积分法公式 这是 的函数 案例的计算过程 这是 的函数 的导数 的导数 关键是找到 ，使 与 结合凑成微分凑微分法 5.3.1第一换元积分法恰是的导数.例1求解被积函数是两个因子: 和 的乘积 注意到视则因子是的函数 因子由此 正是 形式. 设则于是可用换元 积分法 5.3.1第一换元积分法例2求解被积函数是两个因子: 和 的乘积 视于是被积函数具有形式 可用换元 积分法 因本例可

3、不设出中间变量 ,按如下格式书写:5.3.1第一换元积分法例3求解5.3.1第一换元积分法例4求解因为，而所以5.3.1第一换元积分法1. 下列各题求积方法有何不同?思考与练习5.3.1第一换元积分法应用第一类换元法的常见的积分类型如下：1.；2.；3.；4.；5.3.1第一换元积分法应用第一类换元法的常见的积分类型如下：1.；2.；3.；4.；5.3.1第一换元积分法6. ，5.； 7. 8.5.3.1第一换元积分法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求则得第二类换元积分法 .难求5.3.2第二换元积分法设函数 连续， 具有连续的导数 ，且 ， 是其反函数。定理2若则称为不定积分的第二类换元积分公式5.3.2第二换元积分法第二换元法的步骤对于被积函数含有根式的不定积分,常用第二换元法,引入适当的代换,以去掉根号.说明5.3.2第二换元积分法例 求解 令5.3.2第二换元积分法根式代换例如 求解 令5.3.2第二换元积分法例1求设 ，则 ，解5.3.2第二换元积分法例2 求解 令5.3.2第二换元积分法思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令令5.3.2第二换元积分法三角代换5.3.2第二换元积分法 例1. 求解: 令则 原式5.3.2第二换元积分法例2. 求解: 令则 原式5.3.2第二换元积分法小结1. 第二类换元法常见类型: 令令令令令令5

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