方程的跟与函数的零点2

1、方程的根与函数的零点一 以旧带新 引入课题引例1 求方程 的根。求函数 与x轴交点的横坐标。两者之间有何关系？ 方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函数函数的图象方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3引例2 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标数形结合思想方程ax2 +bx+c=0(a0)的根函数y= ax2 +bx+c(a0)

2、的图象判别式 =b24ac0=00函数的图象与 x 轴交点有两个相等的实数根x1 = x2没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1 、x2推广： 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？二 归纳推广 技能演练方程f(x)=0的实数根思考： 对于一般的函数（高次函数，指对数函数等）与方程是否也有上述的结论成立呢？结论一：函数值等于零时的x的值函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标函数y=f(x)的零点 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实

3、数x叫做函数y=f(x)的零点。函数零点的定义：零点是一个点吗?注意：零点指的是一个实数转化思想例1：求函数f（x）=lg(x-1)的零点求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点课堂练习1：求下列函数的零点： 012345-1-212345-1-2-3-4xy三、知识探究：函数零点存在性原理 观察二次函数f(x)=x22x3的图象: 在2,1上，我们发现函数f(x)在区间（-2,1)内有零点x -1 ,有f(2) 0, f(1) 0得到f(2)f(1) 0()。 在2,4上，我们发现函数f(x)在区间（2,4)内有零点x 3 ，有f(2) 0得到f

4、(2)f(4) 0（)。观察二次函数f(x)=x22x3的图象: 函数f(x)在区间（-2,1)内有零点，则f(2)f(1)有什么特征？ 函数f(x)在区间（2,4)内有零点,则f(2)f(4）有什么特征？1 在区间(a,b)上 (有/无)零点； f(a)f(b) 2 在区间(b,c)上 (有/无)零点； f(b) f(c) 3 在区间(c,d)上 (有/无)零点； f(c ).f(d) 思考1：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在有何种关系？ 猜想：若函数在区间a,b上图象 ，如果有 成立，那么函数在区间(a,b)上有零点。观察函数f(x)的图像0yx思考2：若只给条件f(

5、a)f(b)0能否保证在(a,b)有零点？结论1：若函数在区间a,b上有f(a)f(b)0时，函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？思考3：若在区间（a，b）有零点时，一定有f(a)f(b) 0吗？yx00yx 三个注意点： 1. 函数是连 续的。 2 .至少存在一个零点。 3 .定理不可逆。观察如上两个函数图像思考：函数要满足什么条件在区间a，b上只有一个有零点？四：结论拓展-00yxyx如果函数 y=f(x) 在a,b上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。例题x123456789f

6、(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972 由表可知，f(2)0 ,则f(2)f(3)0，这说明函数f(x)在区间(2,3) 内有零点。由于函数f(x)在定义域(0, +) 内是增函数，所以它仅有一个零点。例1 求函数 f(x)=x+2x-6 的零点的个数。解：先用计算器或计算机作出 x 、f(x) 的对应值表和图像：.x0246105y2410861214876432191.知识方面： (1)零点的概念； (2)零点与方程的根、函数图像与x轴的交点关系； (3)零点存在性定理； (4)零点唯一性原理。2.数学思想方面： (1)转化思想 (2)数形结合思想目标检测：2.函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0， f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是 （ ） A.函数f(x)在区间（0，1）内有零点 B.函数f(x)在区间（1，2）内有零点 C.函