多元函数极值典型例题

1、 多元函数极值典型例题例1求由方程x2+y2+z2一2x+2y一4z一10=0确定的函数z=f(x,y)的极值解将方程两边分别对x,y求偏导，得2x+2zz2一4z=0 xx2y+2zz-2一4z=0yy令Z=0,z=0,得x=1,y=-1-即驻点为P(l,1).xy又A=zxx(z-2)2+(1+y)2(2z)3PB=z=0 xypftzyy(z-2)2+(1+y)2(2-z)3p因AC一B21(2-z)20,故z=f(x,y)p取极值. # 将x=1,y=-1代入x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0得z1=-2,z2=6.z=-2时，A=0，故z=f(1,-1)=-2为极小值；2-

2、z4z=6时，A=0，故z=f(1,-1)=6为极大值-2-z4例2求函数z=x2+y2-12x+16y在有界闭域x2+y225的最大值和最小值.解函数z=x2+y2-12x+16y在有界闭域x2+y225上连续，故必在该区域上取得最大值和最小值先求函数在区域x2+y225内的驻点.令竺=2x-12=0,=2y+16=0,x=6,y=8.dxdy但(6,8)不在区域x2+y225内，故函数的最大值和最小值必在边界x2+y2=25上取得.再求z=x2+y2-12x+16y在边界x2+y2=25上的条件极值.设F(x,y,入)=x2+y2-12x+16y一入(x2+y2-25).TOC o 1-5

3、 h zF=2x-12-2九x=0(1)人x令FF=2y+16-2入y=0(2)yF；=x2+y2-25=0(3)由、(2)得x=,y=，代入(3)式，有1九1九)2+(-81-1)2=25.得入=一1,入=3.可得驻点P(3,-4),P(一3,4)而z(3,-4)=-75,z(-3,4)=125.1212故z的最大值为125,z的最小值为一75.例3求内接于半径a的球且有最大体积的长方体.解设球面方程为x2+y2+z2=a2,(x,y,z)是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点.则此长方体的长、宽、高分别为2x,2y,2z.体积为V=2x-2y-2z=8xyz本题是求V在约束条件x2+y2+

4、z2=a2下的极值.作拉格朗日函数F(x,y,z)=8xyz+入(x2+y2+z2-a2)TOC o 1-5 h zF=8yz+2九x=0(1)xF=8xz+2入y=0(2)yF=8xy+2九z=0(3)zx2+y2+z2一a2=0(4)九3由、(2)、得x=y=z=-才，代入得x=y=z七a-即有唯一驻点a,3而由实际问题这种长方体的体积存在最大值，所以当长方体的长、宽、高都为罟a时其体积最大.例4在椭圆x2+4y2=4上求一点，使其到直线2x+3y-6=0的距离最短.解设P(x,y)为椭圆上的任意一点，即有x2+4y2=4.到直线2x+3y一6=0的距离为djd=W也=制2x+3y一6作拉格朗日函数F(x,y,X)=(2x+3y-6)2+入(x2+4y2-4).,4F=一(2x+3y-6)+2Xx=0 x13令0,y0,z0)的最大值，并证明对任何正数a,b,c成立不等_p-(a+b+c)5式abc30,y0,z0，有lnx+lny+3lnz