阶跃响应、冲激响应

1、第9章 阶跃响应、冲激响应 和卷积积分的应用 9.1 阶跃函数和冲激函数 本章重点 9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变 9.2 阶跃响应 9.3 冲激响应 1 阶跃响应和冲激响应 本章重点 阶跃函数和冲激函数 卷积积分 返回目录 电容电压和电感电流的跃变 29.1 阶跃函数和冲激函数 一、单位阶跃函数（unit step function） 1. 定义 t(t)10用可描述开关的动作。 +uCUS(t)RCUSS+uCRC开关在t =0 时闭合 32. 延迟的单位阶跃函数 t(t-t0)t003. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号 USS+uCRC开

2、关在t =t0 时闭合 4t0t-(t-t0)(t)0f(t)1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。 例11t0tf(t)0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。 511t001t1f(t)例2 试用阶跃函数表示图示的波形。 解 f(t) 分成两段表示。 1t101t1+(0 t 1)(10时，可用三要素法得到其解。15t0若激励在 t = t0 时加入，则响应从 t = t0开始。 t- t0( t - t0 )iCt0注意 t( t - t0 )不要写为 f (t )f(t )(t)f(t )(t-t0)t0f(t-t0 )(t-t0) (t -t0)C+uCRt0t0f(t

3、)(t)16解 10k10k+-iC1100FuC(0-)=010k10k+-iC2100FuC(0-)=0由叠加定理有 例 求图示电路中电流 iC(t) 10k10kuS+-iC100FuC(0-)=00.510t/suS/V017等效 5k+-iC2100FuC(0-)=010k10k+-iC1100FuC(0-)=0由线性、齐次和时不变性质，得 10k10k+-iC100FuC(0-)=018分段表示为 t/si/mA01-0.6320.5波形 0.368也可用时间分段形式表示 19二、二阶电路的阶跃响应已知 uC(0-)=0 ， i (0-)=0以uC为变量微分方程为RLC+-uCi+

4、-以RLC串联电路为例讨论。二阶常系数非齐次微分方程。上述微分方程等价于：20特征根为 按特征根的不同情况，通解（自由分量）有三种不同形式，uC解答可表示为过阻尼情况临界阻尼情况欠阻尼情况返回目录219.3 冲激响应 零状态 h(t) 冲激响应（impulse response）：电路在冲激激励作用下的的零状态响应。 方法一 ： 分两个时间段来考虑 （1） t 在 0- 0+；（2） t 0+。 分析冲激响应时，时间范围为 0 到 t 。 t022（1） t 在 0- 0+ 间 （2） t 0+ 零输入响应。 iCiSRC+uC例1已知：求： iS(t)为单位冲激时电路的响应uC(t)和 iC

5、 (t)。定性分析 uC(0)=0，电容相当于短路 23（2） t 0+ RC放电 iCRC+uC（1） t 在 0- 0+ 间 解uC不是冲激，仅是有限的跳变。 =1=024t/suC/V0冲激响应为t/siC /A025（1） t 在 0- 0+间定性分析 例2已知求 uS 为单位冲激时的电路响应iL(t)和uL(t)。 解 =1=0i不是冲激，仅是有限的跳变 RL+-iLuS+-uL26（2） t 0+ RL放电 tiL0tuL0LiLR+-uL冲激响应为 27（1） t 在 0- 0+间（2） t 0+ RC放电 例3已知： 求： uS 为单位冲激时电路响应iC(t)和uC(t)。iC

6、RC+uC-+-iCRuS+uC-解电容短路冲激响应为28方法二: 利用阶跃响应求冲激响应。 零状态h(t)零状态s(t)f(t)t029求冲激响应。 已知单位阶跃响应 例+-iCRuS+uC-解 返回目录309.4 电路在任意激励作用下的零状态响应 卷积积分一、卷积积分（convolution）定义 设 f1(t) , f2(t)在 t 0时均为零 性质1 应用：求任意波形激励下的零状态响应。 e(t)r(t)零状态线性网络h(t)31证明 令 = t - ：0 t : t 0性质2 筛分性 = f ( t )二、卷积积分的物理解释 e (0)将e(t)在作用时间0 t 内划分为n等分，每个

7、间隔为32单位脉冲函数的延时 e (0)2k(k+1)33第1个矩形脉冲 若单位脉冲函数 p ( t ) 的响应为 h p ( t )第k个矩形脉冲 激励 响应 34脉冲响应响应 脉冲函数激励 冲激函数 冲激响应 积分卷积积分-叠加积分 35被积函数 积分变量 参变量 三、卷积积分的图解说明 f2(-)10f1(t)201tf2(t)10tf1()201361ttt卷 移 乘 积 f2()10f2(t-)10t1f1() f2(t-)02f2(-)10f1()201ttf1(t)* f2(t)0t1t37由图解过程确定积分上下限 1 201e-(-)t01ttt-1t0102 -11e-法二

8、e-(t-)tttt法一 38解 先求该电路的冲激响应 h(t)uC()=0例1.已知：R=500 k , C=1 F , uC(0)=0求： uC(t)。iCRiSC+uC四、应用举例 39再由卷积积分计算当 iS=2et (t) mA 时的响应 uC ( t ):40r(t)=iS*h(t)=h(t)*iS 此卷积积分需分段进行 例2 已知线性网络冲激响应为h(t)， 求此网络激励为图示iS时的零状态响应。 h(t)23t0tiS042is(t)零状态线性网络h(t)iS04232410 t 2 2 t 3 3 t 5 r(t)=0043-2 思考 如何划分时间段？确定积分上下限。 204

9、2 3 46t02tt-3返回目录439.5 电容电压和电感电流的跃变在换路瞬间，若电容中流过冲激电流时，电容电压可能发生跃变，此时电容的瞬时充电（或放电）功率为无穷大。在换路瞬间，若电感两端出现冲激电压时，电感中的电流可能发生跃变，此时电感的瞬时充电（或放电）功率为无穷大。44一、电容电压的跃变例1 理想电压源瞬间加在纯电容C两端。 则电容电压可以表示为 SuCC+US+iCuC , iCtoUSuC iC 电容中电流为 45例2 电路如图所示。S+R1uC2C1+US+C2uC1iC1iC2AR2以uC1为变量，可列些出方程如下：由上述方程可知，电容电压uC1应为有限值。再根据KVL， u

10、C2也应为有限值。46节点A的KCL方程：在0-0区间对上式积分，并整理得式(1)表明节点A满足电荷守恒。其中uC1(0+)、 uC2(0+)待求。再根据KVL，有当uC1(0)0、 uC2(0)0时，联立求解式（1）和式（2）可求得47由此可用三要素法得到此一阶电路的解：其时间常数为换路后达稳态时有所以电容电压分别为48对电容电压的全时间域表达式求导，可得电容电流为小结： 一般情况下，当换路后电路中出现由理想电压源和电容（或全部由电容）构成的回路时，则电容电压可能发生跃变。 分析方法是：首先根据KVL，列写换路后瞬间电容电压与电压源电压的约束方程；然后再根据节点电荷守恒写出有关电压的方程；最后根据上述所列方程便可求出待求电压的值，从而可知电容电压是否跃变。49二、电感电流的跃变电感电流可能发生跃变的情况，与电容的情况是对偶的。结论如下： 一般情况下，当换路后电路中出现由理想电流源和电感（或全部由电感）构成的割集时，则电感电流可能发生跃变。 分析方法是：首先根据KCL，列写换路后瞬间电感电流与电流源电流的约束方程；然后再根据回路磁