立足基础求创新关注本质重发展

1、说郸吸惭关注本邮糠图8【摘要】数学压轴题的命制要立意先行，聚焦目标的指向性;源于教材，着眼问题的发展性;立足基础，注重试题 的创新性;关注本质，追求试题的关联性;简约精致，彰显试题的人文性.【关键词】命题立意;立足基础;关注本质倘约精致;注重发展笔者有幸参加了所在地区2021年秋季学期期末八年级数学试卷的命制工作.试卷的压轴题从教材一道经典问题出 发，通过精心设计、反复推敲、细心打磨，最终呈现的试题既考查学生的基础知识与基本技能，也考查学生的探究意识 与创新能力.问题所蕴涵的“变与不变”“数形结合”等思想方法引领学生关注数学本质，寻求问题解决的一般规律与方法， 有利于发展学生的数学思维能力.试

2、题简约精炼，体现了对学生的人文关怀.本文基于试题命制与打磨过程的阐述，谈谈“立 足基础求创新、关注本质重发展”的初中数学命题思考.1真题及简答如图1,在平面直角坐标系xOy中，点A, B的坐标分别为(-4, 0)、 (0, 3),连接AB,点P是线段AB上 的一个动点(与点A, B不重合)，过点P作PCx轴，垂足为C,将线段BC绕点B逆时针旋转至BD,使N CBD=z ABO. 连接OD,设点P的横坐标为m.图1备用图(1)求直线AB的函数表达式；(2)当m为何值时， BPC垩 BOD;(3)在点P运动的过程中，在y轴上是否存在一点E,使得/BED的大小始终不发生变化？若存在，请求出点E的坐标

3、;若不存在，请说明 理由；直接写出OD长度的取值范围.本题取材于教材原题，以平面直角坐标系为载体，通过对图形运动中的变与不变规律的探究，考查了全等三角形、 勾股定理、直角坐标系及一次函数等知识灵活运用能力、分析问题与解决问题能力，以及对“数形结合”“变中不变”等数学 思想方法的感悟.简答如下：(1) y=34x+3.(2)当 m=-125 时， BPCm BOD.理由：当m=-125时，yP=65,所以AC=85, CP=65,由勾股定理得：AP=2, AB=5,所以BP=AB-AP=3,所以BO=BP,因为nCBD=nABO,所以nPBC=nOBD,从而有 BPC BOD.（3）存在.如图2

4、,在y轴上取点E（0,2）,连接DE.易证 EBD合 ABC,所以/ BED=n BAC,由于nBAC 的大小不变，所以/BED的大小也不变.因为点P运动的过程中，/ BED大小始终不变，所以点D在射线ED上运动.当点P与点A重合时，点C与点A重合，点D与点E重合，此时D （0, -2） , OD=2;图2图3当点P与点B重合时（如图3）,点C与点O重合，此时点D运动至点D1处，过点D1作D1HLOB,易得 BAC BED1,所以N BD1E=z BCA=90, D1E=CA=4,求得 D1H=125,从而 BH=95, OH=65,进而 OD1=6552.当ODLED1时，OD的长度最小，因

5、为BO=BD1,易证N OD1 H=n OD1D,所以OD=OH=65.点D从点E运动 至点D1的过程中，OD的长度先变小后变大，所以65WODV655.2命题历程命题立意由于考查内容为苏科版八年级上册的全等三角形、轴对称图形、勾股定理、直角坐标系及一次函数，故将命题立 意确定为：从教材经典问题出发，以平面直角坐标系为背景，考查相关基础知识、基本方法的灵活运用以及通过几何推 理与代数运算解决问题的能力，体现“数形结合”与“变中不变”等数学思想方法.问题原型（苏科版八年级上册第67页“2.5等腰三角形的轴对称性”习题第10题）已知：如图4, aABC和aCDE都是等 边三角形，且点A, C, E

6、在一条直线上.AD与BE相等吗？证明你的结论.这是一道经典问题，由已知条件易得N ACD=n BCE,从而证得aACD空 BCE,得AD=BE.问题解决运用了等边 三角形性质、全等三角形判定等知识与方法,从图形变换的角度看，全等的两个三角形可看作是绕点C旋转60。而得.那么笔者思考：能否从该问题出发，通过改变图形结构、添加问题背景及设置附加条件，命制既考查相关章节的 核心知识，又能渗透数学思想方法，还能反映数学本质的数学问题呢？试题命制明确了命题立意、找到了命题素材，接下来就是试题命制层面的工作.试题命制经历了“化静为动、数形结合，明晰 主次、以动带动，适当铺垫、合理优化，删繁就简、简中求道”

7、的不断取舍与整合、优化与完善的过程.化静为动，数形结合教材问题中的两个等边三角形的公共顶点C与另两个顶点A, E在同一直线上.当点A, C, E不在一条直线上时, 如图5,根据“SAS”仍有 ACD2 BCE,故AD二BE、N CAD=n CBE仍然成立.事实上，人教版八年级上册“第十三章 轴对称”复习题第12题：“如图6, ABD, ZkAEC都是等腰三角形.求证BE=DC.”正是研究的三点不共线情形.图5无论 点D怎么变化，若/CAD大小不变，NCBE的大小也不变，若点D沿着射线AD运动时亦如此.基于这样的思考，将图 形中的元素动起来，再寻求变化中的不变，便于利用直角坐标系与直角三角形线段

8、关系代数化解决.要保证NCAD大小 不变，令ADJ_BC,将图形位置特殊化.于是，试题初稿出笼.图7一稿 如图7,在平面直角坐标系xOy中， ABC和aCDE都是等边三角形，AC=4,点B, C在y轴上，点D 为x轴上点A右侧的一个动点.（1）试探索：在点D运动的过程中，/CBE的大小发生变化吗？请说明理由；（2）连接OE,求OE长度的最小值.这里的问题（1）是问题（2）的铺垫，由前面的分析可知：无论点D如何运动，由于nCBE=nCAD,而nCAD=30。 保持不变，所以/CBE也不变.事实上，由等边三角形ABC易得nCAO=30。，故点E在y轴右侧且与射线BO所夹的 角为30。的射线上运动.

9、由“点到直线垂线段最短”知：在点E的运动过程中，点A, C, O等定点到动点E的距离均存在 最小值.这里选择最特殊也是最简单的原点。进行探究,显然，当OEJ.BE时，OE长度最小.明晰主次，以动带动直角坐标系的作用在于通过坐标与线段长度的相互转化，将图形问题代数化或将数量关系图形化，从而有利于问 题解决.但观察“一稿”发现：直角坐标系对问题解决没有发挥作用，有“为坐标系而坐标系”之嫌.若再给出图形中某些运动 的元素，从而导致其他元素随之运动，这种主变量与因变量关系可以让直角坐标系成为理想的探究工具.由于在AC上一定存在点P,使得aCPD2 COE,此时PD，x轴（或PDll y轴）.若添加该条

10、件，则由线段AC, OC确定从而点P的位置也唯一确定，只要满足CP=CO即可，可这样的话问题的探究价值就打了折扣.遂改变思路：保 持PD，x轴不变，将点P设为主动点，由点P在AC上运动导致点D在AO上运动，这时点D成了从动点，再给出等 边三角形CDE的条件.为引导问题代数化思考，条件中给出动点P的横坐标为m.这既使图形“动”了起来，让直角坐标系 有了用武之地，又减少了问题的干扰元素、增加了问题的思维含量.这种变化具有生成性，更加顺畅自然.至此二稿形成.二稿 如图8,在平面直角坐标系xOy中， ABC是等边三角形，点A在x轴上，点B, C在y轴上，AC=4,点 P为线段AC上一个动点（与点A、C

11、不重合），横坐标为m.过点P作PD_Lx轴，垂足为D,以线段CD为边向右下 方作等边aCDE,连接OE, BE.（1）当m为何值时， CPD2 COE;（2）在点P运动的过程中，/CBE的大小是否发生变化？若不变，请求出/CBE的度数;若变化，请说明理由；若点E刚好落在x轴上，求此时m的值；（3）求0E长度的最小值.适当铺垫，合理优化深入思考后发现：二稿的问题（1）中aCPD COE的条件是CP=CO=2,此时点P恰为AC中点，过于特殊 化，没有体现“任意与变化”的意图，使几何推理与代数运算的命题立意落空，故从3个方面进一步优化.优化一：变特殊图形为一般图形.将两个等边三角形改为两个顶角相等的

12、等腰三角形，其中AC=5, 0C=3这样， 要求出m值必须先用m的代数式表示PD的长，进而转化为求点P的纵坐标.优化二：在“求点P的横、纵坐标关系”上思考.这种关系可由三角形相似得到，也可根据一次函数关系求得.但由于 八年级学生没有研究相似图形，故设置“求AC所在直线的函数表达式”的问题，一方面便于点P的纵坐标的表示，为后 续问题的解决搭建脚手架;另一方面符合考查“一次函数”知识的内容目标.优化三：将重复问题适当合并.由于问题（2）与问题（3）都属于点E在运动过程中的两个特殊位置，故将两个 问题合并为“求0E长度的取值范围”这样一个问题.通过优化，“三稿”呼之即出.三稿 如图9,在平面直角坐标

13、系xOy中， ABC是等腰三角形，AC=BC,点A在x轴上，点B, C在y轴上， A （-4, 0）、C （0, 3）,点P为线段AC上一动点（与点A、C不重合），过点P作PD，x轴，垂足为D,以线段 CD为边向右下方作等腰aCDE,且满足n DCE=n ACB, CD=CE,连接OE、BE,设点P的横坐标为m.（1）求经过点A, C的直线的函数表达式；(2)当m为何值时， CPDm COE;(3)点P在运动的过程中,NCBE的大小是否发生变化？请说明理由；求0E长度的取值范围.删繁就简，简中求道反复研究发现，三稿中仍有4处值得推敲：一是图形无效线段多，解决问题时用到的N DCE=n ACB、

14、CA=CB. CD=CE与线段AB, DE无关;二是直接呈现点B的坐标导致问题(3)思维含量降低，没有达到压轴题的预期难度； 三是条件的语言不够精炼.如ABC是等腰三角形”与AC=BC”重复，“点A在x轴上，点C在y轴上”与“A (-4, 0)、 C (0, 3) ”重复您是“求OE长度的取值范围”过程复杂，可以通过“几何直观”加“适当运算”得到，不必让学生因书写而花 费太多时间.综合以上因素，最终决定删繁就简：一是精简图形结构.去掉图9中的线段AB, DE, BE,让图形变得简洁; 二是精细呈现方式.将问题(3)改为让学生探究图9中点B的存在性，在图形运动中探究不变关系;三是精炼数学语言.

15、将“ ABC是等腰三角形，AC=BC,点A在x轴上，点B、C在y轴上，A (-4, 0)、C (0, 3) ”这段文字压缩为“点 A、C的坐标分别为(-4, 0)、(0, 3),连接AC”;四是精减解答要求.将“求OE长度的取值范围”精减为“直接写出OE 长度的取值范围”，并适当调整图形的字母，最终形成第四稿(见真题).显然，第四稿删除了杂乱且与考查内容无关的信息和繁琐的解题过程要求，图形结构更简洁、语言表达更简约、 问题设置更合理、解题过程更顺畅.3命题感悟试题命制的曲折过程让笔者充分感受到命题的艰辛与困苦，也享受命题成功的愉悦与惬意，同时还深切感悟到： 数学压轴题的命制要立意先行，聚焦目标

16、的指向性;源于教材，着眼问题的发展性;立足基础，注重试题的创新性;关注本 质，追求试题的关联性倘约精致，彰显试题的人文性.立意先行，聚焦目标的指向性试题的命制经常经历“立意一形散一神聚”的过程.命题立意是试题之魂，决定了试题的意境与层次.该试题在命制之 初就明确了命题立意.从考查目标上说，就是立足基础、着眼发展、关注能力、指向素养，如考查数学探究的能力与思想 方法的感悟;从命题方式上说，就是源于教材、有效关联、力求创新、适当综合，如考查三角形全等与相似、直角三角形 相关性质、直角坐标系的综合与联系.源于教材，着眼问题的发展性许多优秀试题都源自于教材.教材与试题的依据都是课程标准，二者可谓“同源

17、同宗”.数学命题要“重视教材例习题的 的作用，引导学生回归课本和知识本源，从数学教材中探源问题的源头与原型，充分挖掘教材例题的价值;从数学 本质上寻宗揭示问题与教材、问题与问题之间的内在联系”2.如果善于从教材中寻找命题灵感，通过改变问题背景、 改变条件或结论、变换设问方式，关联其他问题等手段，就能命制出“神形兼备”与“神形皆变”的试题.另外，一道好的试 题不仅应该有试场效应，还应该具有深远的发展价值、有继续研究与思考的空间.该题就是从课本习题入手，通过改变图形的位置，增加平面直角坐标系的背景，并将静态问题动态化处理，利用 运动变化中不变的图形关系设计层次分明的问题，既考查学生对三角形全等、勾

18、股定理和一次函数等基础知识的掌握， 也考查了学生动态探究的能力以及对“数形结合”“变中不变”等数学思想方法的感悟.从发展角度来看，一是利用教材问题的发展性.教材中的例习题及相关素材都是精心选择与设计的，既是教材的资 源与母体，也是命题的素材与原型，深入研究教材的编写意图，挖掘教材资源的内涵，可以让教材在教学与命题中走得 更远.以教材这道题为例，通过命题者的精心设计，发展成了一道试卷的压轴题.二是试题本身也具有发展性,最终呈现在 试卷上的试题只是诸多设想中的一部分.例如：本题还可以求探索以下问题：(1)动点D到点A, B距离之和的最小值; (2)是否存在点P,使点C, P, B, D在同一圆上所

19、以，深入研究并利用教材资源的发展性编制试题，是提升试题命制能力的灵丹妙药.立足基础，注重试题的创新性作为学习评价的重要载体与依据，数学命题要在“立足基砒与“适度创新”之间平衡.一方面，要立足基础，拒绝怪题、 偏题，引导教师重视数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的教学，避免陷入题海战，减轻学生过重的 作业负担.另一方面，要适度创新，激发学生探究欲望，促进学生在掌握通性解法的基础上发展创新思维、强化创新意识, 防止走进机械模仿和套路化的“死胡同”.该题体现了立足基础与适度创新有机结合的特点.试题立足基础，将全等三角形的性质与判定、勾股定理、直角坐 标系、一次函数等基础知识融于一题，体

20、现了对方程与代数化、坐标与长度的相互转化等基本方法的考查.同时试题又有 所创新.如第(3)问“在y轴上是否存在一点E,使得/BED的大小始终不发生变化？ ”这种对存在性问题设问方式新颖 独特，激发了学生的探究欲望，是试题的创新所在、活力所在、精彩所在.关注本质，追求试题的关联性数学教学与命题“要推动学生的学习认知从感性走向知性和理性，即从表面的模糊的认识走向事物联系和事物本质 的把握和判断，从外部的操作感知走向内部的理解认知中.如果命题是建筑，那么立意只能是“画在图纸上的大厦”;如果 命题是烹饪，即使有足够的食材，也不一定变为色香味俱佳的美食.命题还需要实际操作，包括素材选择、结构谋划、逻 辑推敲、语