2022高考总复习 数学(人教A理一轮)8.6　空间向量及其运算

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI8.6空间向量及其运算第八章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有和的量叫做空间向量,其大小叫做向量的或.(2)相等向量:方向且模的向量.(3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线_或,则这些向量叫做或,a平行于b记作ab.(4)共面向量:平行于同一的向量叫做共面向量.大小方向长度模相同相等平行重合共线向量平行向量平面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b0),ab

2、存在R,使a=b.(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中a,b,c叫做空间的一个基底.3.两个向量的数量积(1)ab=|a|b|cos.(2)ab (a,b为非零向量).(3)|a|2=.Ab=0a2 4.空间向量的坐标运算(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=.a-b=.a=.ab=.(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2

3、,a3-b3) (a1,a2,a3) a1b1+a2b2+a3b3 (x2-x1,y2-y1,z2-z1) 常用结论【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.()(3)空间中任意两非零向量a,b共面.()(4)对于空间非零向量a,b,若ab0,则a与b的夹角为钝角.()(5)对于非零向量b,由ab=bc,得a=c.()2.若x,yR,有下列命题:若p=xa+yb,则p与a,b共面;若p与a,b共面,则p=xa+yb;其中真命题的个数是()A.1B.2 C.3D.4答案 B解析 正确,中若a,b共线,p与a不共线,

4、则p=xa+yb就不成立.正确.中若点M,A,B共线,点P不在此直线上,则 不成立.答案 D 4.(2020山东烟台月考)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为n=(-2,0,-4),则直线l与平面的位置关系为.答案 l解析 因为a=- n,所以l.关键能力 学案突破考点1空间向量的线性运算思考空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么区别与联系?解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题

5、来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.考点2共线定理、共面定理的应用答案 平行 考点3空间向量的坐标运算【例3】 (1)(2020河南郑州调研)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,),若a,b,c三向量共面,则等于()A.9B.-9C.-3D.3(2)(2020北京朝阳区一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AB,BB1的中点,点P在对角线CA1上运动.当PMN的面积取得最小值时,点P的位置是()A.线段CA1的三等分点,且靠近点A1B.线段CA1的中点C.线段CA1的三等分点,且靠近点CD.线段CA1

6、的四等分点,且靠近点C答案 (1)B(2)B解析 (1)由题意知c=xa+yb,即(7,6,)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),(2)设正方体的棱长为1,以A为原点,AB,AD,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,解题心得空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、向量垂直、向量的模、向量的夹角,在研究几何问题中只要建立适当的坐标系,把空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示,就可以使得几何证明通过代数运算得到解决,这是使用空间向量研究立体几何问题的基本思想.对点训练3(1)(2020河北五校联考)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且ab,则实数m

7、的值为()(2)设点C(2a+1,a+1,2)在由点P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上,则a=.答案 (1)B(2)16 考点4空间向量数量积的应用【例4】 (1)如图所示,已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则PC=()A.6B.6C.12D.144(2)(2020福建福州三模,理14)正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BC1中点,Q为A1D中点,则异面直线DP与C1Q所成角的余弦值为.解题心得空间向量数量积的应用(1)求夹角.设向量a,b所成的角为,则 ,进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离).运用公式|a|2=aa,

8、可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题.利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.对点训练4(1)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别是棱A1D1,AB,BC的中点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则直线l与直线QB1所成角的余弦值为()(2)已知空间向量a=(1,-,-1),b=(-,1-,-1)的夹角为钝角,则实数的取值范围是.解析 (1)取C1D1的中点E,则平面PQEM是经过点M,P,Q的平面,延长PQ,交DC延长线于点F,则EF是经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线l,要点归纳小结1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为用向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题.要点归纳小结1.向量