2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷)-试卷真题、答案及详细解析

1、绝密 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷,理)本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合A=x|x|4,x-ay2,则A.对任意实数a,(2,1)AB.对任意实数a,(2,1)AC.当且仅当a0)与圆=2cos 相切,则a=.11.设函数f(x)=cosx-6(0).若f(x)f4对任意的实数x都成立,则的最小值为.12.若x,y满足x+1y2x,则2y-x的

2、最小值是.13.能说明“若f(x)f(0)对任意的x(0,2都成立,则f(x)在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是.14.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0),双曲线N:x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.16.(本小题14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,D,E,F,G分别为

3、AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=5,AC=AA1=2.(1)求证:AC平面BEF;(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)证明:直线FG与平面BCD相交.17.(本小题12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选

4、取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“k=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6的大小关系.18.(本小题13分)设函数f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.19.(本小题14分)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线P

5、A交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,QM=QO,QN=QO,求证:1+1为定值.20.(本小题14分)设n为正整数,集合A=|=(t1,t2,tn),tk0,1,k=1,2,n.对于集合A中的任意元素=(x1,x2,xn)和=(y1,y2,yn),记M(,)=12(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+(xn+yn-|xn-yn|).(1)当n=3时,若=(1,1,0),=(0,1,1),求M(,)和M(,)的值;(2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素,当,相同时,M(,)是奇数;当,不同时,M(,)

6、是偶数.求集合B中元素个数的最大值;(3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素,M(,)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)数学(北京卷,理)1.AA=x|x|2=x|-2x4,2-a2,化简得a32,a0.即a32.所以当且仅当a32时,(2,1)A,故选D.9.an=6n-3an为等差数列,设公差为d,a2+a5=2a1+5d=36.a1=3,d=6.an=3+(n-1)6=6n-3.10.2+1由题意,可得直线的直角坐标方程为x+y=a(a0),圆的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x

7、-1)2+y2=1.由直线与圆相切,可知|1+0-a|1+1=1,即|1-a|=2,解得a=12.a0,a=2+1.11.23对任意xR都有f(x)f4,f4=1,即cos4-6=1.4-6=2k,kZ.0,当k=0时,取得最小值,即4=6,=23.故的最小值为23.12.3由x,y满足x+1y2x,得x+1y,y2x,x+12x,即x+1y,y2x,x1.作出不等式组对应的可行域,如下图阴影部分所示.由x+1=y,y=2x,得A(1,2).令z=2y-x,即y=12x+12z.平移直线y=12x,当直线过A(1,2)时,12z最小,zmin=22-1=3.13.f(x)=x,0 x1,-12

8、x+32,1x2(答案不唯一)画出f(x)=x,0 x1,-12x+32,1f(0),x(0,2.但f(x)在0,2上不是增函数.14.3-12根据题意可画出下图,其中BD和AC为双曲线的渐近线,ABF2CDF1是正六边形.由题意可知BOF2=3,故双曲线的渐近线BD的方程为y=nmx=3x,故双曲线的离心率e1=m2+n2m=m2+(3m)2m=2.设AB=x,由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=3x+x=2a,2c=2x,故e2=2c2a=2x(3+1)x=3-1.15.解 (1)在ABC中,cos B=-17,B2,sin B=1-cos2B=437.由正弦定理,得asinA=bsinB

9、7sinA=8437,sin A=32.B2,A0,2,A=3.(2)在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=32-17+12437=3314.如图所示,在ABC中,过点B作BDAC于点D.sin C=hBC,h=BCsin C=73314=332,AC边上的高为332.16.(1)证明 在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,ACEF.AB=BC,ACBE,AC平面BEF.(2)解 由(1)知ACEF,ACBE,EFCC1.CC1平面ABC,EF平面ABC.BE平面ABC,E

10、FBE.建立如图所示的空间直角坐称系E-xyz.由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).CD=(2,0,1),CB=(1,2,0).设平面BCD的法向量为n=(a,b,c),则nCD=0,nCB=0,2a+c=0,a+2b=0,令a=2,则b=-1,c=-4,平面BCD的法向量n=(2,-1,-4),又平面CDC1的法向量为EB=(0,2,0),cos=nEB|n|EB|=-2121.由图可得二面角B-CD-C1为钝角,二面角B-CD-C1的余弦值为-2121.(3)证明 平面BCD的法向量为n=(2,-1,-4),G(0,2,1),

11、F(0,0,2),GF=(0,-2,1),nGF=-2,n与GF不垂直,FG与平面BCD不平行且不在平面BCD内,FG与平面BCD相交.17.解 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为2000.25=50(部).P(A)=50140+50+300+200+800+510=502 000=0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:k=0,第k类电影没有得到人们喜欢,1,第k类电影得到

12、人们喜欢,则k显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:110P0.40.6D1=0.40.6=0.24;第二类电影:210P0.20.8D2=0.20.8=0.16;第三类电影:310P0.150.85D3=0.150.85=0.127 5;第四类电影:410P0.250.75D4=0.250.75=0.187 5;第五类电影:510P0.20.8D5=0.20.8=0.16;第六类电影:610P0.10.9D6=0.10.9=0.09;综上所述,D1D4D2=D5D3D6.18.解 (1)因为f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex,所以f(x)=2ax-(4a

13、+1)ex+ax2-(4a+1)x+4a+3ex(xR)=ax2-(2a+1)x+2ex.f(1)=(1-a)e.由题设知f(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e0,所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(ax-1)(x-2)ex.若a12,则当x1a,2时,f(x)0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a12,则当x(0,2)时,x-20,ax-112x-10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是12,+.19.(1)解 因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=

14、4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k0).由y2=4x,y=kx+1,得k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意,=(2k-4)2-4k210,解得k0或0k1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k-3.所以直线l斜率的取值范围是(-,-3)(-3,0)(0,1).(2)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知x1+x2=-2k-4k2,x1x2=1k2.直线PA的方程为y-2=y1-2x1-1(x-1).令x=0,得点M的纵坐标为yM=-y1+2x1-1+2=-kx1+1x1-1+2.同理得点N的纵坐标为yN=-kx2

15、+1x2-1+2.由QM=QO,QN=QO,得=1-yM,=1-yN.所以1+1=11-yM+11-yN=x1-1(k-1)x1+x2-1(k-1)x2=1k-12x1x2-(x1+x2)x1x2=1k-12k2+2k-4k21k2=2.所以1+1为定值.20.解 (1)M(,)=12(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)=2;M(,)=12(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)=1.(2)当xm,ym同为1时,12(xm+ym-|xm-ym|)=1;当xm,ym中只有一个1或者两个都是0时,12(xm+ym-|xm-ym|)=0

16、;当,相同时,=(x1,x2,x3,x4)B,M(,)=x1+x2+x3+x4为奇数,则xk(k=1,2,3,4)中有一个1或者三个1,即为以下8种:形式1:(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1);形式2:(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(0,1,1,1);当,不同时,M(,)是偶数,则,同为1的位置有4个或2个或0个;形式1中的元素不能和形式2的三个元素同时共存;形式2中的元素不能和形式1的三个元素同时共存;如果B中元素全是形式1,当,不同时,M(,)=0满足条件;如果B中元素全是形式2,当,不同时,M(,)=2满足条件.所以B中元素至多为4个.(3)B中元素个数最多为n+1,构造如下:对于k=(zk1,zk2,zkn)B(k=1,2,3,n),zkk=1,其他位置全为0;n+1=(0,0,0,0),可以验证M(i,j)=0(i,