03第三讲函数的连续性与导数、微分概念

1、Mathtriones同方教育Teacher Xialim f x A第三讲：函数的连续性与导Axaf x数、微分的概念一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1若 f x 为是连续函数，limABxalim f x ACxa Alimf (x)Dxaf 0 1, f 1 0 ，且 u连续f xf x解：limlimA1 xaxa则lim fx sin (x )B0 x选 B f xA -1 C1解： 原式, x 0D 不存在4设 F x x f 0, x 01 sinlim f 连续x f lim x sin 1 f x 在 x 0 处可导， f 0 0,f且x x x 1xf 0 0

2、 ,则 x 0 是 F x 的()f 1 0 ，选 BA 可去间断点 B 跳跃间断点C 无穷间断点 D 连续点mf x ln 1 kx x 在点 x 0 处连2 要使解：lim F x lim f x f 0 f 0,f 0 补充定义的数值是(续，应给)x 0 x0 x0k mekmf 0 f 0 F 0 ，A kmBx 0故 x 0 是 F x 的第一类可去间断点。选 AC ln kmDm 1解： lim f x ln lim(1 kx) x 0 在 x 0 处5f()x0 x00, x 0lim kx m ln ex0 ln ekm kmxA 极限不存在B极限存在但不连续D可导但不连续C连

3、续但不可导 f 0 km选 Af 0 0 0 ，且解：lim ff (x) 3 若 limA，则下列正确的是 xa f x 在 x 0 连续，又 f 0（）1Mathtriones同方教育Teacher Xiax sin 1 08若 f x 为可导的偶函数，则 f 0 解：（1） f x 为偶函数， f x f x lim x 不存在， f x 在 x 0 x 0 x0不可导选 C(2) f x 可导， f x f x f 0 f 0 x2 1, x 1故f x 在 x 1 可导，则6设ax b, x 1a, b 为（）2 f 0 0f 0 0即A a 2, b 2B a 0, b 29设 y

4、 6x k 是曲线 y 3x2 6x 13 的一条切线，则 k C a 2, b 0D a 1, b 1解：（1） f x 在 x 1 连续，解：（1）y 6, y 6x 2 lim x2 1 2, lim ax b a b（2）62k 346213,12k 121213,故 k 1x1故 a b 21x1f 0 x10 若 y f (x) 满足： f (x) x 12 （2） f1 lim 2, f1 x xx 1x1 x ，且lim 0 x0 lim ax b 2 1 lim a x 1 af 0 =则x 1x 1x1x1 a 2 ，代入1 得b 0 ，选 C二、 填空题（每小题 4 分，

5、共 24 分）f 0 lim f x f 0解：x 0 x0f 0 = lim x x 1 0 17设 f (x) 为连续奇函数，则xx0解：（1） f x 为奇函数，f x f x11 设 f (x) 在 x 2 连续，且 f (2) =4， lim f x lim f x （2）4 则lim f (x0 x0 x 4 2x2又 f x 在 x 0 连续x 2 4解： 原式= f (2) limx 42 f 0 f 0f 0 0 x2故2Mathtriones同方教育Teacher Xia1 4 1 14 f x 在 x 0 处连续 4 limx2 x 2 x 1（2）在 x 1 处， li

6、m 0 0,x112 f的间断点个数为ln 1 t ln x x 1 tx 1 0 lim 1lim2解： 令x 1tx1x0 f x 在 x 1 不连续x 1为间断点，f x 有三个间断点设 f (x) 有连续的 导函数， 且故15 三 、计算题（每小题 8 分，共 64 分） f x asinx,x0Fx sin 2x e2ax 1b 若x, x 0A,x013 已知 f (x) xa, x 0在 x 0 连续，求常数 A。在, 上连续，求 a 的值解： f x 在 x 0 连续f x f 0 asin x解：lim F x limxx0 x0 lim f x f 0 lim a sin

7、xsin 2x e2ax 1x 0 xlim f x limx0 x0 xx0 x0f 0 a 1sin 2xe2ax limlim 2 2a且 F 0 A ， a b A答 A a bxxx0 x0f 0 a, 2 2a a ex 1且, x 016 设 f (x) 在 x 0 可导，x故 a 2kx b, x 0 1ex , x 0求 k, b 的值。f (x) 0, 0 x 1 在 x 0, x 114ex 1解：（1） f x 在 x 0 连续，lim1 1xx0连续性lim (kx b) b 故有 b 1x01解：（1）在 x 0 处， lim ex 0, lim 0 0（2） f

8、x 在 x 0 可导x0 x0f 0 0且3Mathtriones同方教育Teacher Xiax a x 在 x a 是否可f (x) ex 1 181f 0 lim x导，其中 x 在 x a 连续。x 0 x0 x a x 0lim 0 f a 1 x 0 解：（1） lim1exexx a12xa limx22xx0 x0 x a xlimkx 11xf 0 lim k,x axax0 k 1 ，答k 1 , b 1连续 lim x a22xaln(1 ax) , x 017设 f (x) x a x 0 x a在 x 0 可xf a lim（2）1, x 0 xaf 0 x a xl

9、imlim x 连续 a导，求 a 与x axaxa解：（1） f x 在 x 0 连续，当 a 0 时， f x 在 x a 连续，答：f x lim ln 1 ax lim ax a limx0当 a 0 时， f x 在 x a 不连续xxx0 x0f 0 1，故有a 11且19 求 f (x) 的间断点，并间断（2） f x 在 x 0 可导ln(1 x) 1点类型x 1解：（1）间断点：f 0 lim xxx01（2） 在 x 0 处： lim 0 0 x01 1 1ln 1x2 limf x 的第一类间断点。 x 0 是2xx0 x01 x 1121 lim （3） 在 x 1 处

10、： lim x0 2x x 1x1f 0 1f x 的第二类无穷间断点。答： a 1, x 1为24lnxlnxlnxMathtriones同方教育Teacher Xiax 1（4）在 x 1 处： lim 1 x1 x 1e, x 0 x120 设 f (x) ln 1 x, 1 x 0f x 的第二类无穷间断点 x 1是x 0f (x) 的间断点，并判断间断点的类型。解：（1） x 1 为间断点， x 0 可能是间断点。（2）在 x 1 处：22已知 f (x) ax bx cx d,0 x 1，32x 1在, 可导，求 a, b, c, d 之值解：（1） f x 在 x 0 连续，11

11、 lim ex1 e 0, lim ex1 x1 x 1是x1f x 的第二类无穷间断点 lim ax3 bx2 cx d d（3）在 x 0 处：1x0lim x x 0, f 0 021, lim ln 1 x 0 lim ex1 ex0故 d 01（2） f x 在 x 0 可导x0 x 0 是x0f x 的第一类跳跃间断点四、 综合题（每小题 10 分，共 20 分）1 121 求 f (x) x 1 的间断点，并判别x1x2 xf 0 lim1 1,x0 xx 1x间断点的类型。ax3 bx2 cxf 0 lim c, x 1解： （1）间断点：（2）在 x 0 处：xx0故有c 1

12、2（3） f x 在 x 1 连续，1x 1flim f x lim x 1 1 lim ax3 bx2 x f 1x0 x 1f x 的第一类可去间断点x1x0f 1 0 x 0 是即 a b 1 x 1 处： lim f x lim x 1 0 a b 1 03（4） f x 在 x 0 可导：（3）在x1 x 1x1f x 的第一类可去间断点 x 1是5Mathtriones同方教育Teacher Xiax2 x x 11 f 1 limusin, x 0 x，证明（1）f x x 124 设x10, x 0ax3 bx2 x f1 limf x 在 x 0 连续，当u 1 时，当u 0

13、 时x 1x1f x 在 x 0 可导 0 0 lim 3ax2 2bx 11 u 0时x1解：（1） lim x sinu0 xx0 3a 2b 1故有 3a 2b 04由（3）（4）解得 a 2, b 3 sin 1u 0 0 1, lim xuxx0f x 在 x 0 连续当u 0 时，答： a 2, b 3, c 1, d 0五、证明题（每小题 9 分，共 18 分）23 证明 x4 2x 4 0 在区间2, 2 内至少有两个实根。证：（1） f (x) 在2, 0连续，xu sin 1u1 sin 1 u 1时0(2)limx0u1 u 1 1x 1, lim x sin0 x0f x 在 x 0 可导当u 1 时，f 0 4 0, f 2 16 0且f x 在 x 0 连续总之，当u 0 时，由零点定理知，f (x) =0 在2, 0 上至少有一个实根。（2） f (x) 在0, 2 连续,且f 0 4 0, f 2 16 4 8 0由零点定理知，f (x) =0 在0, 2 上至少有一