6.4.3 余弦定理、正弦定理（第3课时）余弦定理、正弦定理的应用举例（1）

1、余弦定理、正弦定理第3课时 余弦定理、正弦定理的应用教材分析本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教A版）第六章平面向量及其应用， 本节课主要学习利用正弦定理、余弦定理来求不能到达的两点之间的距离、底部不能到达的建筑物的高、 角度问题。正弦定理、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解 决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。这是一节关于正、余弦定理应用举例课.利用应用举例培养学生的数学建模能力。把应用正余弦定理解 决有关距离、高度、角度等问题融合起来，让学生经历情景的过程中解决数学问题。教学目标与核心素养课程目标学科素养

2、A.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；B. 了解常用的测量相关术语；c.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方 法解决有关距离、高度、角度的实际问题。.数学抽象：常用的测量相关术语；.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题；.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求高度、距离、角；.数学模型：在适当的三角形中解高度、距离、角度。教学重难点.教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解;.教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。课前准备多媒体教学过程教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新1.正弦定理：sin A sin B sin CJ = 2R2.

3、正弦定理的变形：a = 2Rsin A,b = 2Rsin B,c = 2Rsin Csin A = -,sinB = -,sinC = - 2R 2R 2Rsin A: sin B: sin C = : Z?: c3 .余弦定理:a2 =b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB c2 = a2 +b2 - 2abeosC通过复习前面所学 知识，引入本节新 课。建立知识间的联 系，提高学生概括、 类比推理的能力。变形:4 b- +c2-a1 cos A =2bcn c2 +a2 -b2 cosB =2caa2 +b2 -c2 cosC =lab4 ,三角形中

4、的结论:A + B + C = Jr; sin(A + 3) = sin C,cos(A + B) = -cosC,A + B Csin= cos一,A + B Csin= cos一A + B . C ,cos= sin 225.情境引入：（1）现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔 高度呢?（2）在实际的航海生活中，人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢?二、探索新知类型一距离问题例1如图，A, B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测 量A, B两点间的距离的方法.并求出A, B

5、间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C,。，测得CD=a,并且在C D两点分别测 得 Z BCA=a , Z ACD=p , Z CDB= ZBDA=8,在ADC和ABDC中，应用正弦定通过例题让学 生进一步理解用正 弦定理、余弦定理求 距离，提高学生的解 决问题、分析问题的 能力。理得 asin(/ I o)，11 VB 一 . i*in| 180-中+)H )Il-y I fl) , (isin / Min(cr +/在7)于是，在AABC中，应用余弦定理可得A, B两点间的距离/H,阡而匚2八(1哈辑a/u-y+占)t a:mn57+力而 yaw a Hhi“a+y+d) -(a+、

6、+y) sin(/J+/+)sin(a4-/?4-7)思考:在上述测量方案下，还有其他计算A, B两点间距离的方法吗？ 【分析】先求AD, BD的长度，进而在三角形ABD中，求A, B间的距离。可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题 的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分 析两个定理的特点，结合题目条件来选择最正确的计算方式.通过思考，进一步理解用正弦定理、余弦定理求距离问题的一题多解，提高学生分析问题、概括 能力。1.基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基 线。如例1中的CD,为使测量具有较高精准度，应根据实际需要选 取合适的基

7、线长度，基线越长，精确到越高。如：类型二底部不可到达的建筑物的高度例2如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最 高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。通过例题让学 生进一步理解用正 弦定理、余弦定理求 高度，提高学生的解 决问题、分析问题的 能力。【分析】如图，求AB长的关键是先求AE,在4ACE中，如能求出 C点到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点观察A的仰角，就 可以计算出AE的长.【解析】选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上. 由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是af,CD=a,测角仪器 的高是h,那么，在4ACD中，根据正弦定

8、理可得sin(a-19)-所以，这座也筑物的高度为 AB =AE+A =sin。十八 a sin asin R , = &(a-+九类型三 角度问题 例3.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西30,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视 线）的方向是北偏东多少度（精确到1） ?需要航行的距离是多少海里（精确到1 nmile） ?解：根据题意，画出示意图，如图。通过例题让学 生进一步理解用正 弦定理、余弦定理求 角度，提高学生的

9、用 数学知识解决实际 问题的能力、分析问 题的能力。由余弦定理，得BO? =A52 + AC22ABACcos120= 202+72-2x20 x7x(-1) = 5892于是 5C 六 24(nmile) TOC o 1-5 h z 力一印sinC sinl20 丁曰20 25百由正弦定理，得=，于是sinC =二=20242412由于0。90,所以。比46 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46+30 =76大约需要航行24n mile.三、达标检测.如下图，两座灯塔A和8与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40。，灯塔B在观察站C的南偏东60,灯塔A在灯塔3的(A

10、.北偏东5。B.北偏西10。通过练习巩固本节 所学知识，通过学生 解决问题的能力，感 悟其中蕴含的数学 思想，增强学生的应 用意识。C.南偏东5。D.南偏西10。【答案】B【解析】由题意可知乙48=180。-40。-60。=80。4。=5。，=CAB=ZCBA=50,从而可知灯塔A在灯塔8的北偏西10.如图，D, C, 3三点在地面同一直线上，。=100米，从C, D两点测得A点仰角分别是60。，30,那么A点离地面的高度A3等于()A. 5675米B. 10附米C. 50 米D. 100 米【答案】A【解析】因为/94。=/4圆一/。=60。-30。= 30。，所以AQC为等腰三角形，所以

11、AC=DC=100 米，在 R3A8C 中,A8=ACsin60o = 50V米. 一艘船上午9： 30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30。的方向, 且与它相距8w海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达3处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75。的方向，此船的航速是（）8（加+也）海里/时8（加一也）海里/时16（加+也）海里/时16（加一也）海里/时【答案】D【解析】由题意得在ZiSAB中，ZBAS=3009 ZSBA=180-75 =105, ZBSA=45.由正弦定理得si：,5。sif：5。，即sin 105 sin 45，得 AB8（玳-取）,因此此船的航速为网而也）一1

12、6（加一也）（海里/小时）.2.在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向 的两船的俯角分别是45。与30,此时两船间的距离为m.【答案】200（73+1）【解析】过点A作AHJ_8C于点”，45oy；-=60, 3=45。，AB=12yf6.45。= 24（海里）.CD2=AD2+AC2- 2AD A Ceos 30小K*4海里，C,。之间的距离为85海四、小结1、解决应用题的思想方法是什么？把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。2 .求解三角形应用题的一般步骤：（1）、审题（分析题意，弄清和所求，根据提意，画出示意图；（2） ,建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）（3）求模（正确运用正、余弦定理求解）（4）还原。五、作业习题6.48,9题通过总结，让学生 进一步巩固本节所 学内容，提高概括能 力，提高学生的数学 运算能力和逻辑推 理能力。教学反思本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定 理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的