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文档简介

1、第3.6节 欧氏空间线性代数1主要内容:一内积的概念二标准正交基的向量组三正交矩阵2一、内积的概念定义1：n维实向量称为向量 与 的内积。若 为行向量，则3向量内积的性质：线性性对称性等号成立当且仅当正定性定义2：实数称为向量的长度（或模，或范数）若称 为单位向量。4把向量单位化：若则考虑即的模为1，为单位向量，称为把 单位化。向量长度的性质：（1）非负性：当 时，当 时，（2）齐次性：（3）柯西施瓦兹不等式：（4）三角不等式：5非零向量 和 的夹角余弦:定义3：非零向量的夹角是注： （1）零向量与任何向量都正交。 （2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。当向量的内积为零时，即时，即时，称向量

2、正交。定义4：6二、标准正交基的向量组定义5：正交向量组：非零实向量两两正交。正交单位向量组：（标准正交向量组）非零实向量两两正交，且每个向量长度全为1。即定理：正交向量组是线性无关的。例：书p100例3.5.17例1 已知三维向量空间中两个向量正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基.8即解之得由上可知 构成三维空间的一个正交基.则有解9三、正交矩阵定义6：A是一个n阶实矩阵，若则称A为正交矩阵。定理：设A、B都是n阶正交矩阵，则或也是正交矩阵。也是正交矩阵。10定理：n阶实矩阵A是正交矩阵A的列（行）向量组为单位正交向量组。证明：设将A按列分块，设A是正交矩阵11即即A的列向量组是单位正交向量组。注：n个n维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列 （

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