高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结

1、 必修四常考公式及高频考点第一部分三角函数与三角恒等变换考点一角的表示方法终边相同角的表示方法：所有与角终边相同的角，连同角在内可以构成一个集合：B|B=k360+a,kWZ象限角的表示方法：第一象限角的集合为a|k360ak360+90,kZ第二象限角的集合为a|k360+90ak360+180,kZ第三象限角的集合为a|k360+180ak360+270,kZ第四象限角的集合为a|k360+270ak360+360,kZ终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：若所求角B的终边在某条射线上，其集合表示形式为B|B=k360+a,kZ，其中a为射线与x轴非负半轴形成的

2、夹角若所求角B的终边在某条直线上，其集合表示形式为B|B=k180+a,kGZ，其中a为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角若所求角B的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为B|B=k90+a,kZ，其中a为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角例：终边在y轴非正半轴上的角的集合为a|a=k360+270,kWZ终边在第二、第四象限角平分线上的集合为a|a=k180+135,kGZ终边在四个象限角平分线上的角的集合为a|a=k90+45,kGZ易错提醒：区别锐角、小于90度的角、第一象限角、090、小于180度的角考点二弧度制有关概念与公式弧度制与角度制互化，1=金，1弧度57302.扇形的弧长和面积

3、公式(分别用角度制、弧度制表示方法)丫n兀R厂弧长公式：i，而，R,其中为弧所对圆心角的弧度数扇形面积公式：S，：1R=2R2|I,其中为弧所对圆心角的弧度数36022易错提醒：利用S=2R2|求解扇形面积公式时，为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数规律总结“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧考点三任意角的三角函数1任意角的三角函数定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么sin=丄，cos=-，tan=工（厂TOP|=：x2y2）；rrxy化简为sin=y,cos=x,tan=.x2三角函数值符号规律总结：利用三角函数定义或一全正、二正弦、

4、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号3特殊角三角函数值除此之外，还需记住15o、750的正弦、余弦、正切值4三角函数线经典结论:(0，)，贝ysinx,x,tanx2若xe贝y1,sinx+cosx2(3)IsinxI+1cosxI1例：在单位圆中分别画出满足sina=2、cosa=2、tana=l的角a的终边，并求角a的取值集合考点四三角函数图像与性质性质函数.y=sinxy=cosxy=tanx图象iy厂、.3I/;wV0-1Trn1X4-定义域RRr兀12J值域-1,1-1,1R最值当x=2k+keZ)时，ymaxl；当x=2k兀(keZ“时，yma=1；口yr曰，厶m

5、曰.订、/古当x=2kkeZ)时ymin-1当x=2k+时，y.=-1-(kez)7min既无最大值也无最小值周期性2兀2兀兀奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在”2k在”2k兀数.1(“上是增函数；-,2k+(kez)22n(kz)上是减函3keZ丿+,2k兀+22在（“上是增函数；bk兀一兀,2k兀（keZ“在2k兀,2k+（keZ）上是减函数.在(k2,k+2J(keZ)上是增函数.对称性对称中心(k冗,0)(kez)对称轴x=k兀+(keZ)2对称中心()1k+2,0l(keZ)对称轴x=k冗(keZ)对称中心（晋,0卜eZ）无对称轴考点五正弦型（y二Asinx+如）余弦型函数（y=Aco

6、s（x+）正切性函数（y=Atan（sx+）图像与性质1.解析式求法（1）y=Asin（3x+）+B或y=Acos（sx+）+B解析式确定方法字母确定途径说明A由最值确定A最大值一最小值A=2B由最值确定r最大值+最小值B-23由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期由图象上的特殊点确定可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定A、B通过图像易求，重点讲解、3求解思路:求解思路：冗代入图像的确定点的坐标如带入最高点(珥,“或最低点坐标W，打)，则+=込+2刼(kZ)

7、或3兀ex+，+2k兀(kZ)，求值.22易错提醒：y=Asin(sx+),当30，且x=0时的相位(sx+=)称为初相如果不满足0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算如y=-3sin(-2x+6O0)的初相是-60。3求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系，解3相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一.“一图、两域、四性”“一图”：学好三角函数，图像是关键。-向左y=5L11J1.-y八平旌聞卜单也尸iiu就來标査为帀来的+倩R左5肿或旧仏i也U).融邸雙1“两域”:定义域求三角函数的定义

8、域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.值域(最值)：直接法(有界法)：利用sinx，cosx的值域.化一法：化为y=Asin(3x+)+k的形式逐步分析x+的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).换元法：把sinx或cosx看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题.例：y=asinx2+bsinx+cy二asinx2+bsinxcosx+ccosx2y=(asinx+c)/(bcosx+d)y=a(sinxcosx)+bsinxcosx+c“四性”：单调性函数y=Asin(3x+)(A0,nn30)图象的单调递增区间由2kn

9、-23x+2kn+2，kGZ解得，单调递减区间由n2kn+23x+2kn+1.5n,kZ解得;函数y二Acos(3x+)(A0,co0)图象的单调递增区间由2kn+n3x+2kn+2n,kWZ解得，单调递减区间由2kn3x+2kn+n,kZ解得；nn函数y=Atan(3x+)(A0,o0)图象的单调递增区间由kn2ox+gkn+g,kZ解得,规律总结：注意3、A为负数时的处理技巧.对称性n函数y=Asin(3x+)的图象的对称轴由x+=kn+(kZ)解得,对称中心的横坐标由x+=kn(kZ)解得；n函数y=Acos(sx+)的图象的对称轴由3x+二kn(kZ)解得,对称中心的横坐标由3x+二k

10、n+2(kWZ)解得；函数y=Atan(3x+)的图象的对称中心由x+=kn(kWZ)解得.规律总结：可以是单个角或多个角的代数式无需区分3、A符号.奇偶性n函数y=Asin(3x+),xWR是奇函数o=kn(kZ),函数y=Asin(sx+),xWR是偶函数o=kn+2(kWZ)；n函数y=Acos(3x+),xWR是奇函数o=kn+2(kWZ)；函数y=Acos(sx+),xWR是偶函数o=kn(kWZ)；kn函数y=Atan(3x+),xWR是奇函数o=一厂(kWZ).规律总结：可以是单个角或多个角的代数式无需区分3、A符号.周期性2n函数y=Asin(3x+)或y=Acos(ox+)的

11、最小正周期T=,|3|,一ny=Atan(3x+)的最小正周期T=.|3|考点六常见公式常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用1.同角三角函数的基本关系sin2+cos2，1；tan=cos2 三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐”去负，即负角化正角：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；脱周，即将不在(0,2n)的角化为(0,2n)的角：sin(2kn+a)二sina；cos(2kn+a)二cosa；tan(2kn+a)=-tana；化锐，即将在(0,2n)的角化为锐角：6组诱导公式(l)sin(2k,a)sina，cos(2k,a)cosa，

12、tan(2k,a)tana(keZ).(2)sin(,a)一sina，cos(,a)一cosa，tan(,a)tana.(3)sin(-a)一sina，cos(-a)cosatan(一a)一tana2 #2 #(4)sin(,a)sina，cos(,a)一cosa，tan(，一a)一tana.(5)(兀sinaI2cosacosasina12丿2 #2 #,1acosa，cosf,1a2丿2丿一sina(6)sin口诀：奇变偶不变，符号看象限均化为“kn/2土a”，做到“两观察、一变”。一观察：k是奇数还是偶数；二观察：kn/2a终边所在象限，再由kn/2土a终边所在象限，确定原函数对应函数值

13、的正负一变：正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换.其中公式(1)也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式(3)也可按照函数奇偶性理解两角和差公式sin(aP)sinacosP土cosasinP；cos(aP)cosacosPsinasinP；tan(aP)tanatanP1tanatanP二倍角公式sin2asinacosa；cos2acos2asin2a2cos2a11一2sin2a；_2tanatan2a=1一tan2a二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当a=B时的特殊情况倍角是相对的，如0.5a是0.25a的倍角，3a是1.5a的倍角升降幂公式cos2a=cos2asi

14、n2a=2cos2a11一2sin2a(升幕缩角).cos2a1cos2a,sm2a1一cos2a2_降幕扩角)，2 #2 #辅助角公式 #+9) asin+bcos=a2+b2sin(+,)(辅助角,所在象限由点(a,b)的象限决定，tan,=,-*,n).a22半角公式A-1-cosAsin2=厂A：1+cosAcos=22A11一cosAtan=21+cosAA1-cosAsinAtan=2sinA1+cosA #+9) # #+9) #其它公式a1+sina=(sin+cos)2；aa1-sina=(sin-cos)2万能公式2tan2sina=1+(tan)22cosaa1-(tan

15、)22tan2t2a=；tana=1+(tan#)21-(tan#)222和差化积sina+sina+bb=2sincoscosa+costana+tana-ba+ba-b；sina-sinb=2cossin2222a+ba-ba+ba-b=2coscos；cosa-cosb=-2sinsin2222sin(a+b)cosacosb #+9) # +9) #积化和差11sinAsinB二-cos(A+B)-cos(A-B)；cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)厶厶11sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)；cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)22三

16、倍角公式sin30=3sin9一4sin39=4sin9sin(3-9)sin(3+9)13tan29cos39=4cos39-3cos9=4cos9cos(-9)cos(+9)；tan39=3tan99=tan9tan(-9)tan(331-3tan2933常见计算技巧简单的三角方程的通解sinx=aox=k冗+(-1)karcsina(kgZ,1aI1).cosx=aox=2k土accosa(kgZ,IaI1).tanx=aa(Ial1)xg(2k,+arcsina,2k,+,-arcsina),kgZ.sinxa(IaIa(IaI1)xg(2k,-arccosa,2k,+arccosa)

17、,kgZ.cosxa(IaIa(agR)nxg(k,+arctana,k,+),kgZ.2,tanxa(agR)nxg(k,-k,+arctana),kgZ例：已知sina*、cosa*、tana一l、sina-#、cosa-*、tana2i考点二向量的线性运算向量的加法法则平行四边形法则：共起点，指向对角线；起点相同、终点相同，首尾相连、路径不限三角形法则：首尾相连，可理解为“条条大路通罗马”HOA+OB，OCOA-OB，BA向量的减法原则：起点相同、指向被减2(a+b)=2OC,1(a-b)=2BA两个向量共线只可用三角形法则；封闭图形、首尾相连、相加为零向量的数乘运算实数与向量a的积叫做

18、向量的数乘，记作a.其几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩(1)a，|a(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0,P在线段PP内，X”0,12x+XxX21+Xy+Xyy=121+X2P在PP夕卜)，且12,P为PP中点时,1212xx=12y+yy=122y),C(x,y)则ABC重心G的坐标是fx1+x233,:+x2如：ABC，A(x，y),B(x,1122.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则O为ABC的外心OA2=OB2=OC2.O为ABC的重心OA+OB+OC=0.O为ABC的垂心OA-OB=OB-OC=OC

19、-OA.O为ABC的内心a甲+bOB+cOC=0.OB+cOC.(1)(2)(3)(4)(5)3.A(X,y)、B(x2，y2)、C(x3,y)三点共线0C=入0A十+uOB，且入+u=1TT呻O为ABC的A的旁心|a?A(X1-X2)(y2-y3)=(X2-X3)(yi-y2)等, +9) #向量的三角形不等式和方程11aI-Ib|Ia+bIIaI+IbI当且仅当a、b反向时，左边取等号；当且仅当a、b同向时，右边取等号IIaI-IbIIIa-bIIaI+IbI当且仅当a、b同向时，左边取等号；当且仅当a、b反向时，右边取等号记忆规律：(1)与(2)的几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边Ia+bI2+Ia-bI2=2(IaI2+IbI2)，该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和ab0推不出a与b的夹角为锐角，可能为0；ab0推不出a与b的夹角为钝角，可能为180点的平移公式x=x,hx=x-hOP=OP,PP.y=y，ky=y-k注：图形F上的任意一点P(x,y)在