数学分析习题集答案

1、第十四章第 1 节1. （1）1 2 ；（2） 4 ；4x a cos3 t（3） 4a 3 . 提示：将 L 的参数方程取为； y a sin 3 tx （4） 2 2 . 提示：将 L 的参数方程取为cos 2 cos； y cos 2 sin（5） 2 (3a 2 4 2b 2 ) b 2；（6） 162 ；a 23143（7） a3 . 提示：在 L 上成立 xy yz zx 1 (x y z)2 (x 2 y 2 z 2 ) 。22a 2ba 2 b22当a b ： 2b2 arcsin；aa 2 b22a 2b b b2 a 2ln ；当a b ： 2b2ab2 a 2当a b ：

2、 4a 2 。323（1）(1 a 4 ) 2 1 ；3a 2（2） 8 3a 2 . 提示： S dS 2dxdy ，其中SDD (x, y) (x 2 xy y 2 ) 2a(x y) 2a 2 。再令x u v ，则(x, y) 2 ， y u v(u, v)S 2dxdy 4dudv ，其中 D (u, v) (u 2a)2 3v 2 6a 2 。DD（3） (2 2 )a 2 ；（4） 2a 2 ，提示： S a dzdx ， D (z, x) x z x, 0 x a。Da 2 x 2（5） 20 3a 2 ；（6） 4 2 ab 。94（1） a3 ；（2） 1 (1 2 ) ；

3、（3） 642a 4 ；（4） 2 arctan H ；215a113. 提示：由对称性， x2dS y 2dS z 2dS 1 (x 2 y 2 z 2 )dS ；） a4（593 （6） 1564 17 4 .提示：由对称性， x3dS 0 ， y 2dS 1 (x 2 y 2 )dS ，152 zdS 1 (x 2 y 2 )dS ；2（7） 2 (a 1 a 2 ln(a 1 a 2 ) 。5 R 4 a ,S 32 a 2 . 提示：设 的球心在(0,0, a) ，则球面 在球面max327R 22222222x y z a 内部的曲面为：z a R (x y ) ，x y R (1

4、 ) ，4a 2222容易求得面积为S 2R 2 (1 R ) 。2a6质量为12 3 2 ，重心为(0,0, 596 45 3 ) 。15749b a0 7设质点离球心的距离为b ，则 F。4Ga b22b a提示：设 (x, y, z) x 2 y 2 z 2 a 2 ，质点位于(0,0, b) 点，则球面对质点的x a sin cos引力为 F G(b z)dS 。令 y a sin sin ，则3z a cos x 2 y 2 (z b)2 2 G(b a cos)a 2 sin 2F 0 d 0d ，再作变量代换t a b 2ab cos 。2223(a 2 b2 2ab cos)

5、2x x0 RR 22u2u2u. 提示：令 y y R ，则8（2）()0 x 2 y 2 z 26z zR( x0 , y0 ,z0 )0T (R) 1 u(x R , y R, z R )dS ，其中* ( , ) 2 2 2 1.4 000*利用对称性，有dS dS dS 0 ； dS dS dS 0 和*2 2dS 2dS 2 dS 1 ( 2 2 2 )dS ；由此得到T (0) 0 和3 *1 2u2u2uT (0) ( 3)。 x 2 y 2 z 2( x0 , y0 ,z0 )9 3 . 提示：过 p(x, y, z) 点的切平面为 xX yY 2zZ 2 ，原点到切平面的距

6、离为2x 2 sin cos(x, y, z) 2 。令 y 2 sin sin ，则x 2 y 2 4z 2z cosx 2 y 2 4z 2 2 sin 2 4 cos2 ，EG F 2 sin 2 sin 2 4 cos2 ，由此得到 zdS 3 。 (x, y, z)210. 提示：将 xyz 坐标系保持原点不动旋转成 x y z 坐标系，使 z 轴上的单位1(a, b, c) ，则球面 不变，面积元dS 也不变。设球面 上一向量为a 2 b2 c 2点(x, y, z) 的新坐标为(x, y, z) ，则ax by cz a 2 b2 c 2 z ，于是f (ax by cz)dS

7、f ( a 2 b2 c2 z)dS 。计算这一曲面积分，令 x sin cos ， y sin sin ， z cos 。11需要 100 小时. 提示：设在时刻t 雪堆的体积为V (t) ，雪堆的侧面积为S (t) ，则V (t) 1 h3 (t) ， S (t) 13 h 2 (t) 。由 dV S (t) ，得到 dh 13 ，再由9412dt10dt10h(0) 130 ，得到h(100) 0 。第 2 节1.（1） 2 ；（2） 14 ；（3） 2 ；15（4）当a e2 时， I 1 (7 e4 ) ；当a e2 时， I 1 (1 e4 ) ，其他情况下，22 1 ae 21

8、ae 2 I 2 ln a 2 ln a ；ln a 23（5）13 ；（6） 2 a 2 . 提示：以 z a x 代入积分，得到 ydx zdy xdz ( y x)dx (a x)dy ，其中 Lxy 为 L 在 xy 平面上的投影曲线LLxy（椭圆） 2x 2 y 2 a 2 ，取逆时针方向。（7） 2 (cos sin ) . 提示：以 y x tan 代入积分，得到 ( y z)dx (z x)dy (x y)dz (1 tan ) xdz zdx ，其中 Lzx 为 L 在 zx 平面上LLzx的投影曲线（椭圆） z 2 x2 sec2 1，取顺时针方向。 82. 提示： I。R

9、R 283 。154.（1） 24h3 ；（ 2 ） abc 2 .提示：设曲面 的单位法向量为 (cos , cos , cos ) ，由 4cos cosc 2 ydzdx cos dS 与 dxdy cos dS ，得到 dzdx dxdy dxdy ，于是 b2 zx 2y 2c 2c 22y dxdy ，其中 D (x, y)a 22 1。b2yzdzdx y dxdy D22bbx cos（3） 0 . 提示：取 的参数表示 y sin ， 0 2 , 0 z 4 。z z（4） 68 . 提示：设曲面 的单位法向量为(cos , cos , cos ) ，由3dydz cos d

10、S 与dxdy cos dS ，得到dydz cos dxdy 2xdxdy ，于是cos zxdydz 2x 2 zdxdy 2x 2 (4 x 2 y 2 )dxdy ，其中 D (x, y) x 2 y 2 1。D（5） 1 ；（6） 1 h 2 (h2 10) . 提示：由对称性， x 2dydz 0 ， y 2dzdx 0 。22（7） 2 e2 (2 1) ；4（8） 4 (a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 ) ；abc（9） 8 (a b c)R3 。3第 3 节6）(2 )a 2b a3 ；1.（1） 140 ；（2）0 ；（3）0 ；（4） 1 (e 1) ；（58）

11、 3 ；（3522（7） . 提示：设积分 I P(x, y)dx Q(x, y)dy ，先证明 Q(x, y) P(x, y) 0 ，xyL再将积分路径换成椭圆4x 2 y 2 1，即 x 1 cos t, y sin t, t : 0 2 。2（8） . 提示：设积分 I P(x, y)dx Q(x, y)dy ，先证明 Q(x, y) P(x, y) 0 ，xyL再将积分路径换成椭圆 x 2 4 y 2 1，即 x cos t, y 1 sin t, t : 0 2 。2（9）2 . 提示：设积分 I P(x, y)dx Q(x, y)dy ，先证明 Q(x, y) P(x, y) 0

12、，xyL再将积分路径换成圆 Lr ： x 2 y 2 r 2 ，即 x r cos t, y r sin t, t : 0 2 ；于是2 。得到 I ecos(r sin t)dt ，令r 0 ，即得到 I 2r cos t02（1） 3 a 2 ；（2） 1 a 2 ；（3） 3a 2 。862 (t) (t)dt ；（3） 9 。3（1） 0 ；（2） 14 x 2 sin y y 2 sin x 。5 1 ln(x 2 y 2 ) 。26 Q(x, y) x 2 2 y 1。2xy(x 4 y 2 ) x 2 (x 4 y 2 ) 7 1. 提示：利用。yx9.（1） 3a 4 ；（2）

13、1；（3） 1 h 4 ；（4） 2R3 ；（5） 2a 2 (e2a 1) ；（6） ；22（7） 3 a3 . 提示：原式 xdydz 1 (a z)2 dxdy ；2a5xr 2 3x 23 r （8）(i) 4 . 提示：设r x 2 y 2 z 2 ，则，xr 5yzr 2 3y 2r 2 3z 233 r r 。设 (x, y, z) x 2 y 2 z 2 2 ，方向，yzr 5r 5x sin cos为外侧，取其参数表示为 y sin sin ， ( , ) D 0 ,0 2 ，z cos则 xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy sin dd

14、；Dr 3r 3(ii) 2 .(x 2)2( y 1)2 1, z 0 (x, y, z) x y , z 0，222提示：设 ( x, y, z)169方向为下侧， (x, y, z) x 2 y 2 z 2 2 , z 0 ，方向为下侧。取 的参数表x sin cos示为 y sin sin ， (, ) D 0 ,0 2 ，则由2z cos xdydz ydzdx zdxdy 0 ，得到 xdydz ydzdx zdxdyr 3r 3 xdydz ydzdx zdxdy sin dd 。Dr 311（1） 0 ；（2） 0 。12（1）3a 2 ；（2）2 ；（3） 2a(a h) ；

15、（4） 9 ；（5） 1 h3 ；（6） 96 。23y1113提示： xf ( y)dy Ldx ( f ( y) D)dxdy ( f (x) D)dxdy 。f (x)f (x)f (x)u xyF (xy)dy f (xy)dxdy ，再作变量代换DD14提示：。 yv yx15提示：设n (cos , cos , cos ) ，l (a, b, c) ，则cos(n, l ) n ll6a cos b cos c cosa 2 b2 c 2 cosdS dxdy 0 。注意 cosdS dydz 0 ， cos dS dzdx 0 ，16提示：设n (cos , cos , cos

16、) ， r (x, y, z) ，则cos(r, n) r n rx cos y cos z cosx 2 y 2 z 2。dxdycos ydzcosz18提示： 1 cos cosdydz cos dzdx cos dxdy 2 L x(cos2 cos2 cos2 )dS S 。第 4 节1.（1） 0 ；（2） (sin y cos x)dx dy ；（3） (x 6)dx dy dz 。0 。0 。4 ( a3 ( y)dy)dx ( a1 (z)dz)dy ( a2 (x)dx)dz 。第 5 节 32 (x 2 y 2 z 2 )(xi yj zk ) ，1.（1） gradf

17、3div( fa ) (x 2 y 2 z 2 )(3x 20 y 15z) ；2（2） gradf 2xi 2 yj 2zk ，div( fa ) 6x 40 y 30z) ；（3） gradf 2(x 2 y 2 z 2 ) 1 (xi yj zk ) ，div( fa ) (x 2 y 2 z 2 ) 1 (6x 40 y 30z) 。2 3 。83（1） f (r) cr 3 ；（2） f (r) c1r 1 c2 。74 3c。2c r5（1） 0 ；（2） 2 。6 rot r (M ) i 3j 4k ) ，在M 点沿方向 的环量面密度为 1 。38 rotE 0 ， (x, y

18、, z) 0 。10U (x, y) 1 (x3 y 3 z 3 ) 2xyz C 。311V (x, y) U (x, y) 1 ln(x 2 y 2 ) arctan y C 。212V (x, y) U (x, y) xyz(x y z) C 。x14提示：由 u u cos(n , x) u cos(n , y) u cos(, y) u cos(, x) ，得到nxyxy uds u dy u dx 。C nC x15提示： (F p ) ypF p4(uvx vux )2 (uvy vuy )2 p( p 1)F p4(uux vvx )2 (uuy vvy )2 。16提示： g Fdxdydz (gF)dxdydz g FdxdydzBBB gF dS g Fdxdydz 。BBuuuu 2u 2u2217提示： 0 u x dx u y dy ( x ) ( y ) u( x 2 ) 。2yD D18（1）提示： udS u cos(n , x) u cos(n , y) u cos(n , z)dSnxyz u dydz u dzdx u dxdy 。xyzu 1 cos(r, n)1 u （2）提示：cos(r,n) r n ， (grad u) n ，于是 udS r