高中数学竞赛历届IMO竞赛试题(146届完整中文版)

1、x(1V(1+2x)22x+第1届求证(21+)(1对每个自然数都是最简分数。设V(x+V(2x1)+V(xV(2x1)=A试在以下种情况下分别求出x的实数解:(a)A=V2；()A=1()A=2a、都是实数，已知的二次方程x(1V(1+2x)22x+x(1V(1+2x)22x+试用a作出一个关于a=2时比较的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当和X的方程式。试作一直角三角形使其斜边为已知的，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。在线段A上任意选取一点，在A的同一侧分别以A、为底作正方形A、E这两个正方形的外接圆的圆心分别是、，设这两个外接圆又交于、，(a)求证A、相交于点；(求证不论点如何选

2、取直线都通过一定点；(当在A与之间变动时，求线断的中点的轨迹。两个平面、交于一线，A为上给定一点，为上给定一点，并且这两点都不在直线上。试作一等腰梯形AD平行于D使得它有一个内切圆，并且顶点B分别落在平面和上。第2届1找出所有具有下列性质的三位数：能被11整除且等于的各位数字的平方和。2寻找使下式成立的实数x：直角三角形的斜边的长为，将它分成等份(为奇数)，令为从点向中间的那一小段线段所张的锐角，从到边的高长为，求证：已知从、引出的高线长度以及从引出的中线长，求作三角形。正方体(上底面，下底面C是对角线上任意一点，是上任意一点。求中点的轨迹；求(中轨迹上的、并且还满足2的点的轨迹。6.一个圆锥

3、内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令为圆锥的体积，为圆柱的体积。12()求证：不等于；12()求的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。12等腰梯形，平行于，。令，梯形的高为，点在对称轴上并使得角、都是直角。试作出所有这样的点并计算到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的点确实存在。第届设、是常数，解方程组x+y+z=，;2+yx2+z2=2b;xy2=并求出若使x、y是互不相同的正数，、应满足什么条件？设、是某三角形的边，是其面积，求证：a+2+2=4V3A.并求出等号何时成立。解方程xx=1其中是一个自然数。是三角形A内部一点，胶于，交A于，交A于，求证A

4、/中至少有一个不大于2,也至少有一个不小于2。.作三角形A使得A=Ab锐角A其中是线断、的中点。求证这个三角形存在的充要条件是/2(=又问上式何时等号成立。三个不共线的点A、平面不平行于A，并且A、在的同一侧。在上任意取三个点A,A设分别是边AA的中点，是三角形A的重心。问，当A变化时，的轨迹是什么？第4届找出具有下列各性质的最小正整数：它的最后一位数字是6如果把最后的去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。试找出满足下列不等式的所有实数x：V(3x)J(x+1)1/2.正方体AA(A、A分别是上下底)。一点x沿着正方形A的边界以方向A作匀速运动；一点以同样的速度沿着正方形的边界以方向运动。

5、点、在同一时刻分别从点A、开始运动。求线断的中点的轨迹。4.解方程2xs+22sx+23sx=1。在圆上有三个不同的点A、C试在上再作出一点使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为，求证这两个圆的圆心的距离是V（R（R2）求证：正四面体有个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。第5届找出下列方程的所有实数根（其中I是实参数）:V(x2-p)+2V(x2-1)=x上有一点满足角2给定一点及线断，设空间中一点使得存在线段是直角，试求出所有这样的点的轨迹。在一个边形中，所有内角都相等，边长依

6、次是12求证：所有边长都相等。设是一个参数，试找出方程组x+xx（的所有解xii+2i+11x。求证2pi/7+cos3p五个同学A、参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，、两位同学名次不是（1,2、）（2,3、）（3,、4）（4,5中）的任何一种）。还有一种猜测说结果会是的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？第6届1.（、）求所有正整数n使得2n-1能被7整除；（、）求证不存在正整数n使得2n+1能被7整除。2

7、.假设a、C是某三角形的三边长,求证：、2(、+c-、)2+(c、+、-、)2+(ac+、-c).三角形的三边长为别为、C。分别平行于的各边作三角形内切圆的切线，每条切线都在中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用表示）。十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。四面体的中心是，分别过A、作的平行线，这些线分

8、别交平面、A于点、，求证：的体积是的三分之一；再问如果为三角形内的任意一点，结果是否仍然成立？第届试找出所有位于区间2的x使其满足2cosxW|V（1+sin2x）V（1sin2x）|WV2.如下方程组的系数、ij，ij满足：、是正数，其余是负数;每个方程中的系数之和是正的。求证：该方程组的有唯一的解。四面体被平行于、边的一个平面分割成两部分，并且该平面到边的距离是该平面到边距离的倍。试求出这两部分的体积比。4.四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于、，求出这四个数的所有可能值。三角形中的角是锐角，是边上任意一点，从向、边引垂线，垂足分别为、。设三角形的垂心为，求出当在边上移动时

9、点的轨迹；若在三角形内部移动是的轨迹又是什么？平面上给定了个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有条。第8届在一次数学竞赛中共有A、三道题，名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对的学生中，答对的人数是答对的人数的两倍，只答对问题的人数比既答对又至少答对其他一题的人数多。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对、请问有多少学生只答对？三角形、如果，+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta则该三角形为等腰三角形。求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之

10、和。.对任何自然数以及满足s不为的实数，求证:+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta1/s+1/sin4，+.+n1，/si=nco2t，-nc，ot.a（1）是互不相同的实数，解方程组（1）3+|aa|，+33a-a|1。+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta.在三角形A的边、AA上分别任选三内点、，求证三角形Al之中至少有一个的面积小于活等于三角形A的四分之一。第9届平行四边形A,边长AaA角A已

11、知三角形A是一个锐角三角形，求证以A为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是3.cosA+V3sA.若四面体有且仅有一边大于1，求证其体积1/8.是自然数且+是1一个大于+1的素数，令css+1求证s可被乘积c1cc整除。cm+1c)c+2c)c-c)+nk4.任意两个锐角三角形A角形A的所有三角形AAB11A相似且外接于三1111。考虑所有与三角形1边包含A,A边包含，A边包含）,试构造出满足此条件的面积最大的三角形a,.,.a是不全为0的实数，令c=an+an+.+.an(n=1,2,3,.).，18n128如果数列中有无穷多项等于，试求出所有使二的自然数。在一次运动会中，连

12、续天内()1一共颁发了块奖牌。在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下个中的1/7在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的1/7依此类推。在最后一天即第天，剩下的块奖牌全部颁发完毕。问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌？第1届求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。试找出所有的正整数，其各位数的乘积等于21。223.a,b,是不全为的实数。xx12是满足下述方程组的未知数:ax2+bx+c=x,对于i=1,2,.ii+1.；,，-1ax2+bx+c=x，1；若设M=(-21-)4ac，求证：a若，则方程组无解；若=，则方程组恰有一解；若，则方程组不止有一个解。求证任何四

13、面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。令f是定义在所有实数并取值实数的函数，并且对于某个a及任何x有f(x+a)=1/2+Vf(x)f(x)求证f是周期函数，并且当a=1时请给出一个非常值函数的例子。对任何自然数，试计算下式的值其中表示不超过的最大整数。第11届对任意正整数，求证有无穷多个正整数使得不是质数。令其中是实数常量，是实数变量。现已知0求证是n的整数倍。对每一个，试找出应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中个边长均为，其余个边的长度均为以为直径的半圆弧,是三角形的内切圆,相切。求证：圆、是其上不同于、的一点，是向圆与、以及半圆都相切，圆除外还有一条公切线。

14、作垂线的垂足。与、及半圆平面上已给定了个点，无三点共线。求证至少有个凸四边形,其顶点都是已给点集中的点。6.给定实数证：满足，求W并给出等号成立的充分必要条件。第1,届xx12121是三角形的边上的任何一点，、分别是三角形、的12内切圆的半径，是外旁切圆的半径（即与边相切，与、的延长线上相切的圆），类似的，、分别是12外旁切圆的圆心。求证：12=12。2已知0Wx，bxxx表示了1n-2010在a实数a,a,a,.满.足.1=a=a=a=.，.并定义012012=工(1a/a),/Va其中求和是从1到。a求证0W2；设c满足OWc不2成立。a).(-aa)31n(-aa).求证nn-1(a-a

15、)(a-a)2123=0对于=或2成立，(-aa)而对于其他2.凸多边形P1的顶点是A111多边形，求证，若将顶点平移至时则291i之中至少有两个具有一共同内点。1平移成了1求证能够找到一个由形式（是正整数）的整数构成的集合并满足任何两个元素互质。四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点，现在BC上取内点yCD上取内点，AD上内点。求证：如果ZDAB+ZBCDHZCDA+ZABC,则没有一条闭路径具有最小值；如果ZDAB+ZBCD=ZCDA+ZABC，则有无穷多最短路径，它们的长度是AC,其中k=ZBAC+ZCAD+ZDAB。对任何自然数存在中的恰好，求证存在平面上一有限点集

16、，满足：对个点与A的距离为单位长。中的每一个点A，设A=其中=,是一个方阵，元素都是非负整数。若、使得=0则第行和第列的元素之和大于或等于阵求证：该方阵中所有元素之和大于或等于。第14届有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。设阵，4求证每一个圆内接四边形都可以分割成阵个圆内接四边形。是任意非负整数，求证下式是一整数。+试找出下述方程组的所有正实数解：都是定义在实数上并取值实数的函数，并且满足方程又已知不恒等于且|求证对所有同样有|给定四个不相同的平行平面，求证存在一个正四面体，它的四个定点分别在这四个平面上。第届都是位于是平面上的单位向量，其

17、中点通过点的一条直线的同一侧，求证问能否在空间中找到一个不共面的有限点集使得，对中的任何两点A,都可以再在中寻找到两点、，而直线、是不相同的并且是互相平行的。考虑所有这样的实数、使得方程至少有一个实根。试找出的最小值。4.一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？是具有下述形式且非常值的函数的集合：,其中都是实数。并且已知具有这些性质：如果都属于，则如果属于，则也属于；也属于；使得f；）x=成立。求证：存在实数使得对）所=有中的函数都成立。对任何属于，存在一个实数是正实数

18、，实数满足，试求出格实数使得：第16届1.三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。假设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？三角形，求证在边上存在一点使得是、的几何平均值的充要条件是试证明对任意非负整数，下式都不能被整除：工k上式中的求和是从到，符号表示二项式系数

19、。沿着一个象棋盘（黑白相间）中的线将其分割成个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样，并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多。求出所有可能值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可能的分法（即求出那oo0些长方形的大小）。是任意实数，判定下式的所有可能值:设则有是一个指数的整系数多项式，是）或=的不同整根的个数，oo0oo0第17届已知以及都是实数，求证若oo0是的任意排列则有上式中左右两边的求和都是从到。令以写成.是设一递增正整数序列，求证对所有的形式，其中，是正实数且存在无穷多个可任意三角形度，角、角的边上，向外作三角形，使角都是度，角、角都是度。求证角B角都是是直角并且令

20、是将的各位数字之和。写成十进制数字时的各位数字之和，令时的各位数字之和，求oo0oo0判定并证明能否在单位圆上找到存97个5点使得任意两点间的距离为有理数。找出所有两个变量的多项式使其满足：对某一正整数及所有实数、有成立；对所有实数、有第18届1.平面上一凸四边形的面积是32，两对边与一对角线之和为16，求另外一个对角线的所有可能的长度。令，求证对任何一个正整数，方程式的所有根都是互不相同的实数。一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40，求所有这种箱子的可能尺寸（长、宽、高）。试将197分6解成一些正整数之和，

21、求这些正整数乘积的最大值，并加以证明。是一个正整数，、或）。1还有个未知数满足下面个方程:其中。求证这个方程有一组不全为的整数解（）使得的一个序列定义为：求证其中表示不大于的最大整数。0第19届在正方形中作等边三角形、，证明线段、的四个中点以及线段、的八个中点构成一个正十二边形的定点。在一个有限项的实数序列中，任意的相连七项之和为负，任意的相连一项之和为正。求出这种序列最多有几项。是一给定整数，是所有形式的整数构成的集合，其中是正整数，对于中的一个数，如果不存在中的两个数、使得，则称是不可分解的。求证：中存在一数，它可有多于一种的方式表示为中不可分解数的乘积。（乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视

22、为是同一种分解。）定义，其中都是实数常量。如果对所有实数都成立，求证是正整数，设除以得到商为，余数是。试求出所有的正整数对（）使得=是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数，求证如果对所有正整数，都成立，则对=每个，都成立。00第20界的8十进制表示法的末三位数字相同，1.、，都是正整数且，。，如果19，7和8试求满足此条件并使，+达，到最小的，与，。是某已知球内部一点，、是球面上三点，且有、相互垂直，由B决定的平行六面体与点对角相向的顶点为，试求出点的轨迹。3.为为两不交集合1和1的并集是全部的正整数，其中(1)为为1且有对所有11成立。试计算。等腰三角形圆，该小圆又分别与=在三角形的外接

23、圆的内部有一与其相切的一个小相切于、两点。求证：线段的中点恰为三角形内切圆的圆心。令为互不相同的正整数数列，求证对于所有的正整数，有k工/k工1/k；k上式中两边的求和都是k从1到，6.某国际组织共有来自六个国家的共197名8会员，会员编号分别是1,2,.。,1求证至少有某一会员的编号，恰为与他同国家的另外两位会员编号的和，或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍。第21界是满足下述条件的正整数1/131m/，=1-1/2+1/3-1/4+.-1/131求证：可被1整除。一个棱柱的上底和下底分别是正五边形。这两个正五边形的每12345、12345条边以及每个边都被染上红色或蓝色。又已知每个边都被

24、着色的三角形(其顶点即这个棱柱的顶点)必有两边着不同色，求证：上、下底的十条边都被染上了同一种颜色。平面上的两个圆相交，是其中一个交点。现有两质点同时从出发各自以恒定的速度，同以顺时针方向或同以逆时针方向绕各自的圆移动，在绕过一周之后这两点又同时回到了点。求证：在这个平面上一定存在某个固定的点使得在任意时刻点都与这两动点的距离相等。为为给定一平面k,在这个平面上有一点，平面外有一点，试找出平面k上的所有的0试求出所有的实数，使得存在非负实数12满足下列关系式：点使得为最大值。002223x225x2令、是一个正八边形的两相对顶点，一只青蛙从点开始跳动，除了点外，从八边形中的其他每一个顶点都可以

25、跳至与它相邻两顶点中的任何一个。当它跳到点时就停止运动。设为恰好经过步跳动以后到达点的所有可能线路的个数，求证:2n-1V2)/V22V2)/丁2。2n第22界是三角形内部一点，、分别是从点向边、所引垂线的垂足。试找出/式达到最小值的所有点。2取满足，并考虑集合2的所有元子集，每个子集都有一个最小元素。设是所有这些最小元素的算术平均值。求证:0)/(。设、是属于222的最大值。的整数并且满足22)2i试计算00设，2问为何值时，存在一个由个连续的正整数构成的集合使得其中的最大元是其它个元素最小公倍数的因子？为何值时，恰好值存在一个满足条件的集合？三个都通过点的等半径的圆位于一个给定三角形的内部

26、，并且每个圆都相切于这个三角形的两条边。求证：这个三角形的内心、外心、点三点共线。函数，对于任何非负整数都满足。试计算的值。第23届是定义在正整数上且取值为非负整数的函数，并对所有有或。试求出。是不等腰三角形，其三边为，其中是角的对边，设是边的中点，是三角形的内切圆在边上的切点，记为点关于内角的角平分线的对称点，求证线和共点。考虑无限正实数序列满足及，求证对每个这样的序列都有存在一个使得试寻找一个这样的序列使其满足对所有成立。使正整数，求证如果方程有关于整数的一个解，则其至少有三个解；当8时9再的证明这个方程无整数解。正六边形的对角线、上分别有分点、并且如果、共线，试求的值。设是边长为的正方形

27、，是在内部不自交的系列线段并且与不重合。已知对于每一个在边界上的点，中存在一个点与之间的距离不大于/求证：中存在两点X,与的距离不大于，并且上位于和之间的部分不少于。求证其中-是非负=实数7并/满2足7求证其中-是非负=实数7并/满2足70第24届试找出所有定义在正实数并取值正实数的函数，使其满足对所有成立，并且当趋向于无穷大时趋向于圆、的圆心分别是、它们相交于两个不同的点，设是其中一个交点。这两个圆的一条公切线切、分别于点，另外一条公切线分别切、于点、，再设、分别是和的中点，求证：角角。是正整数，并且它们中的任何两个都没有大于的公约数。求证是不能表示成形式的最大整数，其中是非负整数。等边三角

28、形，设集合是该三角形的所有边界点（即边），任意将分拆成两个不相交的子集合（它们的并集是），试证明这两个集合中的至少一个包含有三点构成一直角三角形。5.问是否可能存在小于或等于150的198个3不同的正整数，任何三个都不构成一等茶数列。设是一个三角形的三边长，求证并判断何时等号成立。第25届22试找出所有的正整数对（，）满足（不能被整除，但（+）可被77整除。给定平面上的点0、A。平面上的每个点都被染色成有限种颜色中的一个。设X是平面上一给定点，以0为圆心的圆（X的半径是OX+（ZA0X）/0X,其中角ZA0X是用弧度衡量（即范围是0,2“），求证能够找到不在0A上的一点X使得它的颜色出现在圆（

29、X的圆周上。凸四边形A的边与以A为直径的圆相切，求证：A与以为直径的圆相且当且仅当和A是平行的。设是平面上一凸边形（）的所有对角线的长度之和，是它的周长。求证:n-32d/pn/2（n+1）/2-2，其中表示不超过的最大整数。0是四个奇数且若+及+对某、成立，则圆内接四边形Ac现有一圆其圆心在边A上并于其他三边相切，求证A+A2设时互素的两个正整数。将集合，2,中的每个数都染成蓝色或白色，保证和的颜色相同，对于不等于的其颜色又与的颜色相同。求证：中所有数的颜色都相同。（）+是整系数多项式，设其中系数为奇数的个数为（。）01、对于0,2,，记（）（+。求证如果，都是整数i12时并满足0，则有集合

30、由个不同的正整数组成，且每个数都有一个大于的素因子，求证中存在个元素的积是某个整数的次方。圆心为的一个圆经过三角形的顶点和，并与分别交于不同的两点KN三角形的外接圆和三角形的外接圆相交于两个不同的点、，求证角是直角。对于任何一个实数，可通过递推式构造序列，求证存在唯一的一个满足对所有的都有成立。第27届是不为的正整数，试证明可以在集合中找出不同的两数2满足不是一个完全平方数。在三角形所在的平面上有一给定点，当时定义，现使用以下的方法构造一系列点是绕顺时针旋转度得到的点2）。如果，求证是等边三角形。，给正五边形的每个顶点赋值一个整数，使这5个整数之和是正的。对于任何三个连续的顶点设它们所赋予的数

31、分别是，如果则执行下述操作：将分别替换为，+y,-yz,+y。重复执行这样的操作直到这5个顶点数中至少有一个是负值。试问能否经过有限步之后操作结束。是正边形的中心，设是一对相邻的顶点。设开始的时候三角形与三角形重合，现用如下的方式移动三角形：保持、始终在多边形的边界上、在多边形的内部。试求出当、都走遍多边形的边界时点所形成的轨迹。试找出所有定义在非负实数并取值也是非负实数的函数，使其满足（）=当0=时（不等于0；对所有都有（）（）=。（）6.给定平面上的一个有限点集，每个点的坐标都是整数，问有没有一种将这些点涂成红色或白色的染色方法使得在任何一条平行于坐标轴（两个坐标轴中的任何一个）的直线上的

32、红点和白点的个数之差不大于1？第28届1设（k）是集合13上具有k个固定点的排列的个数，求证kn从0到n对（k（k）的求和是n。n一个集合的一个排列是从到它自身的一一映射。元素称为是固定点如果（）=锐交三角形的内角的角平分线交于做垂线，垂足分别是、，求证四边形,交的外接圆于，从点向的面积与三角形的面积相等。=L,求证对每个正整数k，使得对每个有=k及13是实数并且满足12n1存在不全为0的整数111=(k1)Vn/(kn1)nnni求证不存在从非负整数到非负整数的函数满足对所有n有（n）Ji1成立。n是大于或等于3的整数，求证存在一个由平面上n个点构成的集合满足任何两点的距离都是无理数并且任何

33、三点构成一个面积为有理数的非退化的三角形。n是大于或等于的整数，如果对所有0二k二Vn/3都有kk是素数，则当0二k二n时，kk都是素数。第29届考虑平面上同一圆心的两个半径分别为的圆。点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，B交大圆于C,过点作B的垂线交小圆于A点（如果相切则A），试确定ABBCCA的所有可能值;试确定BC中点的轨迹。是正整数，A,A,A都是集合B的子集，假设每个A都恰有个元素；任何两个不同的A恰有一个公共元素；B中的每个元素至少属于两个AiA试问对于什么样的值有办法将B中的元素都标上或使得每个都恰好包含个标的函数定义在正整数集上：且对每个正整数有,。试确定小于或等于并满足

34、的正整数的个数。4.试证明满足的所有实数x的集合是一些互不相交的区间的并集，并且这些区间的长度之和是198。8三角形ABC,角ZA是直角，D是BC边上的高的垂足。三角形ABD、三角形AACD的内心的连线分别交边AB,AC于，。求证：三角形ABC的面积是三角形A的面积的至少两倍。,都是正整数，且整除求证是完全平方数。第界试题试证明集合，可以分拆成个子集合A,A,A（即这些子集合互不相交且并集为整个集合），满足每个A包含个元素，并且每个A中元素之和都相等。2锐角ABC,内角ZA的角平分线交ABC的外界圆于A1类似定义B,C点。设11AA1与ZB,ZC的外交平分线交于A点，类似定义B,C点。求证：A

35、ABC的面积是六边形ACBACB的两倍也是厶ABC面积的至少倍。,111设n,k是正整数，是由平面上n个点构成的集合并且无三线共点，对任何中的点至少存在中的k个点与等距离。求证：kl/2+J2n。凸四边形ABCD的边AB,AD,BC满足AB=AD+BC,四边形内部有一与直线CD距离为h的点，并且A=h+ADB=h+BC求证：1/Jh=1/JAD+1/JBC。试证明对每个正整数n,存在n个连续的正整数使得其中无素数或素数的幕。设，是1,2,的一个排列，其中n是一个正整数。如果=n12mii+1对至少1,2,，中的一个成立就说这个排列，具有性质，试证12m明对于任意的n,具有性质的排列都比不具有的

36、多。第界M试题1弦AB,CD相交于圆内一点E,M是线段EB上的一点，过E点与ADEM外接圆的切线分别交BC,AC于，。设=AM/AB试用表示E/Eg2设n=,考虑一个圆上由2n1个不同点构成的集合E。现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”。试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。试找出所有大于1的正整数n满足曲1/n也是整数。试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数使对任何，都成立。给定一个初始整数，两个玩家A,B根据下述规则交替的选择整数，：设B已选择，则A选择满足2

37、设A已选择，则B选择满足对某个及成立。若A选到了数就获胜；若B选到了就获胜。分别求除满足下述条件之一的：有必胜策略；有必胜策略；都没有必胜策略。6：求证存在一个凸，99边0形使得所有角都相等并且边长是，2,22,：,，2（9顺9序0不定）。第界I试题设1是厶ABC的内心，ZA,ZB,ZC的交平分线分别交对边于A,B,C点，求证AIBICIAABBCC设是6一个整数，,，都是小于的正整数并且与互素。如果求证，是质数或者是的幂次方。试找出最小的整数使得每一个的兀子集都包含个两两互素的数。设是一个有条边的连通图，试证明可是对这些边编号，使得对于每个属于两条或两条以上的边的顶点，从这个顶点出发的所有边

38、的标号的最大公约数是，注：一个图是由一组顶点和一些连接这些顶点的线段（称为边）组成。每对顶点之间最多有条边。如果对图中的任何两个不同的顶点X,y都有一些顶点X,使得，之间都有一条边，则称这个图是连通的。是厶ABC内部中的一个点，试证明ZXAB,ZXBC,ZXCA中至少有一个不大于，任意给定一个实数，试构造一个有界的无限序列X,X,X,使得对任何xHy都有|xx|I|=注：一个无限实数序列x,x,x,成立。是有界的如果存在一个常数C使得|x|（对任何第届试题试找出所有的整数，满足并且是的因子。找出所有定义在实数上并且取值也是实数的函数使得对所有x,y都有xyy。x3是空间中有9个点，无4点共面，

39、每两点之间连接一个被染上红色或蓝色或者不染色的线段，试找出最小的使得，只要恰好有条线段被染色，这些染色的线段一定包含一个同色三角形（即三角形的三边被染上相同的颜色）。是圆r的一条切线，是上的一点，试找出所有这样的点P的轨迹：存在上的关于对称的两点Q,R,APQR的内切圆是r。设S是三维空间中的一个有限点集，集合S,S,S分别是S在平面y,x,xt的投xyz影，求证：|s|ISIs|s|。xyz其中A表示集合A的元素个数。注：一个点到一个平面上正交投影指的是该点到平面作垂线的垂足。对正整数n,(n是满足如下条件最大的整数：对每个正整数=,(n)都可写成个完全平方数的和。求证对每个n二有(n)-；

40、试找出一个整数n使得(n)=n；试证明有无穷多个整数n使得(n)=n第届试题设()苻n+，其中n是一个整数。求证(不能表示成两个非常数的整系数得多项式的乘积。设D是锐角三角形ABC内部一点且ZADB二ZACB+90,ACBD=ADBC,计算(ABCD)/(ACBD)求证ACD,ABCD的外界圆在C处的切线互相垂直。在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏。开始时棋盘中的一个nXn的框上整齐的摆放着n个棋子(每个小方格上放着一个棋子)，游戏的每一步都是在水平或者竖直方向上跨越一个棋子而跳到一个空格子上去,并同时取走所跨越过的棋子。试找出所有的n值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束。对平面上的三个点

41、，定义(为公的最短高的长度(如果，共线当然有()。)=0求证对任何点A,B,C,有僦准(AB)+(AC)+m(BC)问是否存在一个从正整数到正整数的函数使得()=,(n)=(n对所有n,并且(n(n+？)有n盏灯，绕成一圈，为方便也表示。一盏灯只有开或关两个01n-1n+kk状态，初始时刻它们全是开着的，依次执行步骤。r:在步骤，如果点燃,就关掉，否则什么都不做。试证明：11存在一个正整数（n使得在第（n步之后所有的灯都开着；若n2，则可使（n）2-1若n21，则可使（n）2nn+1第届试题1m和n都是正整数，可能相同）那么就有某个k使是1,2,m+ajk中，不同的数，只要有+w求证（+）Va

42、（n+1）/201m2AB是等腰三角形，ABA，是B的中点，0是线A上的点且0B丄AB,Q为线段B上不同于B,的任意一点，E,F分别在AB,A上使得E,Q,F不同并共线。求证：0Q丄EF当且仅当QEQF对任何正整数k,定义（k为集合k+l,k+2,中的用二进制表示后恰有个1的元素的个数，求证对于每个正整数m，存在至少一个k使（k）；并求出使得恰有一个k的所有m值。试求出所有的正整数对（m,n）使得（n+1）/（mn1是整数。是所有大于1的实数集，试找出所有的从到的函数满足对所有,（+（）+（），并且对于+1（和），（）使严格递增的。试证明存在满足下列性质的正整数集合A：对任何由素数构成的无限集

43、，都有k22以及两个正整数m,n，mEA,n不UA,m和n都是中k个不同元素的乘积。第届试题o当二时，问此目标能否达成?o当二时，问此目标能否达成?21ABC是一条直线上顺序排列的四个不同点，分别以ACB为直径的两个圆相交于，直线交BC于，设为直线上异于的一点，直线C与以AC为直径的圆相交于C；直线B与以BD为直径的圆相交于B。求证：AD三线共点。2为正实数且，二试证：111三2a，(b+c)b，(，+a)，(a+b)试确定所有整数n,使得在平面上存在n个点AA（无三点共线）及n12n个实数满足AAA的面积是+,其中是对每个三元组1WijkWr。12nijkijk有1+2=2i-1i-1i正实

44、数序列满足条件x且对于i=i201199501995+1i试求出所有满足上述条件的数列中的最大值。0设ABCDEF是凸六边形，满足AB=BC=CDDE=EF=FAZBCD=ZEFA=60O设G是这六边形内部两点使得ZAGB=ZDHE=120求证AG+GB+GH+IH+HE2CF。6是一个奇质数，试求出集合12的所有元子集A的个数满足A中元素之和能被整除。第界试题1ABCD是一个长宽分别是AB=20BC=1的长方形板。将此长方形板分割为20X12个格子状的单位小方格，为一给定的正整数，一个铜币在此板上每移动一次的规则为：铜币可从一个小方格内移动到另一个小方格内的充分必要条件是这两个小方格的中点间

45、的距离为r现目标是把一个在含顶点A的小方格内的铜币经过若干次移动后到达含顶点B的小方格内。当是2的倍数或者的倍数时，此目标无法达成;当二时，此目标可以达成;1222为AABC内一点且ZAPBZACB=ZAPCZABC,设D,E分别是ZAPB,ZAPC的内心,求证：AP,BD,CE三线共点。S=0,1,2,为所有非负整数所成的集合，试找出所有由S对应到S本身的函数f且对m,nS有f(m+f(n)二f(f(m)+f(n)正整数a,使得1a+1和1a1都是完全平方数，试求出最小的可表示成这两个完全平方数之一的可能值。ABC是凸六边形，AB平行于ED,BC平行于FE,CD平行于AF。令，分别ACE表示

46、FAB,ABCD,ADEF的外接圆的半径，并以表示该六边形的周长。求证：+2/2ACE.，都是正整数且n，令x,x,x都是整数，x=x=0且对每个1WiWn,xx=01n0nii-1或。求证存在下标i且(i,j)工(0,n)满足x=x。ij第界试题1.在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点。这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色(像棋盘一样)。对于任意一对正整数m和n,考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标，两腰长分别为m和n,且其两腰都在这些正方格的边上。设s1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，s2则为所有白色部分的总面积。令f(m,n)=|S-S|，12a当m,n同为正偶

47、数或者同为正奇数时，计算f(m,n)；求证f(m,n)Wmax(m,n)/2寸所有m,n都成立；求证不存在常量C使得f(m,n)。2设ZA是ABC中最小的內角。B和C将此三角形的外接圆分成两个弧。为落在不含A点的弧上且异于B,C的一点。线段AB,AC的垂直平分线分别交A于，。直线B,相交于，求证：A=*C，朋，是正实数满足|x+x+|=1且对所有i有|x|W(n+1)/2。12n12ni122试证明存在的一个排列n1|y+2y+.12满足2n+|rC(n+l)/2。n一个nXn的矩阵称为一个12且对于每一个n阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合1，2，它的第列与第行中的所有元素合起来恰好是中的所

48、有元素。求证:不存在n1阶的银矩阵;ob有无限多个n，存在n阶银矩阵。试找出所有的正整数对(满足b2b对每个正整数n，将n表示成2的非负整数次方之和，令(n为正整数n的上述不同表示法的个数。如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的。例如，()，因为恰有下列四种不同的表示法：;+22+1+11+1+1+1求证：对于任意整数n23,n2/4n2/22fn)(22第3届试题1凸四边形，对交线互相垂直，对边不平行，和的垂直平分线相交于点，在的内部。求证是圆内接四边形当且仅当三角形、的面积相等。2在一次竞赛中有个参赛者和b个裁判，b23是一个奇数。每个裁判可以给

49、参赛者判“合格”或者“不合格”，假设任何两个裁判对至多个参赛者的判决相同，求证：/2(b1)/2b3对任何正整数n,用(n表示n的正因数(包括1n的个数。试求出所有正整数使存在n满足(n(n)122试找出所有的正整数对(，使得2能整除2a设是三角形的内心，三角形的内切圆在边C,C,上的切点分别是,通过点平行于的直线交，分别于R,。求证：三角形R是锐交三角形。考虑所有从正整数到正整数的函数f使之对于所有的、满足f(2f()f2(。)试求出f(的最小的可能值。第界试题试找出所有这样的有限集：至少包括平面上的个点；对任何两个中不同的点,的垂直平分线是的一个对称轴。2设n22是一个给定的整数，是找出最

50、小的常量C使得对于所有非负实数x,x如下不等式成立：n工xx(x2x)WC(工x)。并判断何时等号成立。给定一个nXn的棋盘，n是偶数。如果这个棋盘中的两个不同的小方格有一个公共边就说他们是相邻的，但同一个方格不认为与它自身相邻。试找出最小数目的方格，使得当它们被标记之后，棋盘上每一个方格都至少与一个标记过的方格相邻。试找出所有的正整数对(n,p),使得P是素数，nW2p并且(pn)可被m整除。圆r有两个内切圆r,r2,切点分别是,，r经过的圆心。r,r2的公共弦的延长线交r于，两点。线，分别交r分别于，。求证：于J相切。试找出所有的函数f：RR使得f(xf(y)f(f(y)xf(y)f(谢所

51、有x,yuR都成立。其中R表示实数集。12122第界试题1圆和圆2相交于点和。设是圆和圆2的两条公切线中距离较近的那条公切线。与圆相切于点A,与圆r2相切于点b。设经过点且与平行的直线与圆还相交于点C,与圆r2还相交于点。直线CA和B相交于点；直线A和C相交于点；直线B和C相交于点。求证：二。2设a是正实数，且满足a=1求证：a1+1/)1+l/1)+l/a)W1。设n22为正整数。开始时，在一条直线上有n只跳蚤，且它们不全在同一点。对任意给定的一个正实数入，可以定义如下的一种“移动”o1)选取任意两只跳蚤，设它们分别位于点A和点B,且A位于B的左边；o(2).令位于点A的跳蚤跳到该直线上位于

52、点B右边的点C，使得BC/AB=入。试确定所有可能的正实数入，使得对于直线上任意给定的点以及这n只跳蚤的任意初始位置，总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于的右边。4.一位魔术师有一百张卡片，分别写有数字1到10.0他把这一百张卡片放入三个盒子里，一个盒子是红色的，一个是白色的，一个是蓝色的。每个盒子里至少都放入了一张卡片。一位观众从三个盒子中挑出两个，再从这两个盒子里各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的数字之和。知道这个和之后，魔术师便能够指出哪一个是没有从中选取卡片的盒子。问共有多少种放卡片的方法，使得魔术总能够成功？(两种方法被认为是不同的，如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子)确定是否存在满足下列条件的正整数n：n恰好能够被2个互不相同的质数整除，且2n+1能够被n整除。设A1B2C是锐角三角形ABC的三条高线。三角形ABC的内切圆与边BCCAAB分别相切于点，设直线分别是直线关于直线1231232331122331的对称直线。12求证：所确定的三角形，其顶点都在三角形A