福建泉州2014届高三3月质检数学理试题版含答案

1、泉州市2014届高三3月质检数学试卷（理科）一、本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. TOC o 1-5 h z .复数z=Lg （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（）iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限.已知集合 A=x|x+10,那么集合 APB （）A.x|x - 1B, x|x 3C.x| - 1x3D.?.某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1 ,则运行后输出的y值是（）A. - 1B, 0.5C. 2D. 104,在二项式（2x+3） n的展开式中，若常数项为81,则含x3的项的系数为（A.

2、 2165.已知等比数列S5=()3196C. 81an的首项a1=1,公比q力，且a2, a1,D. 16a3成等差数列，则其前5项的和B. 15C. 11D. 5.已知某产品连续4个月的广告费用xi （千元）与销售额 理，得到如下数据信息：yi （万元），经过对这些数据的处442 xi=18,工 yi=14;1=11=1a告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系； 刨归直线方程x+W中的2=0.8 （用最小二乘法求得）那么，当广告费用为 6千元时，可预测销售额约为（A . 3.5万元 B . 4.7万元 C. 4.9万元.已知l, m为不同的直线，”，3为不同的平面，如果正确的是（）“

3、l, 3 ”是“ a，3 ”的充分不必要条件“lm”是“ l, 3 ”的必要不充分条件）D. 6.5万元l? a,且m?氏那么下列命题中不“m / a ”是“ l / m”的充要条件“l，m”是“ a，3 ”的既不充分也不必要条件.在如图所示的棱长为 1的正方体ABCD - A1B1C1D1中，若点P是正方形BCC1B1的中心，则三棱锥 P-AB1D1的体积等于（）A. B B. CC. DD. 1 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 2346.某数学爱好者设计了一个食品商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系 xOy ,则商标的边

4、缘轮廓线 AOC恰是函数y=tan兀”4的图象，边缘轮廓线 AEC恰是一段所对的圆心角为 三的圆弧.若在图中正方形 ABCD内2P落在商标区域内的概率等于（B.4. （2014?泉州一模）如图，对于曲线C.”4w所在平面内的点2O,若存在以O为顶点的角使得a出OB对于曲线 W上的任意两个不同的点 A、B恒成立，则称角 a为曲线W上的任 意两个不同的点 A、B恒成立，则称角 a为曲线W的相对于点O的 界角”，并称其中最小 的界角”为曲线W的相对于点O的确界角已知曲线C: yl + 9 J ”40）（其xeK 41 （工0）中e=2.71828是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线 C的相对于点

5、O的 确界角”为A-TB-T T D.甘二、填空题：本大题共5小题,每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷的相应位置.11. （4 分）（2014?泉州一模）J（x2+sinx） dx=12. （4分）（2014?泉州一模）若对满足不等式组，y0）的焦点恰好在直线l上，则p=.（4分）（2014?泉州一模）已知：丛OB中，/AOB=90, AO=h , OB=r,如图所示，先将必OB绕AO所在直线旋转一周得到一个圆锥，再在该圆锥内旋转一个长宽都为瓜高DD1=1的长方体CDEF - C1D1E1F1 .若该长方体的顶点 C, D, E, F都在圆锥的底面上， 且顶点Ci, Di, Ei, Fi

6、都在圆锥的侧面上，则 h+r的值至少应为 .15. （4分）（2014?泉州一模）定义一种向量运算? ”：己？ b=a+b,是任意的两上向量）.对于同一平面内的向量a, b, c, e,给出下列结论: a?b=b?a;入（a?b）=（质）？b（论 R）；（a+b） ?c= a?c+b?c若匕是单位向量，贝U | a?e| 2220),其图象与直线 y=2的相邻两个公共点之间的距离为2 7t.(I)若xC0,兀,试求出函数f (x)的单调递减区间；(n)必BC的三个内角 A, B, C及其所对的边 a, b, c满足条件：f (A) =0, a=2,且b, a, c成等比数列.试求 而在无方向上

7、的抽影n的值.(13 分)(2014?泉州一模)已知 M (0,英),N (0,-如)，G (x, y),直线 MG 与，一、一， 2NG的斜率之积等于-4(D求点G的轨迹单方程；(n)过点P (0, 3)作一条与轨迹 r相交的直线l.设交点为A, B.若点A, B均位于y 轴的右侧，且BA= AP,请求出x轴上满足|QP|=|QB|的点Q的坐标.(13 分)(2014?泉州一模)设函数 f (x) =-xn+ax+b (a, bCR, nCN*),函数 g (x) =sinx.(I)当a=b=n=3时，求函数f (x)的单调区间；(n)当 a=b=1, n=2 时，求函数 h (x) =g

8、(x) - f (x)的最小值；(出)当n=4时，已知|f (x) |1对任意xq-1, 1恒成立，且关于 x的方程f (x) =g (x)2有且只有两个实数根 Xi , x2.试证明：Xi+x20.(14分)(2014?泉州一模)几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做椭圆柱”.图1所示的 椭圆柱中，AB , AB和O,。分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点.图 2是图1椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条 水平线上的椭圆.AA B B的两侧.(I)若M, N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面 邳证：OM /平面AB N;Q求平面ABN与平

9、面ABN所成锐二面角的余弦值；（n）若点N是下底面椭圆上的动点，N是点N在上底面的投影，且 NFi, NF2与下底面所成的角分别为 “、官请先直观判断tan （”+3）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观 判断.本题有21、22、23三个选答题，每小题 7分，请考生任选 2个小题作答，满分 7分.如果 多做，则按所做的前两题记分.【选修4-2:矩阵与变换】（7分）（2014?泉州一模）在平面直角坐标系xOy中，线性变换将点（1,0）变换为（1, 0）,将点（0, 1）变换为（1,2）.（D试写出线性变换 b对应的二阶矩阵A;（II）求矢I阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量.【选修4-4

10、:坐标系与参数方程】（7分）（2014?泉州一模）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数万程为“（t尸t为参数），圆C的方程为x2+y2=4 ,以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系.（D求直线l和圆C的极坐标方程；（n）求直线l和圆C的交点的极坐标（要求极角00, 2兀）【选修4-5:不等式选讲】（2014?泉州一模）设函数f （x） =。2富- 4+正-篁的最大值为M .（D求实数M的值；（n）求关于x的不等式|x- 1|+|x+2|加 的解集.2014届泉州市普通中学高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一

11、种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5分，满分50分. D 2, A 3. A 4. B 5. C 6. B7. C8. D9. C 10. A二、填空题：本大题考查基础

12、知识和基本运算.每小题4分,满分20分. TOC o 1-5 h z 12,213. 614.415.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.本小题主要考查概率、统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然 与或然思想等.满分13分.解：(I)由题意，可得该校普理生、普文生、艺体生的人数比例为2: 2: 1,2分所以10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数分别为4人，4人，2人.,，4分(口)由题意，可知 0 =0,1,2 ,5分P( =0)二空二至二，P( =1)二密二丝二，P( =2)二室C；120 15C；120 15C11

13、20 15所以随机变量U的分布列为012P771151515ffBfB*fif-0 xl+lxl+2x 1-1-1. ii 分1757V的方堂Of = (0-，2乂可+(1-,%5+(2-3)%后=力.7分.二;、乏本后为百三角西抵跤士三、千.点三与差曾三角函款公烹, 中三土学= H可受三三二三城. 为五之复家节能力、力逐边立能力,考登函敬马y卷耳田、素衫廷含*?、化,m，t?北雪丁.湃分13 分. TOC o 1-5 h z R (： )/(x) = 2sinW cos?-2/co$：W +/ 2 Z2NSinx-/co$0 x 2 分- 2(；sin0 x-$co$s) XX= 2sin(

14、0 x _：)除3因为西蒙/(X)的微大片为2,冥1复三次 =2的毛乂个公共d之传叁寓为2T.豆a为第 /(x)的息期 7 =3=21 a !. 0 断己/(x) = 2 sin(x-丁).5 分S X0sX3t, -X-yy. qq咛第4J 0 . 导人由0/方西第/(x)的*调适国XR为:,打.7分0(H) =(I)fll/U)25inU-i)0. 3JS为4e(0/)班以4 =：. 8分X为b,%c或举土就列.机.三余包是a.净相=/+/-26ccos：3亿”传一c)=0户心=%C = 3 = ? ”以，48c为尊之三普影.2. 古加=|CA|co$C2xL1.本题主要考查直线、圆锥曲线

15、的方程和性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等.满分 13分. TOC o 1-5 h z 解：(I) %g =1(*#0)皿=Ml(X#0), ,2 分XX由已知有y 一、3 y -3 =_3(x=0) ,化简得轨迹r的方程为人+E=i(x#0). , 5分x x 443(口)设直线 l 的方程为 y =kx+3(k 0)., 6分因为 BA=AP, P(0,3),所以 x2=2xi. ,，7分y =kx 3,j /口22联立方程组*) , 8分2 22 ，消去 y 得(4k2+3)x2+24kx + 24

16、=0,3x 4y =i2所以xix2由得x x2又由得,24k厂、,，4k2 32,、2=(x +&),9/ Tk、2 i2(2 二) =2 Z4k 3 4k 3xi x2244k2 3k2,k = T.因为 xi 0,xz 0 ，所以 xi +x2 =-24 k24k 3ii分3当k =时，万程（*）2可化为x2 -3x +2 =0 ,解得xi =i ,3所以 B(2,0)( A(i,-).2法一：因为QP =QB ,A是PB的中点，所以QAH , kAQ3设 Q(m,0),则一2i -m 35i3分所以Q的坐标为（_5 0）.4，法二：设 Q（m,0）,因为 QP = QB ,所以 m2

17、+9 =(m -2)2,解得 m =-54 5i3分所以Q的坐标为（一5,0）.4.本题主要考查函数、导数、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、有限与无限思想等.满分13分. TOC o 1-5 h z 解：(I)当 a =b =n =3时，f(x) =3+3x+3 , f(x)=Wx2+3., 1 分解 f (x) 0得 _1 x 1 ；解 f (x) 1 或x0 时，中(x) =h(x)h(0) =0 , h(x)在(0,-HC)单调递增；当 x0 时，邛(x) =h(x)h(0)=0, h

18、(x)在(q,0)单调递减.,8 分所以函数 h(x) =g(x) f (x)的最小值 h(x)min =h(0)=1.,9 分另解：当 a =b =1 且 n =2 时，h(x) =sinx+x2 x-1,贝1J h(x) =cosx+2x-1 , ,5 分令 h (x) =cosx +2x -1 =0 ,得 cosx = -2x +1.考察函数y = cosx和y =-2x +1的图象，可知：当x0时，函数y=cosx的图象恒在y =-2x+1图象的下方，h(x) 0时，函数y=cosx的图象恒在y =-2x+1图象的上方，h(x) 0. TOC o 1-5 h z 所以h(x)在(q,0

19、)单调递减，在(0,依)单调递增，,8分所以函数 h(x) =g(x) f (x)的最小值 h(x)min =h(0)=1.,9分1111(皿)因为对任意 xWT1,都有 f(x) 2，所以 f (0) -1, f(1) -2, f (_1) -2 ,1 . 1-b,11Mb/, 111111(1) HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 2一 11即 一 _ -1 a+b , HYPERLINK l bookmark25 o Current Document 221一J-1 a+b, HYPERLINK l bookmark36 o Current

20、Document 223 .亦即 4 a+b ,111111(2) HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 2-a+b- ,1 川II (3),22 13 .1由(2) + (3)彳导一b -HI(4)，再由(1) (4),得b =一，222一 1一将 b =代入(2) (3)得 a =0.2、“一141当 a =0 , b =时，f(x)=-x + .,10 分221.11因为 xw_1,1,所以 0 Mx241,0 x41,-1-x40 ,-x4+- -,22 21所以f (x) = -x4 1-符合题意.,11分2设 F(x) =f(x) -g

21、(x) HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 41=-x- -sin x.2111- 1因为 F(-2) =-16sin(2) ；0,F(1)=-1sin(_1) =sin1 - 5sin = 0,2226 2_1_11八F(0) =sin00,F(1) = 1+ -sin1 =sin1 0,12 分222又因为已知方程f (x) =g(x)有且只有两个实数根x1,“ (不妨设xx2),所以有2x 1,0 治 1,故 X+x2 0. ,13 分20.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、三角函数等基础知识，考查空间想

22、象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想及应用意识 .满分14分.解：(I) (i)连结 OM,ON ,. OO _L 底面 O, OM u 底面 O,OO_LOM . , 1 分 TOC o 1-5 h z OM _LAB , OOU 平面 AABB , ABU 平面 AABB , ABp OO=O, OM，平面 AABB., 2 分类似可证得ON _L平面AABB,OM / /ON .又 OM =ON ,:四边形ONOM为平行四边形， OM JON ., 3分又 OM平面ABN,ON U平面ABN ,：OM 平面 ABN . ,4

23、 分(ii )由题意，可得 AA=、W,底面上的椭圆的长轴长 2*5,短轴长为2., 5分如图，以O为原点，AB所在直线为x轴，OO所在直线为z轴建立空间直角坐标系 Oxyz.则有 F 2 (1,0,0), N(0,1,0),A(r5,0, 6), B(2,0, V6),NA =( /2, -1,6), Nb* =(72, ,6) , 6分 z 轴 _L平面 ABN ,4:可取平面ABN的一个法向量n1 =(0,0,1).设平面ABN的一个法向量为n2 =(x,y,z),a=rr _ cn. n NA - t2x - y+ -J6z =0,八口 x = 0,则y 2,，化简得n NB = .

24、2x _ y . 6z = 0y . 6z = 0取 z=1,得 n2 =(0川,6,1)., 8 分设平面ABN与平面ABN所成锐二面角为 日.I T T | L贝UcosH=？ =匕.，9分|ni | |n217(n)当点N为下底面上椭圆的短轴端点时,- NN .6- 二NF1=NF2=J2, tano(=tanP=2=j3, o(=P =12NF1232 二ot+P=，tan(a+P) = 73 ；3当点N为下底面上椭圆的长轴端点(如右顶点)时,NFi=42+1, NF2 K51,NN tan、 =NFi6-, tan ：2 1NN 显NF22 -1tan：Ltan tan(.，: 7)

25、=1tan、工 tan :4.35直观判断tan(a+P)的取值范围为_J3 -4叵 5(说明：直观判断可以不要求说明理由.) N是点N在上底面的投影，： N N _L上底面O,10分上下两底面互相平等,N N _L下底面 O ,即 N N _L平面 ABN ,NNFiN,/NF2N分别为NFi, NF2与下底面所成的角,即 nfn =:, NEN =:.又 NF1NF2U平面 ABN , NN_LNF1,NN_LNF2.设 NFi=m,NF2 =n ,则 m +n =2国,且 tanct =型=旦帮=更=理NF1 mNF2吏, tan（: - ：）_m-JnL 它.史 m nm +n =2e，J6（m n） 4.3mn -6 mn-6mn =m（2、,2-m）=m-、, 2）2 2 .又丁 & -1 m 三场 +1,1 mn 2 ._5Wmn_6W4 43mn 6从而证得：tang +P）的取值范围为-73 43. 514分21. （1）（本小题满分7分）选修42:矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想所以A解1 Ot 1、则A TOC o 1-5 h z .1-1（口）矩阵A的特征多项式为f （九）=01 2 =（九T）（九一2） ,，4令f （人）=0 ,得