离散型随机变量分布列和数学期望

1、二项分布【知识点】. n次独立重复试验：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立. n次独立重复试验的概率：一般地，事件 A在n次试验中发生k次，其有C：种情形，由试验的独立性知 A在k次试验中发生，而在其余n-k次试验中不发生的概率都是pk(i_p)n”,所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件 A发生的概率是 p,那么在n次独立重复试验中，事彳A恰好发生k次的概率为 Pn(k) =C： pk(1 - p)nA(k =0,1,2,.n).二项分布：在上公式中，若将事件 A发生的次数设为 X ,事件A不发生的概率为q =1 - p ,那么在n次独立重复试验中，事件 A恰好发生

2、k次的概率是P(X =k) = C：pkqn”.其中k =0,1,2,.n.于是得到X的分布列X01.k.nP八00 nCn p qc 11 n_1Cnpq.八 k kn-kCn p q.c n n 0Cn p q各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n, p的二项分布，记作X B(n, p).离散型随机变量X的数学期望一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 x1，x2,., xn,这些对应的概率是p1, p2,.,pn，则E(X) = x1Pl+x2p2+. +xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望.二项分布的数学期望：E(x) = np【经典例题】【例1】在

3、某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于 或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于 300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命（天）频数频率100,200)200.10200,300)30a300,400)700.35400,500)b0.15500,600)500.25合计2001（I）根据频率分布表中的数据，写出 a, b的值；（n ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n w N冲）个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三.个等级分层抽样 所得的结果相同，求 n的最小值；（出）某人从这

4、个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.1、【答案】（I）解：a =0.15, b=30.（n）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个,所以优等品、正品和次品的比例为50:100:50 =1:2:1.所以按分层抽样法，购买灯泡数n=k+2k + k=4k（kw N）,所以n的最小值为4 .（出）解：X的所有取值为0,1,2,3.由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15=0.25,从本批次灯泡中购买 3个，可看成3次独立重复试验，1 O所以 p(x =0)=c3

5、 x(1-)3 4p(x=1)=c3 1(1-1)2 442P(X =2) =c；P(X =3)=C； M（4）（4）:(1-1)14二 1.6427 一64 27 64，9=,64一 一 1【例2】甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为-,乙每次投中的3概率为1,每人分别进行三次投篮.2(I)记甲投中的次数为 U,求巴的分布列及数学期望 Et ;(n)求乙至多投中 2次的概率；(出)求乙恰好比甲多投进 2次的概率.2.【答案】解：(I) 3的可能取值为：0,1,2,3.P( =0) =C；I3；27,P( =1) =c32C4II I =一3 人39P(=2) =C；2.3

6、9；P( =311-I =300仝气质里优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下:3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648根据以上信息，解决下列问题：(I)写出下面频率分布表中a,b, x, y的值;(n)某人计划今年 6月份到此城市观光 4天，若将(I)中的频率作为概率，他遇到空气 质量为优或良的天数用 X表示，求X的分布列和均值 EX .频率分布表分组频数频率10,5014715(50,100】ax(100,150516(150,200】by(20

7、0,250 2115合计301113.斛：(I) a =6,b =3,x =,y =,510，口、口，一4 2 2(n)由题意，该市 4月份空气质量为优或良的概率为P= + =一，15 5301 411P(X = 0) = C4, P(X =1) = C4381但3= 3；81P(X =2) =c2c c3 f23 132P(X =3) = C43381p(x=4)七面=祟X01234P18188182732811681二X的分布列为：22 8 X B(4)，二 EX =4 父一=-33 3【例4】某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格.教育部门在全市随机抽取200位

8、学生参加社区服务的数据，按时间段75,80180,85185,9090,95 , 95,100 (单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示.(I)求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（n）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数.试求随机变量 之的分布列和数学期望 E：.4.【答案】解：（I）根据题意，参加社区服务时间在时间段190,95）小时的学生人数为 2000.0605 = 60 （人），参加社区服务时间在时间段195,1

9、00小时的学生人数为 200父0.020父5 = 20 （人）.所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人.所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为P=60 20 = 80 J200200 5（n）由（I）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的一，2概率为一.5由已知得，随机变量的可能取值为0,1,2,3.所以 P( =0) =C0(-) (55、327)=；12554；12536125P( Jf；)1 C)； 55产2 2 23 1P( =2)=C3(5)%)=P( =3) =C；(2)3 (

10、3)0 558125随机变量-的分布列为7局4胜制(即先胜4局者获胜,【课后测试】1.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用 比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同(I)求甲以4比1获胜的概率；(n)求乙获胜且比赛局数多于 5局的概率；(出)求比赛局数的分布列 .【答案】(I)解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是2记甲以4比1获胜”为事件A,则 P(A) =C3(1)3(1)4J31 = 1. TOC o 1-5 h z 22 8(n)解：记 乙获胜且比赛局数多于 5局”为事件B .1.115因为，乙以4比2获胜的上率为P1 =c3(1)3(1)5,2

11、 22 32乙以4比3获胜的率为P2 =C6(1)3(1)6-=,222 325所以 P(B) =R +P2 =一 .16(出)解：设比赛的局数为X ,则X的可能取值为4,5,6,7 .P(X =4)=P(XP(X=6)=2C3黄(2尸=7)6-3 151=2 161 = 52 16比赛局数的分布列为:X4567张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1, J两条路线(如图)，L1路线上有A，A A三个路口，各路1遇到红灯的概率均为 一；L2路线上有Bi, B2两个路口，各路口遇 2 33到红灯的概率依次为 -,3 .45(I)若走L1路线，求最多

12、,遇到1次红灯的概率；(n)若走L2路线，求遇到红灯次数 X的数学期望；(出)按照 平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最 好的上班路线，并说明理由.2、【答案】解：(I)设走Li路线最多遇到1次红灯为A事件，则-0 ,1、3 1 1 ,1、21P(A)=C3 X() +C3 X X () = - - 22221所以走L路线，最多遇到1次红灯的概率为 一.2(n)依题意， X的可能取值为0,1,2 TOC o 1-5 h z 331P(X =0)=(1 -) (1-) 4510-3一 3、3、 39P( X =1)= (1 - )，(1 -)4545 203 3

13、9P(X =2)= - x -=.4 5 2019202920随机变量X的分布列为：1019927EX 0：1：一：2 =10202020(出)设选择L2路线遇到红灯次数为 Y,随机变量Y服从二项分布，丫1_1 B(3,-),2因为EX EY,所以选择L2路线上班最好.1227-2 1 22 162P(X =2) Y( )2 ( )1 = ；P(X3327 93 1 3=3)=c3(3)(2)0(3)127.为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生数独比赛”比赛成绩共有90分,70分,60分,40分,30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了 30名学生，并把他们

14、的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表成绩等级ABCDE成绩（分）9070604030人数（名）461073（I ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加 数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩 等级为A或B”的概率；（n）根据（I）的结论，若从该地区参加 数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为 A或B ”的学生人数，求X的分布列及其数学期望 EX ;（出）从这30名学生中，随机选取2人，求 这两个人的成绩之差大于 20分”的概率.3、【答案】解:（1 ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为A或B”的频率 TOC o 1-5 h z

15、 出 46101为 =.30 30 30 3 .， 1从本地区小学生中任意抽取一人，其数独比赛”分数等级为A或B”的概率约为-3（n）由已知得，随机变量X的可能取值为0,1,2,3 .所以 P(X =0) =cT) (2)3 =;P(X =1) = 03(1)1 (2)2332733随机变量X的分布列为所以EX = 0 827272727（出）设事件M:从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于 设从这30名学生中，随机选取2人,记其比赛成绩分别为 m,n.20分.显然基本事件的总数为c；0.30不妨设m n ,当m =90时，n =60或40或30,其基本事件数为 c4 （C；0

16、+C；+C；）；当m = 70时，n =40或30,其基本事件数为 C； -（C； +C；）;当m = 60时，n = 30，其基本事件数为 C；0 C3;所以P(M)=c： c1。+c； +c3) +c6 +c3) +c c3 34C3087n（n w N冲）个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三.34所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于 20分的概率为 一87.在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值;（出）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率， 用X表示此

17、人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.4.【答案】（I）解：a =0.15, b=30.（n）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:50 =1:2:1.所以按分层抽样法，购买灯泡数n =k+2k + k =4k（kw N*）,所以n的最小值为4 .（出）解：X的所有取值为0,1,2,3.由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15;0.25,从本批次灯泡中购买 3个，可看成3次独立重复试验，1 a所以 p(x =0)=c3 ”1_)3 4-1(T-21P(X =2)=C；M(/-31P(

18、X =3)=C3M(4)(1-1)41=.6427一放2764 9-,64所以随机变量X的分布列为:X0123P27642764964164频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于 500天的灯泡是优等品，寿命小于 300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命（天）频数频率100,200)200.10200,300)30a300,400)700.35400,500)b0.15500,600)500.251合计2001（I）根据频率分布表中的数据，写出（H）某人从灯泡样品中随机地购买了a, b的值； 2727913所以X的数学期望E（X）=0m +1父一+

19、2M二+ 3父一=， 64646464 4.为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生数独比赛”比赛成绩共有90分,70分,60分,40分,30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级 .从参加比赛的学生中随机抽取了 30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩（分）9070604030人数（名）461073（I ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加 数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩 等级为“A或B”的概率；（n ）根据（I）的结论，若从该地区参加 数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为 A或B ”的学生人

20、数，求X的分布列及其数学期望 EX ；（出）从这30名学生中，随机选取2人，求 这两个人的成绩之差大于 20分”的概率.【答案】解：（1 ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为A或B”的频率为 4610130 30 30 3 .1从本地区小学生中任意抽取一人，其数独比赛”分数等级为 A 或B的概率约为-3（n）由已知得，随机变量X的可能取值为0,1,2,3 . TOC o 1-5 h z 0 1 0 2 381 1 12 2124所以 P（X =0） =C3（ Q （ ） =；P（X =1） = C3（ ） H =；332733279_ 2 1 22 1p(x=2)七 %)

21、%)62723 1 32 0IP3)：%)%)127随机变量X的分布列为所以EX =08271 2 3=1272727X1I o|_I 1 I23_428=1 P279927（出）设事件M:从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于 20分.设从这30名学生中，随机选取2人,记其比赛成绩分别为 m,n.显然基本事件的总数为c30.30不妨设m n ,当m =90时，n =60或40或30,其基本事件数为 C； （C；0 + C； + C3）;当m = 70时，n=40或30,其基本事件数为C； -（C；+c3）；当m = 60时，n = 30，其基本事件数为 C110 C；所以P(

22、M)=c4 (C； +c； +c3)+c；，(c； +c；)+c c334c2087所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于 20分的概率为 包87【课后作业】1.某学生在上学路上要经过 4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯，一一 11 e - 一的概率都是1,遇到红灯时停留的时间都是32min 。(I )求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(H)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间亡的分布列及期望。.为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每

23、人的选择相互独立.(I )求4人恰好选择了同一家公园的概率；(n)设选择甲公园的志愿者的人数为X ,试求X的分布列及期望.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合1-格的概率为1,第二轮检测不合格的概率为6(I)求该产品不能销售的概率；(n)如果产品可以销售，则每件产品可获利 元(即获利80元).已知一箱中有产品4件,1，一，,两轮检测是否合格相互没有影响1040元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80 记一箱产品获利 X元，求X的分布列，并求出1P(X = -320) =(/

24、P(X=-80)=c2 I：)2(4)23、【答案】解：(I)记该产品不能销售”为事件A,则 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 111P(A) =1 -(1- )(1 - )=. HYPERLINK l bookmark192 o Current Document 61041所以，该产品不能销售的概率为4(n )由已知，可知 X的取值为320, 200, 80,40,160 .13 33P(X = -200) = c： (-)3-=一44 6427313 327,P(X =40)=c4 -(一)=一,1284 464

25、3 4 P(X =160) =()4481256所以X的分布列为X与20-200-8040160P1256364巴128276481256E(X)=120， -2001- 8-027+4027 + 1608=40256641 2864256.某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了生活满意”度的调查.现随机抽取 40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表:满意级别非常满意不满意满意指数(分)d9060300人数(个)151762(I)求这40位市民满意指数的平均值；(II)以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民(人

26、数很多)中任选3人，记巴表示抽到满意级别为 非常满意或满意”的市民人数.求巴的分布列;(III )从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为 m ,然后再随机选另一个人， 记他的满意指数为 n ,求n父m + 60的概率.解：(I)记X表示这40位市民满意指数的平均值，则一 1八X =(90父15+60父17+30父6+0父2)=63.75 (分)(n) 州可能取值为0、1、2、3.一 , 0 4 0 1P( =0)=C3(,(551 4 1 1 2p( =1)=c3(Jq)25 5125122 /42/ 1 P( =2) =C3 ()() 5512548P(- =3) =C3(7)3

27、(1)0551256412540二E的分布列为124864125125125125（m）设所有满足条件 n2m + 60的事件为A满足m = 0且n = 60的事件数为： A21 A；7 = 34满足m = 0且n = 90的事件数为： A； A、= 30满足m = 30且n = 90的事件数为： AA15 = 90P(A)=34 30 9077780所以满足条件n之m十60的事件的概率为777805.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有 5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若

28、只有 1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率;（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ,求X的分布列和数学期望5【答案】（1）；（2）详见解析.10【解析】试题分析：（1）记事件A1= 从甲箱中摸出的1个球是红球 ,从乙箱中摸出的1个球是红球4 = 顾客抽奖1次获一等奖, B2 = 顾客抽奖1次获二等奖, C = 顾客抽奖1次能获奖,则可知a与A相互独立，A A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1= AA2,B2= A A2+ AA2,C =B1 +B2 ,再利用概率的加法公式即可求解;1（2）分析题意可知X B（3,）,分

29、别求得 5P(X=0）=%）0（4）3=羲，p（x=1）=c；（1）1（4）2551255 548125P(X =2) =C；(1)2(4)1 =乌，P(X =3)=C；(1)3(4)0 =工，即可知 X 的概率分布及 5 51255 5125其期望.试题解析：(1)记事件 A= 从甲箱中摸出的1个球是红球 , A2= 从乙箱中摸出的1 个球是红球B = 顾客抽奖1次获一等奖 , B2 = 顾客抽奖1次获二等奖 , C = 顾客抽奖1次能获奖,由题意， 人与人2相互独立，A1至与A1a2互斥，B2 , C = B1 + B2, TOC o 1-5 h z 42512 11- P(A)=而=5，

30、P(4)=G = 2, . P(B1) = P(AA) = P(A)P()=mKw=P(B2) =P(AA2 A1A2) =P(A4) P(AA2) =P(A)(1-P(AJ) (1-P(A1)P(A2)1一,故所求概率为22121=(1 - ) (1-)5252-1 17P(C)=P(B1 +B2) = P(B1)+P(B2)、r =n；顾5 2 10客抽奖e次独立重复雌，由口)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为工， HYPERLINK l bookmark94 o Current Document 55于是Pd=o)=c“3：:息，软工=1)=己”、普，汽J=c氾/(沙=”， 45 5 12

31、5512产(工=3)=c：dy(3y=，故x的分布列为-q 412、n =J. aa 1X。4-P644S1211125125125125X的教学期望为E(A = 3xi = i.6.某学科测试中要求考生从 A, B,C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有 600名学生参加测试.选才i A, B, C三题答卷数如下表：题ABC答卷数180300120（I）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从 600份答卷中抽出若干份答卷，其中从选择 A题的答卷中抽出了 3份，则应分别从选择 B,C题的答卷中抽 出多少份？d）若在（I ）问中被抽出的答卷中，A, B,C三题答卷

32、得优的份数都是 2从被抽出的A,B,C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷恰有1份得优的概率；（出）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（I ）问中被抽出的选择 B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX6（1）由题意可得:题ABC答卷数180300120抽取的答卷数352应分别从B,C题的答卷中抽取 5份，2份 4分（n）记事件 M:被抽取的A,B,C三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能 C题答卷为优. TOC o 1-5 h z ，1 31依题息P（M ） =_乂_/1 = . 8分3 55（出）由题意可知

33、，B题答卷得优的概率是 1 .显然被抽取的 B题的答卷中得优的份数31X的可能取值为0,1,2,3, 4,5 ,且X : B（5）.3 TOC o 1-5 h z 八 d 八 0-on, don0 I 0 / 2 5321 / I、1 / 2、480P(X =0) =。5(二)(二)=二77； P(X =1) =。5(二)(二)=P(X =4)nC2；)4。)11024333243332432 1 2 2 3803 1 3 2 240P(X =2)=C5(Q (:)=；P（X =3） =C5（。）（。）- ；3324333243 TOC o 1-5 h z P(X =5) =Cf(1)5(2)

34、0 = 133243随机变量X的分布列为X012345P_328080401012431243243243243243243243243243 TOC o 1-5 h z 3280所以EX =0;,1:-224324380401013 4 、 513分7.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1 1一、一、P,且他们是否破译出密码互不影响 .若二人中只有甲破译出密码的概率为 2 3(I)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；(n)求p的值；EX .(出)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ,求X的分布列和数学期望7.【答案】记 甲、乙、丙三人各自破译出

35、密码 ”分别为事件Ai,A2,A3,依题意有、1、1、，,P(A) =5，P(A) =a，P(A)= P,且A1,A2,A3相互独立. 23(I)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为1 2 21 -P(A A2) =1 - i =.2 3 3(n)设 三人中只有甲破译出密码 ”为事件B ,则有2 、1 - p I TOC o 1-5 h z P(B) = P(A1A2 A3) = -x x(i p)=,331- p 11所以=_p = _.344(山)X的所有可能取值为0,1,2,3 . ,1所以 P(X =0)=一, 4P(X =1)= P(AiA?A3)P(AA2A3)P(AiA2A3

36、)1113 12 111=+-X - M + - x： - X -4 2 3 4 2 3 4 24P(X =2) = P (A A A) P (A A2 A3) P (Ai A2 A3)113 12 11111=a _ a a 一 一 一 一 一 =一234234234 41111P(X =3) =P (Ai A2 A)= x义一=2 3 4 24X分布列为:所以，E(X)=0424424 1282为次.生产A,B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品,品.现随机抽取这两种元件各 100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,76)76,82)82,88)88,94)9

37、4,100元件A81240328元件B718402968.【答案】(I )解：元件A为正品的概率约为40 32 8 4100 一 5元件B为正品的概率约为40 29 6 31001 4(n)解：(i)随机变量X的所有取值为90,45,30, -15 .P(XP(X4 3 3= 90) = - X =一；545411=30);545P(X =45)=1 3:31P(X - -15)=54 2011x _ =4 20(I )试分别估计元件 A ,元件B为正品的概率；(n)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40元，若是次品则亏损 5元；生产一件元件 B, 若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.

38、在(I)的前提下，(i )记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量 X的分布列和数学 期望；(ii)求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.所以,随机变量X的分布列为：X904530-15P3311J5205203311EX =90 =+45 M+30M一+(15)父=66.520520(ii)设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件.19 依题意，得 50n -10(5-n) 140 , 解得n之19 .6所以n =4 ,或n =5.设 生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A,口4 3 413 581则P(A心叶丁 (石9.汽车租赁公司为了调查

39、A,B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各 100辆汽车, 分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105(I)从出租天数为3天的汽车(仅限 A,B两种车型)中随机抽取一辆，估计这 一辆汽车恰好 是A型车的概率；(n)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰女子为4天的概率；(出)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A,B两种车型中购买 TOC o 1-5 h z 一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买

40、哪一种车型，并说明你的理由.【答案】解：(I)这辆汽车是 A型车的概率约为出租天数为 次的A型车辆数30 八八=06出租天数为3天的A,B型车辆数总和30 + 20这辆汽车是 A型车的概率为0.6(II)设 事件A表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i, j =1,2,3,.,7则该公司一辆 A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P(AB3 A2B2 A3B1) =P(AB3) P(A2B2)P(A3Bi)=P(Ai)P(B3) P(A2)P(B2) P(A3)P(Bi)5 2010 2030 14100 100

41、100 100 100 1009125、一，一 一， ， ，.9该公司一辆 A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 125(出)设X为A型车出租的天数，则 X的分布列为设Y为B型车出租的天数，则 Y的分布列为E(X)=1 0,05 2 0.10 3 0.30 4 0.35 5 0.15 6 0.03 7 0.02 =3.62E(Y) =1 0.14 2 0.20 3 0.20 4 0.16 5 0.15 6 0.10 7 0.05=3.48一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天.从出租天数的数据来看，A型车出租天数的

42、方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择 A类型的出租车更加合理.第三节超几何分布【知识点】一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取 n件(nl,l为n和M中较小的一个). CN我们称离散型随机变量 X的这种形式的概率的分布为超几何分布， 也称X服从参数为N,M , n的超几何分布.【经典例题】【例1】某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工 人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3名工人 进行技能考核.(I)求从甲、乙两组各抽取的人数；(II)求从甲组抽取的工人中至少 1名女工人的概率；(II

43、I )记之表示抽取的3名工人中男工人数，求 之的分布列及数学期望.答案】(I)从甲组抽取2人，从乙组抽取1人.从甲组抽取的工人中至少 1名女工人的概率 TOC o 1-5 h z C26JC203的可能取值为0,1 ,2,3_ 2_ 1 一（）2121C10C5C10 C575pz，-0 x_C4 C3_ 6 P（ - 0） -2 1 一叫 c575Cf C210-31p（ =3）= 62 = p（ = 2）=1 -p（ = 0）-p（ =1）-p（ = 3）鬣 C575750123P6283110I75175|75I75eT【例2】某单位从一所学校招收某类特殊人才.对20位已经选拔入围的学生

44、进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表:、逻辑思维运协调能力良好优秀221良好4b1优秀13a例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人.由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学2生的概率为2 .5(I)求a, b的值；(II)从参加测试的20位学生中任意抽取 2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思 维能力优秀的学生的概率；(III)从参加测试的20位学生中任意抽取 2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学 生人数为J求随机变量U的分布列及其数学期望 E i.【答案】解：(I)设事件A：从20位学

45、生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思 维能力优秀的学生.由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6 + a)人.贝U P(A)=20解得a = 2.所以b = 4.(II)设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀 的学生.由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人.C2则 P(B) =1 _P(B) =1 12C2。6295(III)的可能取值为0,1,2.20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为C233所以P=0)=与= 33, c20958人.C1 C1C12C8P(02C20C2C8P( =2)=C20所以-的分布

46、列为4895149533481476 4所以，E =07 2959595955Ip334814959595【例3】某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时）,统计结果绘成频率分布直方图（如已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间2 41的有8人.求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10, 12的人数；从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取 4人参加测试，设 4人中甲班学生的人数为 U,求上的分布列和数学期望.因为甲班学习时间在区间2 , 4的有8人,所以甲班的学生人数

47、为总=40，所以甲、乙两班人数均为 所以甲班学习时间在区间40 父0.0375父2=3 （人）, 乙班学习时间在区间由知甲班学习时间在区间40人.（10, 12的人数为(10, 12的人数为 40X0.05X2=4 (人)(10, 12的人数为3人，在两班中学习时间大于C3C4 . 1 P（0）-c7 -35 p（、户警=1!C73510小时的同学共7人，的所有可能取值为01,2,3.P( =2)P( =3)=C4c3c；1835C所以随机变量4=.35的分布列为:.【答案】解：由直方图知，(0.150 +0.125+0.100 +0.0875+a)父2 =1,解得 a =0.0375 ,P1

48、1218435353535l c 1. 12 门 18 c 4 12E =0 ：-1 5.1+4.9+4.0+4.0 +4.5=4.5 .从数据结果来看A班学生的视力较好.（n）解：B班5名学生视力的方差较大.（出）解：由（I）知，A班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.则X的所有可能取值为0,1,2 .所以 P(X =0)=c31C3 - 10P(X =1) = =3；C55P(X =2)=c3c2 _ 3cT=0q所以随机变量X的分布列如下:2.你低碳了吗？ ”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在10,

49、20), 20,30),-，50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示(I)求随机抽取的市民中年龄段在30,40)的人数；(n)从不小于 40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求50,60)年龄段抽取的人数；(出)从按(n)中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在段的人数，求 X的分布列及数学期望.2、【答案】解：(I) 110父(0.020+0.025 + 0.015 + 0.005)=0.35,0 0 0.3 5即随机抽取的市民中年龄段在30,40)的人数为35.一 8(n) 100M0.15 = 15, 100M0.05 = 5,

50、所以 5父一=2, 20即抽取的8人中50,60)年龄段抽取的人数为 2 .(m) X的所有可能取值为0 , 1, 2 .P(X=0)喉P(X=1) =笑=里 TOC o 1-5 h z C；28_ 2_ 1-P(X =2) =C2C6 = 3C；28所以X的分布列为X的数学期望为EX =0 x3+1142828 43.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取 3道题,按照题目要求独立完成 .规定：至少正确完成其中 2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘 者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是2 ,且每题正3确完成与否互不影响.算

51、其数学期望;(I )分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列(n)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大?C2C1C4C2P( =2)=3C635；3 0C4 C2P( =3)=03C615；考生甲正确完成题数占的分布列为 TOC o 1-5 h z 131E =1232. HYPERLINK l bookmark116 o Current Document 555设乙正确完成面试的题数为“，则”取值分别为0,1,2,3.1 Q 16271227Ri/亏p(川七4)1。23 3 o 2 o 1 P( =2)=C；d) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark16

52、 o Current Document 333 2 38P（ =3）=C3（g） =. HYPERLINK l bookmark198 o Current Document 327n012316128|p271|27|27|27128+ 2父一+3乂一=2.考生乙正确完成题数”的分布列为E =0 ： 1 一 27272 12 32 12(n)因为 DE =(12)2 父一+(2 -2)2x-+(3-2)2x-=-, 555 52126212282D =(0-2)2： (1-2)2 二一 (2 -2)2 (3-2)2.272727273一一2(或 D刈=npq =一). 3所以D 2） =十立

53、0.74, 5 527 27所以P2） P（n之2）.）综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大.4.某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定 85分及其 以上为优秀.（I）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a,b的值；区间75 ,80)80,85)85 ,90)90,95)95,100人数50a350300b（II）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（出）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取 2名学

54、生参加座谈会，记其中成绩为优秀的人数”为X ,求X的分布列与数学期望.【答案】解：(I)依题意，a =0.04父5M1000 = 200,b = 0.02父5乂1000=100.(n)设其中成绩为优秀的学生人数为x,则-x 350+300+100 ,解得：*=30, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark142 o Current Document 401000即其中成绩为优秀的学生人数为30名.(出)依题意，X的取值为01 ,2 ,八2一八1八1l八2P(X =0)= C0= 3, P(X =1) =C10c30= 5 ,p(x =2) =C30=29,c4052C013C：052所以X的分布列为 HYPERLINK l bookmark218 o Current Document 35EX =0 ： 1521 352 ,新以X的数学期望为2.长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A, B两班学生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字).如果学生平均每 周手机上网的时长超过 21小时，则称为“过度用网”.(I)请根据样