扬州大学线性代数练习册第三章答案(2)

1、线性代数练习册第三章答案1、如果齐次线性方程组解：由克莱姆法则可得00有非零解,则2 0解得错误!未找到引用源2、设线性方程组有解，则a=-11解：A 21方程组有解3、线性方程组无解，则 01自 0解：A= 00120011104422 1方程组无解R A RA4、1若向量组10,22132 , 3 k线性相关，则k=_128解：1, 2, 3线性相关132k02 2k1错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。（2-2k）=0错误！未找到引用源。k=15、已知向量组 与向量组的秩3 ?122_ 33，244503= 0等价，则12解：R1 2 02 3 03 4 14 5 2R 3 ,06

2、、向量3 =_1R1201200-100-100-210010 -3 2002R 31,在基 1101200-100 0 10 0 0下的坐标为解：设ab ab a c22b c a2a c b2b a c2b c a2a c b2二、单项选择题1、设A是m n矩阵,则线性方程组AX=b有唯(C ).(A) R(A尸n (B) R(A尸m(C) R(A尸R(Ab尸nm=n解：: A为m1)线性相关的充要条件是其中(C ).(A)含有零向量(B)有两个向量的对应分量成比例(C)至少有一个向量是其余向量的线性组合(D)每一个向量是其余向量的线性组合解：充分性： 1,2, s (s1)线性相关k11

3、k2ks s =0（ k1,k2 ks 不全为 0）1 .假设 ki0,贝Ui = -(ki1+k22 +kss)ki.至少有一个向量是其余向量的线性组合必要性 12 s (s1)至少有一个向量是其余向量的线性组合设 ki 1 k2 2ks s=0,则 k1,k2 ks 不全为 01 2s线性相关，故选C5、向量空间V x X1,x2,0 X1,x2为实数，则向量空间V的维数是BA 1B 2C6、设1, 2为齐次线性方程组AXAX b的解，贝U CA2 12为AX 0的解C 12为AX 0的解解：1, 2为AX 0的解A 10A 20又 A 12 A 1 A 2012为AX 0的解三、计算题1

4、、a,b取何值时线性方程组 3X1 X25x1解的情况下求出一般解。D 40的解，1, 2为非齐次线性方程组B 12为AX b的解D 12为AX b的解x2x3x4x512x2x3x43x5a有解？在有 HYPERLINK l bookmark229 o Current Document 2x32x46x5 3 HYPERLINK l bookmark227 o Current Document 4x23x33x4x5biiiiiiiiiiiii0ii5232ii3a0i2263a0i22630i22630i226300000a5433ib0i2265b000002b方程组有解同解方程组为:X

5、iX25x53 6x5X32x3X42X4X3X4X5kik2 , k3XiX25k3 k13 6k3X3X4X52kikik22 k2,ki , k2, k32、当a取何值时，线性方程组Xi 2x1XiX2 3x2 aX2X3ax33x33无解？有唯一解？有2无穷多解？在方程组有解时,求出它的解。0 i 2 ai解:0 i 2 a i当A 0,即a 3且a 2时，由克来姆法则RA RA n 3此方程有唯一解基坐标为1-111 - 2 +3基坐标为1-111 - 2 +3 TOC o 1-5 h z 11110 1a 2 110 011a 3 HYPERLINK l bookmark219 o

6、 Current Document x11解得:X2X3当a 2时，R A同解方程组为X15X3X3X1X2X35k4k, k R k31-13.求向量-1在基 11 ,2 =3221X24X313= 1下的坐标,1并将用当a 3时，RA RA此方程无解、一 .一4*RA 2 3方程组有无穷解此基线性表示1-1131-1131-1131012131-1040-4010-1010-1211203-1-403-1400-1-11001010-100114、设向量组1X304、设向量组1X301031-13_ 0_-12 一/ ，3 =，4 =217242140,求向量组的秩和一个极大无关组,并将其

7、余向量用该极大线性无关组表示解:1-1240312307141-120100003123312100-410000120312010-40100001003100101010000100310000104为极大无关组,2+05、求线性方程组X1 3x1 X2 5x1X2 2x2 2x 34x2X3 X4X32x43x3X5X4,X4 6X5 3x43x523X52 2的通解。1211117100151621132010262312216 i230010004331120000001解：令A= 305A =R A =35方程组有无穷多解X5为自由变量，同解方程组为X1X21623X35X5X46

8、x5 2x4 0-16230得特解0000相应导出组方程的同解方程组为X1X25X56X5X4 2X4A0A01-20105-6001方程组的通解为X=0 k12( k1,k2 R)6.设线性方程组二b有三个向量R(A)=3 ,若341+ 2= 561234,求该方程组的通解,解:3为AX=b的三个解向量AX=b的另一个解4 =一322523-1201214是AX=0的一个非零解123 , k R4-12通解为x k 0121四、证明题证明线性方1、设A是n阶方阵，已知线性方程组 Ax=0有非零解,程组Ax=0也有非零解 证：线性方程组AX 0有非零解又 A2 A20又 A2 A20线性方程组

9、A2X 0也有非零解得证2.设1, 2, 3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，证明2, 2 3, 13也是该方程组的一个基础解系。 TOC o 1-5 h z 证：设 kl 12 k2 2 3 k3 13 0即 1 ( k1 k3 )+ 2 k1 k2)+ 3 ( k2 k3 ) = 02, 3为Ax 0的基础解系2, 3线性无关k1 k30k1 k2 0 k1 k2 k3 0k2 k3012, 23, 13为极大线性无关组得证3、设非齐次线性方程组Ax=b有解，证明它有唯一解的充要条件是它的导出组Ax=0只有零解证：充分性：Ax b有唯一解，由克莱姆法则得|A 0Ax 0有唯一零解必要

10、性：导出组Ax 0只有零解A 0Ax b有唯一解得证4、设丫 0为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，刀1,，是 其导出组Ax=0的一个基础解系，证明丫 八刀1,刀2刀丫线性无关。解： 1,0证：设k, ki, k2kr使k o k11k22kr r 0(1)23 r是AX=0的一个基础解系i 0(i 1,2 r)式左乘，得k 0 k11k22kr r 0k1 1 k2 2kr r 02 r是AX=0的一个基础解系kk2kr 0证得.线性无关5、设12 n,证明：向量组等价1, 2 n 与由题设知向量组m可由向量组m- m 1 ,即向量组线性表示，显然，1m可由1、m线性表示所以，向量组m与向量

11、组m等价3，4，(III)6、已知向量组（I）如果各向量组的秩分别为R=3,R(II)=4,证明,向量组54的秩为4.证：设卜1永2永3永4使得卜11+k22 + k33+卜454 =0k11 k22k33 k45 k4 40 TOC o 1-5 h z 1, 2, 3向量组的秩为3 1231 2 2线性无关又1, 2, 3, 4的秩为41 2 3 4线性相关4可以由 2 3线性表示且表示法唯一 4123设 4 = m 1 + m2 2+m3 3k1 m11+ k2 m22+ k3 m33 + k，5=0又 1 2 3 5向量组的秩为4 2 3 5线性无关 1235k1 m10, k2 m20

12、k3 m3 OK 0k1 k2 k3 k402, 3, 5- 4线性无关。秩为4。线性代数练习册第三章答案B卷一、填空题x1 X22X30.齐次线性程X1 x2 x3 0 的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵X1 X2 X3 0B 0使 O,则，|.由题意得1 TOC o 1-5 h z X10 0设 B X200X300令 X1 1 , X21 , X3 0100则1000 0 002、设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且 A的秩为n-1,则线性方程组o的通解为11 解：通解 k (k R)1a21a12a22a1 na2nX1设X2a(n 1)1a(n 1)2a(n 1)nXn0000 x4 x

13、1 a4x4 x1 a4a11x1a12 x2a1nxn0a21 x1a22x2a2nxn0an1x1an2x2ann xn0R n 1 ， A 为 n 阶矩阵仅有一个自由未知量，取x1 为自由未知量令 x11矩阵 A 的各行元素之和均为零x1 x2xn 111k (k R)1a1b1a1b2a1bn3设a2b1A 21a2b2a2bn 其中ai0 ，bi0 i 1,2, ,n ，则矩anb1anb2anbnA 的秩 R(A)= 解： R 1a1b1a2b2a1bna1b1a2b2a1bna2b1a2b2a2bn000anb1anb2anbn000ai 0 ， bi 0 i 1,2, ,nx1

14、 x2a14若线性方程组x2 x3 a2有解，则常数ai,a2,a3,a4应满足条件x3 x4a3解：ai a? a3 a40110 0 ai0 110 a?110 00 110a1a20 0 11 a310 0 1 a40 0 11a3a2a3a4方程组有解R R 3a1 a2 a3 a4 05.设齐次线性方程组为 X 2x2 3x3nxn 0则它的基础解系所含向量的个数为n 1解：X1 2x2 3x3nxn 0的系数矩阵的秩为1其基础解系所含向量个数为n 1二.选择题.设A是n阶矩阵，如果R（A） n,则（C ）A是任意一个行（列）向量都是其余各行（列）向量的线性组合A的各行向量中至少有一

15、个为零向量A的各行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例解析：R（A） n, A 0,矩阵线性相关根据定理3-5可知，向量组中至少有一个向量是其余向量的线1 , 2 , m 1,线性表示，即选B1 , 2 , m 1,线性表示，即选B性组合，选C2.n元线性方程组AX b的增广矩阵的秩小于n,那么AX b1、有无穷多组解（B）有唯一解(C)无解（D）不确定解析:当R(A)R(A)n时，有无穷多组解，选项 A有可能对当R(A)R（A）时，方程组无解，选项 C有可能对AX b的解不确定，选D3.设向量可由向量组1,2,

16、 m线性表示，但不能由1,2,m1线性表示，记向量组（II）m不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示(B)m不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示(C)m可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示(D)m可由（I）线性表示，但不可由（II）线性表示解析：向量可由向量组2,m线性表示,可设KK,km使得假设km 0 ,则有这与不能由1,2)m 1相矛盾,m不能由1,kmm 1线性表.设n元齐次线性方程组 AX 0的通解为k(1,2, , n)T,则矩阵A的秩为( B )(A) r(A) 1(B) r(A) n 1(C) r(A) n(D)以上都不对解析：由题可知，基础解系所含向量个

17、数为 1，R(A) n 1选B.设矩阵a的伴随矩阵a* 。，若1, 2, 3 4是非齐次线性方程组 34AX b 的互不相等 的解，则对应的齐次线性方程组 AX 0 的基础解系( A ).(A)仅含一个非零解向量(B)含有两个线性无关的解向量(C)含有三个线性无关的解向量(D)不存在解析： 证毕A* O ， r ( A ) 1 ，又 AX b 有互不相等的解， 有无穷多解r (A) n ，故由矩阵及其伴随矩阵的秩的关系得 r(A) 1 ，r(A) n-1 . AX 0的基础解系仅含有一个非零解向量。三、求向量组的极大无关组116,4,1， 1,2 , 21,0,2,3, 4 ,6140解： (

18、1T ,T2,3TT4)1213243 1,4, 9, 16,22 , 47,1,0, 1,317419016122301995101260305251131610210101500150015015 26 00 210 10150101000 0100 0000 001， 2 ， 4 为极大无关组秩A 301785006300073501526002101015015 26 00001000000002 1 1, 1,2,42 0,3,1,2 , 33,0,7,144 1, 1,2,0 , 5 2,1,5,6解A 1234510311301217210310330011002244 2 14

19、 0 TOC o 1-5 h z 103101100000000410310110000100001030011000010000RA 3RA 3（1）解：无穷解1 2 4 为向量组的极大无关组四，求下列方程组的通解，用基础解系表示3x1 x2 2x3 4x4 x5 0 x1 x2 2x3 3x4 x5 02x17x13x22x26x34x39x48x4x5x5312711322264439811411000001000200100122 ，秩（ A ）40=3n时，向量的个数大于维数s线性相关，又 ssn线性无关2,是极大无关组s =n当sn时， 1s1 n为n个两两不相等的向量线性无关3可由1,2,3 线性表示，求求a3可由1,2,3 线性表示，求求a六、设础解系，1，2解：=s是线性方程组AX=bk1=0的解,2，12是其到出组的一个基证明t 线性无关。是其出组的基础解系tk2kt t =0k1k22 kt=01，t 线性无关tt0 成立1(1)2(2)t(t)t)线性无关t0线性无关。t七、 已知向量组0=111b1与030，193 = 6 有相同的秩，且7b 的值。解：A=361091220R(A)=2的秩也为可以由3已知3表不b- =03ab=3b120*0b=5a=15(1)a ,b取何值时,能由4唯一线性表示(2)a ,b取何值时，不能由3,4唯一线性