第四章《指数与对数》(中档题)单元测试(一)高一数学指数与对数(苏教版2019)

1、2020苏教版(2019)必修一第四章指数与对数(基础题)单元测试(二)班级：姓名：得分：一、选择题(本大题共8小题，共40分)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发 资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12 %,则该公司全 年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：U1-12 A ().()5 , l.a0.H , 2 0.B0)A. 2020 年B. 2021 年C. 2022 年D. 2023 年【答案】C【分析】本题考査了函数模型的应用，记2018年为第1年，将第“年投入的资金表示出来，求出投入的研发资金开始超过

2、200 万元的年数，再转化成年份即可.【解答】解：记2018年为第1年，全年投入研发资金为130,则第2年投入研发资金为130 X 1.12,则第3年投入研发资金为130 X 1.122, 第n年投入研发资金为130 (1.12)n-1, n N* ,令 130 X (1.12)n1 200,即(n - IW2 Ig 特等价于? 一 1 窝嘗,解得 n 4.8,即5时，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.所以2022年会超过200万元.设 =b = V C = V7 PI1J ()A a b cB. b a cC. c a bD c b a【答案】A【分析】本题考查了不等式的大小比较，

3、掌握幕函数的单调性是解题的关键，属基础题.【解答】解：10 = 33s = (35)7 = 2437,b】05 = (VS)IOS = 521 =(53)7 = 257 = (57)3,CIOS = (T15 =7IS = (75)3, b c3计总：lg82 + 9 3 =()【答案】D【分析】利用对数的运算性质可求得. 本题考査了对数的运算性质.属基础题.【解答】解：原式=IOg2 2 + 3? 3=扌+3諾弓+3_ 10T已lxlog34 = 1,贝j4x + 4x的值为()A. VB.0C. 3S【答案】A【分析】本题考査了指数与对数的运算，属于基础题.【解答】解：由xlog34 =

4、1 町得尤=log43.则 4” + 4一” = 413 + 4-3 界=3 + -=.若0, J = t则Ig評等于()A. 2B. 3C.4D. 5【答案】B【分析】本题主要考察指数与指数幕的运算和对数与对数的运算.【解答】解： a - 09设 logL=X,= )*=“.= 3已知b a If 且IOgafe + 1Ogda =fab = ba则 =()A. 2B. 2C. 3D. 3【答案】C【分析】本题考査对数与对数运算，考査解方程及方程组的能力，属于基础题，恰当的换底是解题的关键.【解答】解:. IOge& + IOgba = -,ab = batS利用换底公式和两边取对数得：严+

5、洱=blga = algb,Iga IgO 3又bal,解得2=3,即b = 3a,代入ab = ba中解得 = 3已知abO,给出下列命题：若辰一0=1，贝 IJa-b VI；若 a3 -b3 = 1,贝 Ik-b VI：若 ea - eb = 1,贝 IJa-b VI：若 Ina -Inb = Il 贝 IJa-b VI.其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】若血-K=,则 = K+.然后两边平方，再通过作差法即可得解：若a3-b3 = 1,则3-l = b3,然后利用立方差公式可知( - l)(2 + + l) = b3.再结合 b O以及不等式的性质即可判

6、断：若e-eb = l,则eb = = 学=占+,再利用b 0,得出eb 1,从而求得eb的范用，进而判断；取特姝值，a = e, b = l即可判断.本题考査指对运算法则、立方差公式、不等式的性质等，考查学生的分析能力和运算能力，【解答】解:(I) Yfva- b = 1 则= b + 1，所以Q = b + 1 + 2b 所以a b = 1 + 2lb 1即错误：若a?沪=1则a -I =沪，即(a l)(a2 + a + 1) = b3因为 ab0所以 a2 b29 所以 a2 + a + 1 b29 所以 a 1 b ,即 a b 0,所以 1 VeafV 2 Ve,所以a bV即正确

7、：)取a = e. b = 1,满足Ina Inb = 1但Q-bl,所以错误: 所以真命题有，log4(3 + 4b) = Iog2Vab* 则 + b的最小值是()A 6 + 23B. 7 + 23C 6 + 43D 7 + 43【答案】D【分析】本题考査对数的运算法则、基本不等式，利用对数的运算法则可得3 + 4b = ab,再利用基本不等式即可得出.【解答】解： 3a+4b 0 O a O, b O9 log4(3a + 46) = Iog2Vab log4(3a + 4b) = log4(ab) 3+ 4b = ab,所以 + 寸= + b = ( + b)g+f) = 7 + +

8、7 + 43当且仅当= 2b，Mb = 2r3 + 3, = 4 + 2逅时取等号.二、多选题(本大题共4小题，共20分)设log258 = ,下列判断正确的有()A心 B? C. S =磊 D.S =島【答案】ACD【分析】本题考査对数的运算与对数函数的性质，利用对数的运算性质及对数函数的性质与换底公式判断即可.【解答】解：仏=lo, = jog出 *kg竹=，故 A 正确.M* = Io騒,8 = 2 81g22 D b V lg6【答案】AC【分析】本题考査对数运算，考查指数式、对数式的互化、对数运算法则等基础知识，考査运算 求解能力，是基础题.推导出 = lg4, b = lg25t

9、从而 + b = lg4 + lg25 = IgIOO = 2,且Qb = 21g2 21g5 = 41g2 lg5 81g22 = 41 g2 lg4.【解答】解:V IOa = 4t Iob = 25, a = lg4, b = Ig25 + b = lg4 + lg25 = IgIOO = 2,故A 正确:b a = lg25 lg4 = lg lg6 故 BZ）错误：4ab = 21g2 21g5 = 41g2 lg5 81g22 = 41g2 lg4,故 C 正确,地丧释放的能量E与地震箴级M之间的关系式为ZpE= 4.8 +1.5M,日本9.0级地 震释放的能量为Ei, 28年汶川

10、8.0级地丧释放能量为艮，2017年九寨沟7.0级地震 释放的能量为民，下列说法正确的是（）A. El约为励的32倍B. %约为殆的32倍C.民为殆的“倍D.內为殆的l倍【答案】ABD【分析】本题主要考查了对数的运用以及运算公式，属于基础题 熟练掌握对数的运算公式是解题的关键，把数拯代入已知解析式，再利用对数的运算性 质即可得出.【解答】解：因为地震释放的能量E与地震丧级财之间的关系式为IgE = 4.8+ 1.5M,所以日本9.0级地震释放的能量为El,则切El = 4.8 + 1.5 X 9.2008年汶川8.0级地琏释放能量为民，则Sz = 4.8 + 1.5X8,2017年九寨沟7.0

11、级地箴释放的能量为*3,则?如2 = 4.8 + 1.5 7, 所以IgrI - IgE2 = Ul = 1.5 X (9 一 8) = 1-5,故答=1015 32,故 A 正确:Ig - lg = Ig = 1.5 X (8 - 7) = 1.5,= IO1*5 32,故 B 正确;而IgEj-IgEs = 1.5 X (9 - 7) = 3 ,所以lg? =3,o3 = IOOO,故 D 正确.若2 = 3, 3y=4.则下列选项正确的是()A. y IB. X yC. xy = 2D. x + y 22【答案】BCD【分析】本题考査指数函数和对数函数的互化以及运算，考查推理论证能力.由

12、题设知X = IOg23, y = log34,根据对数的性质及运算即可得结论.【解答】解：由题设知X = log23, y = log34,、8383M/Jlog34 V log33 = log23 log22 =尹所以yv? xy,即A错误，B正确.Xy = Iog23 X Iog34 = 21og23 log32 = 2,X +y= log23 + 22.lg3三、填空题(本大题共4小题，共20分)若m 1,且kgc+16kg的=8 ,则m4 + 的最小值为【答案】22 + 1【分析】本题考査对数的运算以及基本不等式求最值，利用对数运算得n? =n4 + = n-l +丄7+ 1,利用基

13、本不等式即可求最小值.n-ln-1【解答】解：由 TH 1. Iog”，+ KiIOgrI77- = 8 ,且 Iogr=詁嬴，可得 l !.可得n 1,即n 1 0,=n1+ 2 I 伍-I)X丄;+ I= 22 + 1 当且仅tn = 2 + l时等号成立， 所以沁+二的最小值V22 + 1.已知 O V%V1, Oy 0 lop, 由基本不等式得IOgfX * IOgiy (IOgXX+log 2-J二结合对数运算求解即可.【解答】解：由O VXVbOVyVb得Iog弐 0Ogiy ,(IOglX+logy 2og(y)l2-2J = - = 4，当 logx = IogiyHPX =y

14、 = 士 时等号成立，224所以Iog字 IOg吵的最大值为4.实数27+ 213log2-+Zp4 + 2Z5的值等于8【答案】2【分析】本题主要考查了对数的运算性质，分数指数幕的运算，关键是运算性质的理解与记忆, 属于基础题,把27写成33,对数式的贞数右写为2-3,然后运用指数式和对数式的运算 性质化简求值.【解答】解：277 + 2l3 Iog2-+ lg4 + 2lgS = (33)? + 3 (-3) + 2(lg2 + 5) = 9-9 + 2 = 2.52,+lOglVl)(3 22)=.【答案】98【分析】本题考査对数的运算，根据对数的运算法则进行解答.【解答】解：評刘=(沪

15、唧)? = IO- = 10(),IOg-I(3 + 2z2) = IOg-1(vz2 + 1)2 = loSvT-I(- 1) ? = 一2所以原式=IOO-2 = 9&四、解答题(本大题共6小题，共70分)计算下列各式的值：IOg327 + lg25 + lg4 + log42;已知 + 1 = 5,求a2 + a2ai + a值.【分析】本题主要考查指数与指数幕的运算，属于基础题.由指数慕的运算法则直接计算即可；由a2+a2 = (a + a1)2-2 = 23,可得(a + a)2 = a + a1+2 = 7 由此可得答案.【解答】解：(I)IOg327 + lg25 + lg4 +

16、 log42 = 3 + IgIOO + = 3 + 2+ = y.(2) a + 1 = St Cr + CrZ = ( + a1)2 2 = 25 2 = 23(ah + a)2 = a + a1 + 2 = 5 + 2 = 7 _1 a + a 0. a 2 + a = yj7 计算： (I)(V2 X 3)6 + (2)8 一 4 (% 2 - 2 8025 _ (-2009)【分析】本题考査指数与指数幕的运算及对数与对数的运算，考查了学生的计算能力, 培养了学生分析问题与解决问题的能力.根据题意利用指数与指数幕的运算法则即可求得结果；根据题意利用对数与对数的运算法则即可求得结果.【解

17、答】解：原式=4 X 27+8-7- 164- 1 = 108 + 2-7-2-1 = 100:(1)求值：(2-)o + 2-2(2-p-(O.Ol)o5;54(2)求值：41og23 - Iog2 Y - 5logs3 +log93:若+T = 3,求三竺三的值.【分析】本题主要考查指数与指数幕的运算性质和对数与对数式的运算.利用指数幕的运算即可求解：利用对数的运算性质即可求解：将已知条件平方可得：%2+-2 = 7,同理搖+ W = 5,代入即可得岀结果.【解答】解：原式=l+- = 原式=2-3 +扌=-扌；(3)由 x + x1 = 3 可得 +兀-2 = 72 +2 = fs 9

18、故原式=yfs计算下列各式：(2-)0 + 22.(2-)4一 (O.O1)0554Qog32 + log92) (log43 + log83) + Qog33)2 + lne 一 IgI 【分析】本题考査了描数与指数幕的运算，考査了对数与对数运算根据指数与指数幕的运算求解即可：首先利用换底公式将对数化为以10为底的对数，然后结合对数的运算与指数的运算求解即可【解答】解：CL)原式=1+X(9-2X(W)-O11 丄_丄6II61015(W=()(S)zh2Ig 36已知 U = R.集合 A = x0fB = x(x - )(% - a2 - 1) 0fa E R.若log2 = 0,求(C

19、(Ti?) -4 :(2)命题小XeAf命题q：xeB.若g是的必要条件，求“的取值范围.【分析】本题考查集合的基本运算以及必要条件的运用，利用不等式的解法求出集合A， B是解决本题的关键，属于一般题.根据不等式性质求出集合A，B,然后根据集介的基本运算解答即可；根据q是P的必要条件，建立条件关系即可求实数“的范国.【解答】解：(1)由已知可= W2x3,由 Iog2 = 0 得 = 1 即 3 = xlx 2,所以(njru = E2E 0恒成立，所以 a2 + la,所以3 = xa x a2 + 1,所以 3,解得a 22 S a 5 2，故“的取值范用是(-,-2U5, 2.牛顿冷却规律描述一个物体在常温环境下的温度变化