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文档简介
1、四川省甘孜藏族自治州2021-2022学年高二下学期期末数学(理)试题题号一二三总分得分注意事项:1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1已知集合 , 集合, 则()ABC0D2已知 为虚数单位, 复数, 则()ABCD3已知条件 的解集, 条件:函数的定义域, 则是的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4双曲线的方程为 , 则该双曲线的离心率为()ABCD5等差数列的前项和为, 则()A42B56C63D706若 , 则()ABCD7若变量 满足约束条件, 则的最小值为()ABC0D18要得到函数的图象,只需
2、将函数的图象A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位9函数的大致图像为()ABCD10一个几何体的三视图如图所示, 若这个几何体的体积为 , 则该几何体的外接球的表面积为()ABCD11过点的直线与圆有一个交点是点, 且(其中为 坐标原点), 则直线的斜率为()A或B或C或D或12已知函数 , 若关于的方程有四个不相等实数根, 则实数的取值范围是()ABCD评卷人得分二、填空题13设函数, 则_.14已知向量 , 若, 则与夹角的余弦值为_.15在中, 且的面积为, 则边长为_.16抛物线 的焦点为, 直线与抛物线分别交 于两点(点在第一象限), 则的值等于_.评卷人得
3、分三、解答题17已知各项都为正数的等比数列 前项和为. 且满足.(1)求数列的通项公式;(2)设 , 求数列的前项和.18为了迎接2022年成都第31届世界大学生夏季运动会,普及大运知识,某校开展了“大运”知识答题活动,现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为四组:60,70),70,80),80,90),90,100,得到的频率分布直方图如图所示,将成绩在80,100内定义为“优秀”,成绩低于80分为“非优秀”男生女生合计优秀30非优秀10合计(1)求a的值:并根据答题成绩是否优秀,利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名,再从这5名学生中随机抽
4、取2名,求抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率;(2)请将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关?参考公式及数据: .0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819如图, 四棱锥中,底面为矩形,平面, 点在线段上.(1)若为的中点, 证明:平面;(2)若,若二面角的大小为,试求的值.20已知椭圆 与轴的正半轴交于点, 且离 心率.(1)求椭圆 的方程;(2)若直线 过点与椭圆交于两点, 求面积的最大值并求此时的直线方程.21已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若,是否存在实数,都有
5、恒成立,若存在求出实数m的最小值,若不存在说明理由22在直角坐标系 中, 直线的参数方程为(为参数), 在以为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中, 曲线的极坐标方程为(1)求直线 的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)若直线 与轴的交点为, 直线与曲线的交点为, 求的值.答案:1A【分析】根据交集运算的概念,即可得答案.【详解】因为集合 , 集合,所以.故选:A2D【分析】由复数的除法法则求解即可【详解】,故选:D3B【分析】先求得条件p,q中x的范围,根据充分、必要条件的概念,分析即可得答案.【详解】因为,所以,即条件p:;令,解得,即条件q:,所以是的必要不充分条件,故选:B4D【分析】利
6、用双曲线方程,求出,然后求解双曲线的离心率即可【详解】由双曲线方程得,则双曲线的离心率为.故选:D.5C【分析】根据等差数列的性质,可得的值,代入等差数列前n项和公式,即可得答案【详解】因为为等差数列,所以,解得,所以.故选:C6C【分析】根据,利用诱导公式和二倍角公式,转化为求解.【详解】因为,所以,故选:C7B【分析】作出可行域与直线并平移经过点时,取得的最小值,代入即可求解【详解】作出变量 满足约束条件的可行域,如图: 作直线并平移经过点时,取得的最小值,且最小值为,故选:B8D【详解】由于把函数的图象向左平移个单位,可得的图象,故为了得到函数的图象,只需把的图象上所有点向右平移个单位长
7、度即可,故选D.9B【分析】函数是由函数向左平移1个单位得到的,而是偶函数,所以得的图像关于直线对称,再取值可判断出结果.【详解】解:因为是由向左平移一个单位得到的,因为,所以函数为偶函数,图像关于轴对称,所以的图像关于对称,故可排除A,D选项;又当或时,所以,故可排除C选项.故选:B.此题考查函数图像的识别,利用了平移、奇偶性,函数值的变化情况,属于基础题.10C【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步利用几何体的体积公式求出四棱锥体的外接球的半径,最后求出球的表面积【详解】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体,如图所示: 该四棱锥的底面是长方形,长为6,宽为5,四棱锥的高即为所以,
8、解得由题意易知该四棱锥的外接球等价于长方体外接球,设四棱锥的外接球的半径为r,所以,解得,所以外接球的表面积,故选:C11A【分析】根据已知设出直线的方程,再利用余弦定理及同角三角函数的平方关系,结合点到直线的距离即可求解.【详解】由题意可知,过点的斜率存在,设直线的方程为,圆的圆心为,半径为,在中,由余弦定理得,即,解得,在中,由余弦定理得.所以.所以圆心到直线的距离为,即,解得或,所以直线的斜率为或.故选:A.12D【分析】先作出的图象,由图象可得关于的方程有四个不相等实数根,令,则有两个不等的实根,且,进而,求解即可【详解】当时,令,解得;令,解得;所以在递增,在递减,且当时,作出函数的
9、图象如下:关于的方程有四个不相等实数根,令,则有两个不等的实根,且,又,所以,解得,所以关于的方程有四个不相等实数根时,故选:D13【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值.【详解】由已知可得,则.故答案为.14【分析】先求得坐标,根据 ,可得,即可得m值,代入求夹角公式,即可得答案.【详解】由题意得,因为,所以,解得,则,所以与夹角的余弦值.故15【分析】利用正弦定理角化边和三角形面积公式可构造方程求得,利用余弦定理可求得结果.【详解】由正弦定理得:,即,解得:,由余弦定理得:,.故答案为.16#0.75【分析】由题意可知直线过焦点且倾斜角为,设,则 ,求出,结合三角形面积公式即可求解
10、【详解】因为直线可化为,所以过焦点且倾斜角为,设,则 ,解得,代入得,所以,故17(1)(2);【分析】(1)设等比数列 的公比为(),则由可求出,再由可求出,从而可求出,(2)由(1)得,然后利用裂项相消求和法求出(1)设等比数列 的公比为(),因为,所以,得,解得或(舍去),因为,所以,解得,所以(2)由(1)得,所以18(1);(2)列联表见解析,没有【分析】(1)由各组的频率和为1可求出,求出成绩非优秀的频率,再乘以总人数可得成绩非优秀的人数,然后根据分层抽样的定义求出抽取的5名学生成绩优秀的人数和成绩非优秀的人数,再利用列举法求所求概率,(2)根据题意完成列联表,然后根据公式求出,再
11、与临界值表比较可得结论(1)由题可得 ,解得 ,由题可得, 这 100 名学生中成绩非优秀的有 名,所以抽取的 5 名学生中成绩非优秀的有 名, 成绩优秀的有名, 记成绩优秀的 3 名学生为, 成绩非优秀的 2 名学生为,从这 5 名学生中随机抽取 2 名, 有 , 共 10 种情况,其中这 2 名学生的成绩恰有一名优秀共有 6 种情况,所以这 2 名学生的成绩恰有一名优秀的概率为 ;(2)补充完整的 列联表如下表所示:男生女生合计优秀303060非优秀301040合计6040100则 的观测值,所以没有 的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关.19(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接交于,
12、连接,利用中位线的性质可得出,再利用线面平行的判定定理可证得结论成立;(2)以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,设,其中,利用空间向量法可得出关于的等式,结合的取值范围可求得的值,即可得解.(1)证明:连接交于,连接,因为四边形为矩形,为的中点,又因为为的中点,则,因为平面,平面,因此,平面.(2)解:由题设平面,四边形为矩形,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,平面,平面,所以,则、,设,其中,则,设平面的法向量为,则,取,可得,易知平面的一个法向量为,由题可得,因为,解得,此时.20(1)(2);【分析】(1)由题意,由离心率可得出,从而得出方程.(2)由题意直线 的斜率不为 0 ,设 与椭圆方程联立,得出韦达定理,得出面积的表达式,求出其最大值即可得出答案.(1)椭圆与轴的正半轴交于点,则 ,则 椭圆 的方程为: (2)当直线 的斜率为 0 时,三点共线, 显然不满足题意.当直线 的斜率不为 0 时,设 代入,得到设令 令 , 在单调递增,当为最大, 此时的方程为:21(1)见解析(2)存在;最小值为3【分析】(1)求导,然后分与讨论即可求解(2)由题意可得恒成立,令,则由题意有,利用导数法求出的最大值即可求解(1),当,在单调递增当时,令,得,得在单调递增,在单调递减综上:时,
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