工程流体力学：第02章 运动学基本概念

1、第二章 流体流动的基本概念2.1 流场、流动的分类2.2 描述流体运动的两种方法2.3 迹线和流线2.4 流体的运动与变形 (结合第七章的部分内容)2.5 层流与湍流等名词的简介教材中2.5 流动阻力 将在第9章详细介绍本章任务：研究流体运动的描述方法和流体运动的基本特征。 2.1.1 流场的概念 2.1 流场、流动的分类1. 流体无确切形状，且流动过程中连续变形，须考虑变形速率（变形率）； （固体常只考虑应变）2. 流体运动过程中边界也在随时间变形，难于直接采用牛顿第二定律分析。流体占据的空间称为“流场”；压力场、速度场、温度场等，就是这些状态参数在空间的分布。引入“场”的概念来分析流体在所

2、占据的所有空间点上运动状态的变化。流体的运动参数可表示为空间和时间的函数 2.1.2 流动的分类是否考虑流体的黏性：粘性流动、无粘(理想)流动流动过程中密度是否变化：可压缩流动、不可压流动按运动状态分类： 定常流动、非定常流动 有旋流动、无旋流动 （稍后） 层流、湍流流动 （稍后） 亚音速、超音速流动定常流动（稳定流）与非定常流动（非稳定流）：稳定流场：流场中的任何物理量都不随时间变化。反之称为非稳定流场。稳定流的条件：稳定流与非稳定流稳定流非稳定流按流动空间的自变量数目分： 流动参数是一个坐标的函数：一维流动 流动参量是二个坐标的函数：二维流动 流动参量是三个坐标的函数：三维流动 对有固定质

3、量的一团流体的运动历程感兴趣(系统法) 即：拉格朗日（Lagrange）法对固定一空间域内的流体行为感兴趣(控制体法) 即：欧拉法 2.2描述流体流动的两种方法拉格朗日（Lagrange）：研究流体各个质点的运动参数随时间的变化规律，综合所有流体质点运动参数的变化，得到整个流体的运动；出发点是跟随流体质点欧拉法：研究流体质点通过空间固定点时的运动参数随时间的变化规律，综合流场中所有点的运动参数变化情况，得到整个流体的运动；出发点是流场中的空间点2.2.1 拉格朗日（Lagrange）法基本思想：将流体质点表示为空间坐标和时间的函数， 沿流体质点的运动轨迹进行跟踪研究。一个流体质点在t时刻所在位

4、置描述：矢量表示其中：迹线方程(a,b,c)：拉格朗日变量，它们可理解为在某一t0时刻流体质点的空间坐标(x0,y0,z0)。不同的流体质点有不同的一组(a,b,c)值；对于同一个流体质点， (a,b,c)值一定。 流体的运动参数和物理量都可表示为(a,b,c)的函数 =(a,b,c,t)形式。以“速度”为例：2.2.2 欧拉法基本思想：将流体的运动和物理参数表示为空间坐标和 时间的函数，而不是沿运动轨迹去追踪流体 质点。与流动问题相关的任何物理量均可表示为：其中(x,y,z)为欧拉变量。2.2.3 拉格朗日法与欧拉法之间的变换拉格朗日变数(a,b,c)与欧拉变数(x,y,z)之间的互换 从拉

5、格朗日表达式(a,b,c,t)变换为欧拉表达式(x,y,z,t) 从欧拉表达式(x,y,z,t)变换为拉格朗日表达式(a,b,c,t)通过求解微分方程得出代入方程 =(a,b,c,t)中,得 =(x,y,z,t)通过求解迹线方程得出其中(a, b , c)就是t=t0时刻的空间坐标 ；求出（a,b,c)代入方程 =(x,y,z,t) 中，得出 =(a,b,c,t)。例2-1，P17,(为什么？)已知:2.2.4 质点导数定义：流体质点的某物理量对于时间的变化率称之为该物理量的质点导数.用拉格朗日变量表示物理量的质点导数 拉格朗日法中，给出的函数 直接 就是流体质点的物理量，所以它对时间的偏导数

6、就是 物理量的质点导数。即：物理量 的 质点导数就是：速度的质点导数（加速度）用拉格朗日法表示：还可进一步展开成矢量的各个分量形式。（2）用欧拉变量表示物理量的质点导数:空间位置的函数，表示物理量此时在此地的取值。:空间位置的函数，表示物理量此时在此地随时间的变化特性。稳定流场:如果不同时刻经过该空间位置的流体质点具有不同的值:但问题是，不同时刻在某空间点位置P处的，不是同一个流体质点，因此 不代表流体质点物理量随时间的变化率，因此它不是的质点导数。t时刻: 质点在 P 位置空间P点的坐标:因此，该流体质点的函数在t时间内的增量是：在（x,y,z,t）处Taylor展开,t+t时刻: 质点流到

7、了 PP点的坐标: 质点导数可得：质点导数(也称随体导数)算子:欧拉法中，流体速度的质点导数可表示为：流体质点速度对时间的变化率 or(加速度)空间某点处流体速度随时间的变化率，表示流场的非稳态部分(称作局部加速度 or当地加速度)流体速度随空间的变化率, 显示流场在空间的不均匀性（称作:传输加速度 or 对流加速度）记质点导数 为 ，则有：非稳态项对流项例2-2，P19,理解三个不同的概念和层次例2-3，P20.理解对同一物理量，如何分别采用欧拉法与拉格朗日法两种表达方式来表达。2.3 迹线和流线迹线定义：流体质点 的运动轨迹曲线称为迹线。迹线方程：拉格朗日法表达式求解迹线方程欧拉法表达式求

8、解迹线方程即为迹线方程，给定(a,b,c)的值，可得单参数方程t表示的空间曲线，就是流体质点(a,b,c)的迹线。即是迹线方程的微分形式，积分可得到流体质点的迹线方程。2.3.1迹线迹线随质点不同而异，是运动的“足迹”和“历史记录”例2-4，P21,，求解：xy = ab其实是一道纯粹的高数题目流线定义：同一时刻，该曲线上各点的速度方向与所在点处曲线的切线方向一致。2.3.2 流线 除去速度为0或等特殊点（奇点），某一时刻经过空间一点的流线只有一条，即流线不能相交； 流场中任意一点都有流线通过； 非稳态流动的流线，其形状和位置随时间发生变化；但稳态流动时流线的形状和位置不随时间变化。流线的特点

9、：流线与迹线的区别： 两个不同的概念： 同一时刻不同质点同一质点不同时刻 稳态流动：迹线与流线重合，且流线疏密可用于反映速度的相对大小（假设每相邻两条流线之间流量相同）。在流线上取一微元段 ，(切线) 流线方程流线方程：例2-5，P22.已知速度分布（与t和x,y都相关），求迹线和流线。2.3.3 流管与流束根据流线不能相交的性质，流管表面不可能有流体穿过。非稳定流，流管随时间改变；稳定流时流管不随时间变化。流管定义：在流场内取任意封闭曲线 l ，通过曲线上所有点的流线构成一管状曲面，这个管状曲面称为流管。流管内的质量流量：21v1V2n1n2dA稳态管流的连续性方程： 流管断面不能收缩到0,

10、 否则V=. 流管不能中断于流场中而只能始 于/止于边界、或首尾相接成环形、 或延伸至无穷远处。 不可压缩时进一步简化。 还可进一步定义平均速度等。（流管形状不随时间变化）2.4 流体的运动与变形2.4.1 微元流体的变形 刚体运动有平动和转动；流体运动除了平动和转动外，同时还有连续不断的变形（包括拉伸和剪切变形）； 固体变形由单位长度的变形量（应变）来度量；流体变形须由单位时间内单位长度的变形量（单位时间内的应变，或称“应变速率”、“变形速率”，strain-rate）度量。 固体内应力采用应变来计算；流体内应力须采用应变速率计算。流体运动区别于刚体运动的特点：刚体运动的速度分解定理: (理

11、论力学)在包含点M0的微元内任一点M：:刚体微元旋转的角速度可是流体的情况是怎样的呢？(平动转动) :应变速率(strain rate) 张量(tensor)。流体运动的速度分解定理【亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理】包含点O的微元内任一点A的速度可以分解为三部分之和:流体微团的平动速度:流体微团的转动速度:流体微团变形引起的的速度，称做变形速度 :流体微团的转动角速度/转动速率 Sij的3个对角分量被称作线变形速率，表示沿空间三个方向的伸 缩率，其和就是速度的散度，对应流体为团的体积膨胀率。 Sij具有对称性； Sij的6个非对角分量称为剪切变形速率, 代表流体微元的剪切变形. 特

12、别地，对于不可压缩流体，流体微团可以变形，但体积不变，所以必有：称为不可压缩流体的连续性方程(质量守恒方程)，是流体力学最常用的基本方程之一。P36习题2-8: 判断是否为不可压缩流动,或问这种流动是否存在。因此，流体微团与刚体微团的速度分解主要区别在于流体微元可变形，由此带来附加的速度变化。平移和转动都不属于变形，因此Sij中没有平移和转动的信息。Helmolhotz速度分解定理中，平移和转动对A点速度的贡献已分开。平移相对简单，但对于流体的转动（旋转）须进一步说明教材中还有将流体微元的运动分解为平移、转动、剪切变形、体积膨胀四个部份：有旋流动： ，意味着 的三个分量中至少一个不为0。流动是

13、否有旋，应根据流体微团速度的旋度矢量是否为零来判断，而不是根据流体微团的运动轨迹来判断(？后面例题将说明)。涡量定义：在流场空间中的分布称为涡量场或旋度场。2.4.3 涡量、有旋流动流体微团转动的角速度涡量的散度为零，有人称此为涡量的连续性方程。其实对于任意矢量 ，都有： 涡量的连续性方程：涡线、涡管、涡通量： (定义方式类似于流线流管流通量）涡线：同一时刻，该曲线上各点的涡量方向与所在点处曲线的切线方向一致。涡线方程涡管：在流场内取任意封闭曲线 l ，通过曲线上所有点的涡线构成一管状曲面，这个管状曲面称为涡管。涡通量：2.4.4 无旋流动 - 势流流场中的速度旋度处处为零，为无旋流动。无旋流

14、动的特点：速度有势:加速度有势场论：若一矢量无旋，则该矢量一定是某个标量函数的梯度。流场无旋是速度场有势的充分必要条件。书上有状语“任意时刻”，目的可能在于强调状态的延续；其实旋度只是对空间坐标求导，也可以仅某一时刻“瞬时无旋”。(展开三分量？)加速度的势函数势函数的引入，将速度矢量（3个独立的分量）变成了一个标量函数，使无旋流的数学分析变得简单一些。速度的势函数例2-6，P28. 强制涡 自由涡:系统旋转的角速度这两种流动的流线和迹线都相同，都是绕圆心流动，但前者有旋、后者无旋。强制涡和自由涡切向速度分布的比较这个例子，流速和质点轨迹虽然平直但却是有旋流动，因为这里:2.4.5 线流量与速度

15、环量（7.1.3，P151）线流量：线段与通过线段的法向速度的乘积。是平面流动的一个概念。n是单位AB曲线的外法线速度环量：封闭曲线上切向速度沿封闭曲线的积分。是平面流动的一个重要概念。是封闭曲线C的单位切向量通常规定切向速度沿封闭曲线逆时针转动时0，反之0。显然对于自由涡：对于强制涡：2.4.6 流函数及其与势函数的关系（7.2.2，P152）流函数：对于x-y平面内的不可压缩流动，其前面提到的连续性方程(质量守恒条件)变为：如果有一函数(x,y)，满足 , 并满足全微分条件 , 这个函数称为流函数，它自动满足连续性方程。流函数存在的条件: 平面内的不可压缩流动(无论是否有旋)如果采用极坐标

16、描述平面不可压缩流动，则：流函数的性质（特性、特点）：流函数的等值线是流线 由定义，流函数的全微分可写为：对于流函数的等值线，有d=0, 所以有：即前面提到的流线方程(2) 流函数的两条等值线数值之差就是两条流线之间的体积流量 因流体不能穿过流线，所以：流线（流函数等值线）越密的地方，速度越大。反之亦然。流函数与速度势函数的关系平面不可压缩的无旋流动，速度势函数与流函数满足柯西黎曼(Cauchy- Riemann)条件：x-y 坐标系：极坐标系：柯西黎曼条件的作用：使得在平面不可压缩的无旋流动中可以对流函数和势函数知其一而求其余。显然，只能对于平面不可压缩的无旋（有势）流动才能谈论这个问题。速

17、度势函数存在条件：无旋（无论2维/3维/定常/非定常）；流函数存在条件：平面不可压缩流动（无论有旋/无旋）。无旋且不可压缩流动势函数的拉普拉斯(Laplace)方程不可压流,则速度的散度为0：流动无旋，则速度有势：在直角坐标系下的展开形式：拉普拉斯(Laplace)方程顺便提一个名词，如果方程右边不为0，这种方程称为泊松(Poison)方程2.5 层流与湍流等名词的简介2.5.1 流体流动的推动力真实流体，总是需要推动力才能流动，流动过程就是推动力对流体做功的过程。按照推动力的类型，可以将流动分为重力流动、压差流动、外加机械力等导致的流动，等等。2.5.2 层流、湍流（紊流）、雷诺数真实流体流动的两种状态。1883年由雷诺实验详细观察。圆管中层流的速度分布圆管中湍流的速度分布雷诺数： 是一个无量纲参数 圆管中R