经济数学微分方程-PPT课件

1、2022/7/191CH6 微分方程 微分方程是研究动态经济学的基本工具。通过计算微分方程来分析变量的具体时间路径，以及能否收敛于均衡。2022/7/192一、导论变量为导数的方程称为微分方程。例如：如果只有一个自变量，称为常微分方程（ODE）。常微分方程的阶是方程中最高导数的阶数。宏观经济学使用的ODE都是对时间的导数。例：若x(t)是常数，方程被称为自控的（一个方程仅通过变量y而依赖于时间）。若x(t)0，方程被称为齐次的。2022/7/193微分方程的解法求解微分方程的目的在于找到变量的变化特征。第一种解法：图解法。只能用于自控方程。第二种解法：解析法。可以找到精确的解，但只能用于有限的

2、函数形式，如线性函数。第三种解法：数值分析。使用现存软件，如Matlab的子程序ODE23和ODE45。2022/7/194二、一阶常微分方程的解法1、图解法例1：一阶线性自控常微分方程：其中a和x是常数且大于0。以y为横轴，以 为纵轴。由于 是y对时间的导数，因此， 为正时，意味着y随着时间的变化而增加； 为负则减少。2022/7/195图形为直线。在纵轴的截距为-x，在横轴的截距为-x/a。在y*点，0，即y不会随时间而变化，y*称为y的稳态值。当y(0)y*, 0, y随时间而减少。反之则增加。练习：当a0的动态。yy*当直线的斜率为负时方程是稳定的：无论初始值y(0)在何处，y(t)都

3、将回到y*。稳态值2022/7/196例2：非线性函数的动态。微分方程：其中s、和都是正常数，且0且a220：系统不稳定。情形2：a110且a220：系统稳定。情形3： a110：鞍点路径稳定。y1y2鞍点路径稳定的相位图稳定臂不稳定臂原点是稳态。鞍点路径既不是稳定又不是不稳定的。系统只有从稳定臂(横轴)开始才会回到稳态。结论：对角系统的稳定性依赖于系数的符号。若两者都为正，系统不稳定；若两者都为负，系统稳定；若两者异号，系统是鞍点路径稳定。2022/7/1916（2）非对角系统边界条件为y1(0)=1和 的轨迹是直线y2=0.06y1+1.4在直线的下方， y20.06y1+1.4， ，即在

4、该区域y1递增；同理，在直线的上方区域y1递减。 的轨迹是直线y1=10在直线的左边， ， y2递增；右边递减。将 和 联立求解，可以得到稳态值：y1*=10,y2*=2。2022/7/1917具有鞍点路径稳定性的非对角系统的相位图y1y2y1*=10稳定臂不稳定臂y2*=2稳定臂和不稳定臂对应于两个特征向量2022/7/1918非对角系统稳定性：结论1、两个特征值是正实数，系统不稳定。2、两个特征值是负实数，系统稳定。3、两个特征值是实数但异号，系统是鞍点路径稳定。稳定臂对应于与负特征值相关的特征向量，不稳定臂对应于与正特征值相关的特征向量。4、两个特征值是有负实部的复数，系统振荡收敛。5、

5、两个特征值是有正实部的复数，系统振荡且不收敛。6、两个特征值是有零实部的复数，系统轨迹是环绕稳态运动的椭圆。7、两个特征值相等，解为y(t)=(b1+b2t)eat。a是特征值，若a0，解是不稳定的。2022/7/1919两变量时的特征根及稳定性两变量动态系统2022/7/1920（3）非线性系统 解答： 的轨迹为：c=k0.3; 轨迹为k=10。将k和c的动态结合到一起，系统的稳态是两条轨迹的交点。稳态值：k*=10,c*=2。系统是鞍点路径稳定的。2022/7/1921kc稳定臂不稳定臂具有鞍点路径稳定的非线性系统的相位图2022/7/19222、解析解（1）线性齐次系统y(t)是一个n1

6、列向量，A是nn常系数矩阵。解法：假设z(t)=V-1y(t) ，则其中，V是特征向量矩阵，D是特征值对角矩阵。先解出z(t)，然后根据y(t)=Vz(t)可解出y(t)。2022/7/1923（2）线性非齐次系统解法与齐次系统相同。练习1：求解以下线性系统的解。边界条件：y1(0)=1和limte-0.06ty1(t)=02022/7/19242022/7/1925根据边界条件可以确定b1和b2的值。根据初始条件y1(0)=1，得到b1+b2=-9根据终端条件得到：当t趋于无穷大时，上式中第一和第三项都趋于0，除非b1等于0，否则第二项将趋于无穷大。因此，b1=0。这意味着b2=-9。这个O

7、DE系统的精确解为：y1(t)=10-9e-0.04ty2(t)=2-0.9e-0.04t当t=0时，y1=1,y2=1.1；当t时，y1*=10,y2*=2。2022/7/1926练习2：求解非线性系统的解边界条件：y1(0)=1和lim te-0.06ty1(t)=0非线性系统稳态值：k*=10，c*=2。围绕稳态值将上述系统进行线性化：原系统线性化为：系统与练习1求解方法完全相同。2022/7/1927高维系统三维非线性系统根据得到稳态值在稳态附近进行泰勒展开求解系数矩阵A的特征根以判别系统的稳定性2022/7/1928判别方法：如果特征根都是正数，系统是不稳定的。如果特征根都是负数，系统是稳定的。如果负（具有负实部）特征根的个数等于初始条件的个数，则存在惟一收敛路径