线面积分整章-课件

1、第一节 对弧长的曲线积分一、问题的提出二、对弧长的曲线积分的概念三、对弧长曲线积分的计算四、几何与物理意义五、小结 思考题一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值二、对弧长的曲线积分的概念1.定义被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量2.存在条件：3.推广注意：4.性质 三、对弧长曲线积分的计算定理注意:特殊情形推广:例1解例3解例4解由对称性, 知四、几何与物理意义五、小结1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算3.对弧长曲线积分的应用思考题对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.练习题练习题答案第二节

2、 对坐标的曲线积分一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标曲线积分的计算四、小结 思考题一、问题的提出实例: 变力沿曲线所作的功常力所作的功分割求和取极限近似值精确值二、对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定义2.存在条件：3.组合形式4.推广5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算定理特殊情形(4) 两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上 ）可用向量表示有向曲线元；例1解例2解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.例3解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.四、小结1对坐标曲线积分的概念2对

3、坐标曲线积分的计算3两类曲线积分之间的联系思考题思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.练 习 题练习题答案第三节 格林公式一、问题的提出二、格林公式三、简单应用四、小结 思考题一、区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.GGG一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通二、格林公式定理1边界曲线L的正向:

4、当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCE证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知xyoL1. 简化曲线积分三、简单应用AB2. 简化二重积分xyo解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)3. 计算平面面积解四、小结1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3. 格林公式的应用.格林公式; 若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题思考题解答由两部分组成外边界：内边界：第四节 格林公式的应用一、问题的提出二、曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积四、小结 思考题Gyxo一、曲线

5、积分与路径无关的定义BA如果在区域G内有二、曲线积分与路径无关的条件定理2两条件缺一不可有关定理的说明：三、二元函数的全微分求积定理3解解四、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题练 习 题练习题答案第五节 对面积的曲面积分一、概念的引入二、对面积的曲面积分的定义三、计算法四、小结 思考题一、概念的引入实例 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.二、对面积的曲面积分的定义1.定义2.对面积的曲面积分的性质三、计算法则按照曲面的不同情况分为以下三种：则则例1解解依对称性知：例3解（左右两片投影相同）例4解四、小结2对面积的曲面积分的计算是将其化为投影

6、域上的二重积分计算. （按照曲面的不同情况投影到三坐标面上）1对面积的曲面积分的概念;注意：一投、二代、三换思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有因子 , 试说明这个因子的几何意义.思考题解答是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.练 习 题练习题答案第六节 对坐标的曲面积分一、基本概念二、概念的引入三、概念及性质四、计算法五、两类曲面积分之间的联系六、小结 思考题一、基本概念观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面莫比乌斯带典型单侧曲面:播放曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲

7、面称为有向曲面.曲面的投影问题:二、概念的引入实例: 流向曲面一侧的流量.1. 分割则该点流速为 .法向量为 .2. 求和3.取极限三、概念及性质被积函数积分曲面类似可定义存在条件:组合形式:物理意义:性质:四、计算法注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.解五、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式解六、小结1.对坐标曲面积分的物理意义2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.曲面的侧b.“一投,二代,三定号”思考题思考题解答此时 的左侧为负侧，而 的左侧为正侧.练 习 题练习题答案莫比乌斯带典型单侧曲面:典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫

8、比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带第七节 高斯公式 通量与散度一、高斯公式二、简单的应用三、物理意义-通量与散度四、小结 思考题一、高 斯 公 式证明根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法同理-高斯公式和并以上三式得：Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知高斯公

9、式的另一种形式：二、简单的应用解使用Guass公式时应注意:解空间曲面在 面上的投影域为曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式根据对称性可知故所求积分为证利用高斯公式，即得沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件我们有以下结论：三、物理意义-通量与散度1. 通量的定义:2. 散度的定义:散度在直角坐标系下的形式积分中值定理,两边取极限,高斯公式可写成四、小结3应用的条件4物理意义2高斯公式的实质1高斯公式思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？思考题解答曲面应是分片光滑的闭曲面.练 习 题练习题答案第八节 斯托克斯公式 环通量与旋度一、斯托克斯(stokes)公式二、简单的应用三、物理意义-环通量与旋

10、度四、小结 思考题一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式 是有向曲面 的正向边界曲线右手法则证明如图思路曲面积分二重积分曲线积分121根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线同理可证故有结论成立.另一种形式便于记忆形式Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形二、简单的应用解按斯托克斯公式, 有解则即空间曲线积分与路径无关的条件斯托克斯公式的应用：空间曲线积分与路径无关的条件问题：空间曲线积分在什么条件下与路径无关？注意：空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零用定积分表示为三、物理意义-环流量与旋度1. 环流量的定义:利用stokes公式, 有2