【清华在线】新版GCT精讲班-数学-线性代数讲义

1、 GCT数学.线性代数部分主讲：王飞燕第一讲行列式一. 行列式的定义一阶行列式定义为二阶行列式定义为 在阶行列式中，划去元素所在的第行第列，剩余元素构成阶行列式，称为元素的余子式，记作令，称为的代数余子式阶行列式定义为二. 行列式的性质1.行列式中行列互换，其值不变2.行列式中两行对换，其值变号3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和由以上四条性质，还能推出下面几条性质5.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为7.行列式中如果有一行元素全为

2、，则行列式的值为8.行列式中某行元素的倍加到另一行，其值不变 三.阶行列式展开性质等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即按列展开定理阶行列式的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零即按列展开的性质四.特殊行列式; 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.五.计算行列式消零降阶法.消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）.典型习题1. =（ ）。 （）2. 设的代数余子式，则=（ ） A 2 B 1 C- D（） 3.中的系数是（ ） A 2 B 1 C D（） 4.的常数项为（ ） A 4 B 2 C D0 （D）5设，则=（ ） A 4

3、 B 2 C D0 （C）6（ ） A 4 B C D (B)7，则（ ）( ) A. 或 B. C. D. 且 (A)8. 设则 A .2M B. 2M C.8M D.-8M (C)9. 的根的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D.3 (B)10 的根的个数是（ ） A. B. C. D. (C)11. 设是方程 的三个根, 则行列式 ( )。 A. 0 B. 1 C. -4 D.2 (A)第二讲 矩 阵一.矩阵概念和运算1.矩阵的定义和相等.2.加法,数乘,乘法, 转置,方阵的幂乘的定义及性质.尤其是矩阵乘法不满足交换律和消去律.满足结合律,左(右)乘分配律等.若是阶方阵,则特殊

4、方阵：上（下）三角阵，对角阵，单位阵。3.逆矩阵定义：都是阶方阵，满足 ，则称是的逆矩阵。记.可逆公式： 可逆矩阵的运算性质4. 伴随矩阵定义：基本关系式：与逆矩阵的关系：行列式：秩：5矩阵方程设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为二.初等变换矩阵的初等行（列）变换：交换两行（列）；用一个非零常数乘某一行（列）；某行（列）的倍加到另一行（列）上 (初等行变换)三.矩阵的秩1.定义在矩阵中，任取行列，位于这行列交叉处的个元素按其原来的次序组成一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式若矩阵中有一个阶子式不为零，而所有阶子式全为零，则称矩阵的秩

5、为。矩阵的秩记作显然有 中有一个阶子式不为零；中所有阶子式全为零对于阶方阵，对于阶方阵，若，则称是满秩方阵重要定理对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩矩阵的秩的求法阶梯形矩阵满足以下条件的矩阵称为阶梯形：所有零行都在矩阵的底部；非零行的第一个元素称为主元，每个主元在前一行主元的右方；(初等变换)阶梯形,则 中主元的个数4. 矩阵的秩有以下一些常用的性质：. 若，则，其中为矩阵的列数若可逆，则若可逆，则典型习题 都是阶阵,则下列结论不正确的是( )A . B. C. D. (A) 2.，且，求， (-108, 32/3)3, 则( ) 4.设则中第3行第2列的元素是 A. B. C. 1 D. (B

6、)5.，则（ ） （）6. 都是阶阵,.则下列结论正确的是( ) A. B.或 C. D. (B)7设 .则下列结论不正确的是( ) A可逆. B. 不可逆. C.可逆 D.可逆 (B) 8. 设，则 () 9 是的伴随矩阵, ,则的第三行的行向量是（ ）. A. B. C. D. (C)10， 则（ ）。 (B) A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 11设，（ ）时 。 (A) A. -3 B. -2 C. 1 D. 3 12. 设则 ( ). (D) A. B. C. D. 13设 则（ ）。 (C) A.3 B. 2 C.1 D. 0 14 设,三阶矩阵,且满足,则( ). A. B

7、. C. D. (A)第三讲 向 量一. 向量组 线性相关与线性无关1.向量组的线性组合与线性表示设是维向量，是数，则 称为向量的一个线性组合若,称可由线性表出称为向量的长度。若，则称为单位向量。向量组：,称为一组基本单位向量。线性相关与线性无关定义 设是维向量，若存在不全为零的数，使得，则称线性相关否则称线性无关定理 若线性无关，而线性相关, 则可由线性表出,，且表示法惟一判断 设是维向量,线性相关 存在某个向量可被其余个向量线性表出个维向量线性相关个维向量必线性相关增加向量组向量的个数,不改变向量组的线性相关性.减少向量组向量的个数,不改变向量组的线性无关性.含有零向量的向量组必线性相关.

8、含有两个相同向量的向量组必线性相关.一组基本单位向量：,是线性无关的。二.向量组的秩和极大线性无关组1.定义 设向量组是向量组的一个部分组满足）线性无关；）向量组的每一个向量都可以由向量组线性表出，则称部分组是向量组的一个极大线性无关组且向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩2.求法任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化作阶梯形求极大线性无关组的步骤：将向量依次按列写成矩阵；对矩阵施行行初等变换，化作阶梯形；阶梯形中主元所在列标对应到原向量构成一个极大线性无关组； 例如 (行初等变换)主元所在列是第列，第列，第列，因此的一个极大线性无关组是且3三向量组的秩与矩阵的秩设是矩阵，将

9、矩阵的每个行看作行向量，矩阵的个行向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的行秩将矩阵的每个列看作列向量，矩阵的个列向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的列秩矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩（三秩相等）典型习题1下列向量组中线性相关性的向量组是（ ） A. B. C. D. , , , （D）2设向量组线性无关，下列向量组无关的是（ ）A B. C D. （A）3. 设向量组线性无关，而向量组线性相关，则 A. 3 B. 2 C.-2 D.-3 （D）4.设向量组线性无关，则是向量组线性无关的A. 充分必要条件 B. 充分条件，但非必要是条件C.必要条件，但非充分是条件 D. 既非充分条件，也

10、非必要是条件（C）5. ( )时, 向量组 线性无关. A B。 C. D. 且 (D)6.设,则它们的一个极大线性无关组是( ) A.B. C. D. (D)7设是维单位向量，若，则（） (） 8. .设, ,且.则( ). A.2 B.4 C.-2 D.-4 (B)第四讲 线性方程组解的理论一 齐次线性方程组设元齐次线性方程组, 系数矩阵令，则线性方程组可写成矩阵方程的形式：若令，则齐次线性方程组又可以写成向量方程的形式：齐次线性方程组有非零解的判定条件设，齐次线性方程组有非零解只有零解.即系数矩阵列满秩设是阶方阵，齐次线性方程组有非零解只有零解设，当时，齐次线性方程组必有非零解齐次线性方

11、程组的解的性质若，是齐次线性方程组的解，则和仍是的解若是齐次线性方程组的解，则的任意常数倍仍是的解齐次线性方程组的解的结构的一个基础解系其要点为：(1) 都是的解，(2)它们是线性无关的, (3)的任何一个解都可以由它们线性表出因此基础解系往往不是惟一的若元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则基础解系中含有个线性无关的解向量(这一点和上面的(3)等价,即).若是齐次线性方程组的一个基础解系，则齐次线性方程组的通解（一般解）是其中是任意常数解齐次线性方程组的基本方法解元齐次线性方程组的基本步骤：对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作行阶梯形；假设有个非零行，则基础解系中有个解向量 选非主元所在列的变量为

12、自由未知量；将自由变量依次设为单位向量，求得所需的线性无关的解向量为一个基础解系二 非齐次线性方程组设非齐次线性方程组记系数矩阵为,常数项向量为，则非齐次线性方程组可写作方程组的增广矩阵记作对应的齐次线性方程组称为非齐次线性方程组的导出组非齐次线性方程组有解的判定非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩即若元非齐次线性方程组有解，即当时，方程组有惟一解；时，方程组有无穷多解当系数矩阵时，非齐次线性方程组有唯一解非齐次线性方程组解的性质设是非齐次线性方程组的两个解，则是导出组的一个解非齐次线性方程组的任一解与导出组的解的和是非齐次线性方程组的解非齐次线性方程组解的结构非齐

13、次线性方程组的通解（一般解）是非齐次线性方程组的一个特解+导出组的基础解系的线性组合即 设非齐次线性方程组，若，是的一个特解， 是导出组的基础解系，则的通解（一般解）是, 其中是任意常数典型习题1.只有零解的充分必要条件是A A的列向量组线性相关 B A的列向量组线性无关 C A的行向量组线性相关 D A的行向量组线性无关 （）2. 是对应的齐次方程组.则若只有零解,则有唯一解.若有非零解,则有无穷多解.若有无穷多解,则有非零解.若无解,则 只有零解. (C). 的行向量线性无关，则错误的是只有零解.必有无穷多解.有惟一解.总有无穷多解 （）4已知三阶矩阵的秩， 是方程组的三个解向量,则常数（

14、 ）. A. B. C. D. 3 (D)5.当为( )时,方程组有非零解. A.且 B. 且 C. 或 D. 或 (C)6.已知三阶非零矩阵的每一列都是方程组 的解,则. A. B. C.1 D. 3 (C)7. 设,是的三个解向量,且 则的通解是( ). ()8. 为( )时，方程组有无穷多解. A. B. 1 C. D. 3 (B)9. 设 , 则当( )时, 方程组无解. A.1 B.2 C. D. (B)10. 设 为齐次方程组的一个基础解系,则 A. B. C. D. (A)11.设且可逆，则方程组 A.有唯一解 B.有无穷多解 C.无解 D.不能确定 （C）第五讲 特征值与特征向

15、量一 特征值和特征向量的定义，性质与计算定义设是阶方阵，是非零的维向量，且满足，则称是的特征值，是的属于特征值的特征向量性质若都是的属于特征值的特征向量， 则也是的属于特征值 的特征向量若是的属于特征值的特征向量, 是非零常数，则也是的属于特征值的特征向量求法的特征多项式：由特征方程由方程组属于的特征向量（求基础解系）（其它重要结论：属于不同特征值的特征向量是线性无关的二 相似矩阵定义 设是阶方阵，是阶可逆矩阵，满足 ，则称相似于.记作2. 性质 相似矩阵有相同的秩，相同的迹，相同的行列式，相同的特征值3.阶方阵可相似对角化的条件阶方阵可对角化是有个线性无关的特征向量阶方阵可对角化的每个特征值的重数等于它对应的线性无关的特征向量的个数 即若 (其中) 则阶方阵可对角化方阵有个不同的特征值,可对角化方阵的相似对角化的步骤(1) 解的特征多项式：求出的个特征值.(其中可能有相重的特征值) (2)解齐次方程组: (), 求出的每个特征值对应的线性无关的特征向量即求的基础解系. (3)若共有个线性无关的特征向量则令,有 . 注意与的对应关系.典型习题1.是的特征向量,则. A. B. C. D. (B)2设 ,则对应于特征值2的一个特征向量是( ) A. B. C. D. (D)3. 设，的特征值为。则（ ）. A. B.20 C. D. (A)4 设，若的特征值和的特征值相