空间解析几何(省级精品课程)-课件

1、第三篇 空间解析几何 内容提要： 空间直角坐标系 一些空间曲面与曲线矢量代数平面与直线 横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间直角坐标系 第一节 空间直角坐标系 面面面空间直角坐标系共有八个卦限二、空间两点间的距离空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为三. 曲面与方程 定义：例1解例2解从以上二例可见： 四.曲线与方程 空间曲线的一般方程 | |一、矢量的概念 第二节 矢量代数矢量：矢量表示：矢量的模：向量的大小.零矢量：模长为0的向量.既有大小又有方向的量.或或或单位矢量：模长为1的向量.自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.空间

2、直角坐标系中任一点 与原点构成的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：非零向量 的方向角：向量的模与方向余弦的坐标表示式非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.由图分析可知向量模长的坐标表示式方向余弦通常用来表示向量的方向.当 时，向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为所求向量有两个，一个与 同向，一个反向或解例1 求平行于向量的单位向量的分解式.空间一矢量在轴上的投影关于向量的投影定理证二、矢量的加减法1 加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）特殊地：若分为同向和反向矢量的加法符合下列运算规律： （1）交换律：（2）结合律：（

3、3）2 减法 三、矢量的数乘数与矢量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：两个向量的平行关系 证充分性显然；必要性两式相减，得按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例 化简解四、矢量的数积实例启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量.定义关于数积的说明：证证数积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若 、 为数：若 为数：设数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 解证五、矢量的矢积实例定义c r 的方向既垂直于 a r ，又垂直于 b r ，指向符合 右手系 . /关于矢

4、积的说明：（3）若 为数： 证/矢积符合下列运算规律：（2）分配律：（1）设向量积的坐标表达式矢积还可用三阶行列式表示/由上式可推出例如，补充解三角形ABC的面积为解六、矢量的混合积混合积的坐标表达式设定义关于混合积的说明：（1）矢量混合积的几何意义： 例解解式中正负号的选择必须和行列式的符号一致. 一.平面方程 定义：由于：第三节 平面与直线 设又例1解例2解返回问题：如：特别地： 例3解例4解返回二.空间直线的方程 1.空间直线的一般式方程 注意反过来， 2.空间直线的对称式方程和参数方程 方向向量： 设几点说明： 续例5解续例6解返回三.两平面的位置关系 定义：例7解例8解四.两直线的位

5、置关系 夹角：注意结论：例9解返回五.直线与平面的位置关系 定义：结论：设特别地 例10解返回例11解如：返回六. 平面束定义：例12解续返回七.关于直线、平面杂例例13法一又由点积得： 法二法三例14解例15法一法二例16解返回一.柱面方程及其特点 第四节 一些空间曲面与曲线 图一般地： 问：画法：通常：如：画法：返回二.旋转曲面及其方程 定义：形成旋转曲面平面曲线C绕定轴旋转例1解在这里， 同理， 一般地， 欲求将平面曲线绕某轴旋转的曲面方程，只需将其对应的坐标不动，而另一变量换成其余二变量的完全平方和之正负方根的形式。 例2解例3解图旋转双曲面返回三.二次曲面 定义：椭球面 1.椭球面讨论：续截距，与坐标面的截口线 平行于xoy面的截面 截面为同心椭圆平行于yoz面的截面截面为同心椭圆平行于zox面的截面截面为同心椭圆2.抛物面 讨论：续续抛物面特别地，旋转抛物面注意画法双曲抛物面3.双曲面 定义：特点：讨论方法类同，此略，其图如下：例4