弹塑性力学-05

1、 第五章 弹塑性力学问题的提法应用(yngyng)弹塑性力学 1共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法基本方程问题的提法弹性力学(l xu)问题的基本解法 解的惟一性 圣维南原理 叠加原理塑性力学问题的提法简 例 第五章 弹塑性力学问题的提法 2共三十九页基本(jbn)方程第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法由以前几章的讨论，我们得出了在三维情况下弹塑性力学的下列基本方程：平衡方程或者3共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法几何(j h)方程应变位移关系导出的应变协调方程4共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法本构方程(fngchng)弹性阶段，应力满足屈服不等式

2、在此条件下本构关系为广义胡克定律。 5共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法如用应变表示(biosh)应力，则有 其中 6共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法塑性阶段，应力满足屈服函数 ，在此条件下，根据增量理论有 其中(qzhng) 7共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法如果采用(ciyng)全量理论，则应变偏量为8共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法总括起来，当物体处于(chy)弹性状态时，我们有3个平衡方程，6个几何方程，6个本构方程，共15个方程（统称为泛定方程）。 其中包括6个应力方程，6个应变分量，3个位移分量，共15个未知函数，因而在给定

3、边界条件时，问题是可以求解的。 当物体处于弹塑性状态时，我们同样有3个平衡方程，6个几何方程以及6个本构方程。此外，在此情况下多引进了一个参数 ，不过也增加了一个屈服条件 ，只有在应力满足屈服条件时， 才不等于零。 应当指出，加载过程的弹塑性问题可作为非线性弹性力学问题来处理。这时，要注意的是卸载问题，卸载时要遵守卸载定律。如上所述，在一定的边界条件下，原则上，问题是可以求解的。弹塑性静力学的这种问题上在数学上称为求解边值问题。 9共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法在研究弹塑性小变形平衡问题(wnt)的范围内，上述弹塑性力学问题(wnt)的解，必须满足边界上给定的应力边界条件 位移

4、边界条件 以上这些方程的解是唯一的 10共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法问题(wnt)的提法弹塑性力学问题的提法必须使定解问题是适定的，即：（1）有解；（2）解是唯一的；（3）解是稳定的。就是说，如定解条件（边界条件和初始条件）有微小变化，只引起解作微小变化。我们这里只限于讨论前两个问题。 求解弹塑性力学问题的目的，在于求出问题内各点的应力和位移，即应力场、位移场。因而，问题的提法是，给定作用在物体全部边界或内部的外界作用（包括温度影响，外力等），求解物体内因此产生的应力场和位移场。 具体地说。对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满

5、足平衡方程、几何方程、本构方程这15个方程（泛定方程），并要在边界上满足给定的全部边界条件。 11共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法当处在塑性阶段，则16个未知函数 及 要满足平衡方程、几何方程、本构方程及屈服条件等16个方程，同样，在边界上要满足全部边界条件。弹性力学的15个基本方程（泛定方程）含有15个未知函数，是一个封闭(fngb)的方程组，但只有这组方程组并不能解决具体问题。在所有满足泛定方程的应力、应变和位移分布的函数中，只有与定解条件（边界条件）相符合的解，才是我们需要的解答。因而，边界条件的重要性是不容忽视的。 边界条件分为应力边界条件、位移边界条件和混合边界条件三种

6、。应当强调指出，这些边界条件的个数必须给得不多也不少，才能得出正确的解答。例如对于空间问题的应力边界，必须在边界的每一点上有三个应力边界条件，如果条件给多了，就找不到满足全部条件的解；如果给少了，就会有许多的解满足所给的条件，因而也就无法判断哪些是正确的解。 12共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法由此可见，弹塑性力学的基本方程组一般地控制了物体内部应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件则具体地给出了每一个边值问题的特定规律，每一个具体的问题反映在各自的边界条件上。于是，弹塑性力学的基本方程组和边界条件一起(yq)构成了弹塑性力学边值问题的严格完整的提法。 根据具体问题

7、边界条件类型的不同，常把边值问题分为以下三类： 第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。 第二类边值问题：给定物体的体力和物体表面各点的位移，求在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场，即所谓的边界位移已知的问题。第三类边值问题：在物体表面上，一部分给定面力，其余部分给定位移（或在部分表面上给定外力和位移关系）的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。13共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法在求解以上边值问题时有三种(sn zhn)不同的处理方法，即（1）位移法，用位移作为基本未知量，来求解边值问题，叫位移法。此时将一切未知量和

8、基本方程都转换为用位移表示。通常，给定位移边界条件（第二类边值问题）时，宜用位移法。（2）应力法，用应力作为基本未知量来求解边值问题，叫应力法。此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。显然，当给定应力边界条件（第一类边值问题）时，宜用应力法。 （3）混合法，对第三类边值问题则宜以各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。这种方法叫混合法。对于塑性力学问题，还有一些特有的问题需要专门进行讨论。一下专门讨论弹性力学问题的解法。14共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法弹性力学问题的基本(jbn)解法 解的惟一性位移法-位移作为基本未知量，必须将泛定方程改用位移来表

9、示 代入平衡方程 余类推。15共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法上式称为(chn wi)拉梅-纳维方程 16共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法方程组是基本方程的综合（包括平衡方程、几何方程及本构方程）、方程组含有三个未知函数。此外，边界条件也要用位移表示，当给定位移边界条件时，问题自然简单。如给定应力边界条件，则需将边界条件加以(jiy)变换，改用位移表示。17共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法应力法应力作为基本未知量，需将泛定方程改用应力分量表示，并求出6个应力分量所满足的6个方程。由此所求得的解，应满足应变协调(xitio)条件和边界条件，为此应将应变

10、协调(xitio)方程改用应力表示。 18共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法19共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法20共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法于是得到(d do)利用应力表示的6个协调方程 21共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法当体力(tl)不计时 因三个平衡方程中含有6个未知量，在给定边界条件下，尚需增加协调方程，使6个应力分量对9个方程同时满足。 用应力法解弹性力学问题，就归结为求满足平衡方程，协调方程及边界条件的应力分量的数学问题 22共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法逆解法(ji f)与半逆解法(ji f)由以上

11、讨论可以看出，对于弹性力学问题需要在严格的边界条件下解复杂的微分方程组。在一般情况下，这是一件很不容易的事，因为往往难以克服数学上的困难。因而，人们研究了各种解题方法，如逆解法、半逆解法等。 所谓逆解法，就是选取一组位移或应力的函数，由此求出应变与应力，然后验证是否满足基本方程。若满足，则求出与之对应的边界条件上的位移或面力，再与实际边界条件比较。如果相同或可认为相近，就可把所选取的解作为所要求的解。 所谓半逆解法又叫凑合解法，就是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分为已知，然后在基本方程和边界条件中，求另一部分，这样便得到了全部未知量。此外，尚有近似解法、数值解法等。 解的存在定理证明过程

12、冗长，不拟介绍，解的唯一性自修。 23共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法圣维南原理(yunl)圣维南原理 如作用在弹性体表面上某一不大的局部面积上的力系，为作用在同一局部面积上的另一静力等效力系所代替，则载荷的这种重新分布，只在离载荷作用处很近的地方，才使应力的分部发生显著的变化，在离载荷较远处只有极小的影响。 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计24共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法图2-9(a)(b)(c)(d)(e) 在上述四种情况下

13、，离开两端(lin dun)较远的部分的应力分布，并没有显著的差别。注意： 应用圣维南原理，绝不能离开“静力等效”的条件。25共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法叠加原理(yunl)叠加原理成立的条件为：小变形、线性弹性本构方程。对于大变形情况，物体的变形将影响外力的作用，如受纵向和横向外力作用的梁，就必须考虑变形的影响，此时， 26共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法塑性力学问题(wnt)的提法塑性力学边值问题的提法与弹性力学问题相同，也必须使定解问题是适用的，即要求所提问题：有解；解是惟一的；解是稳定的。就是说，如定解条件（边界条件和初始条件）有微小变化，只引起解作微

14、小变化 弹塑性力学边值问题的基本方程为平衡方程对增量理论为对全量理论为或者27共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法几何(j h)方程对增量理论为对全量理论为 本构关系对弹塑性材料的增量理论为应力空间的屈服面或加载面 对全量理论为 是材料常数 28共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法边界条件对增量(zn lin)理论为对全量理论为29共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法(1)解的唯一性在线性弹性(tnxng)力学问题中,解的唯一位定理是成立的。而在弹塑性力学问题中,本构方程为非线性,且应力与应变不存在单值对应关系,因而问题就比较复杂。如果结构是简单加载并全量理论

15、求解,则解是唯一的。在必须采用增量理论求解的问题中,对于硬化材料,当应力确定时,对应的应变增量也是唯一确定的;对于理想塑性材料,就给定的应力值,不能唯一地确定应变增量,即应变增量可以不唯一。(2)求解的方法弹塑性力学问题的基本求解方法仍然是位移法和应力法。由于涉及到复杂的非线性本构方程,通常情况下解析解是无法得到的,只能采用数值方法求近似解。如果材料是理想弹塑性的或线性硬化弹塑性的,则对于某些简单弹塑性问题,可以得到解析解。梁的弹塑性弯曲，见薛守义弹塑性力学P22530共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法如图所示的曲杆（四分之一圆环）上端承受水平力的作用(zuyng)，求曲杆的应力

16、。解:如本题图所示,曲杆任一横截面上的弯矩与 成正比，因此应力函数也应与 成正比，设应力函数为： 把应力函数代入相容方程：解该常微分方程得到31共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法于是，由应力(yngl)函数得到应力(yngl)分量为积分常数由边界条件确定 因为去掉 对应力没有影响，所以，只要确定A、B、D三个常数即可 32共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法所求的应力(yngl)分量为：33共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法如图所示的楔形体其侧面承受均布剪力的作用，求楔形体的应力(yngl)。设应力(yngl)函数解：把应力函数代入相容方程可以求得f的解

17、,最后得到应力函数的表达式为:对应的应力分量为:边界条件:34共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法求出常数(chngsh):楔形体中的应力35共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法分析下列应力函数能解决(jiju)什么样的平面应力问题解：应力函数显然满足下面的相容方程不计体积力时，应力分量36共三十九页第五章弹塑性力学问题(wnt)的提法考虑(kol)深度（高度）为2c的悬臂梁受均匀拉伸，同时受到剪切作用，本题目给出的应力函数能解决深度（高度）为2c的悬臂梁受均匀拉伸，同时自由端受到集中力F的作用的问题37共三十九页第五章弹塑性力学(l xu)问题的提法本章(bn zhn)结束38共三十九页内容摘要第五章。应变位移关系导出的应变协调方程。应当指出，加载过程的弹塑性问题可作为非线性弹性力学问题来处理。弹