线性规划及单纯形法5-线性规划应用举例_运筹学

1、第七节 应用例子一、 混合配料问题 例 某糖果厂用原料 A、B、C 加工三种糖果甲、乙、丙。各种糖果中 A、B、C 的含量，原料本钱，各种原料的每月限制量，三种糖果的单位加工费及售价。问该厂每月生产这三种糖果各多少 kg，使其获利最大。建立数学模型。原 料 甲乙丙原料成本(元/kg)月限制量(kg)A60%30%2.002000B1.502500C20%50%60%1.001200加工费(元/kg)0.500.400.30售 价(元/kg)3.402.852.25 解 用 i = 1，2，3 分别代表原料 A、B、C，用 j = 1，2，3 分别代表甲、乙、丙三种糖果。 xij 为生产第 j

2、种糖果需要第 i 种原料的 kg 数量。 三种糖果的生产量 x甲、 x乙、 x丙 分别为： x甲 = x11 + x21 + x31 x乙 = x12 + x22 + x32 x丙 = x13 + x23 + x33 目标函数是什么？该厂获利为三种糖果的售价减去相应的加工费和原料成本。 解 用 i = 1，2，3 分别代表原料 A、B、C，用 j = 1，2，3 分别代表甲、乙、丙三种糖果。 xij 为生产第 j 种糖果需要第 i 种原料的 kg 数量。 三种糖果的生产量 x甲、 x乙、 x丙 分别为： x甲 = x11 + x21 + x31 x乙 = x12 + x22 + x32 x丙

3、= x13 + x23 + x33 max z = (3.40-0.50)( x11 + x21 + x31 ) + (2.85-0.40)( x12 + x22 + x32 ) + (2.25-0.30)( x13 + x23 + x33 ) - 2.0( x11 + x12 + x13 ) - 1.5( x21 + x22 + x23 ) - 2.0( x31 + x32 + x33 ) 三种糖果的售价减去加工费 三种原材料成本 约束条件 x11 + x12 + x13 2000 x21 + x22 + x23 2500 x13 + x23 + x33 1200 x11 0.6 ( x11

4、 + x21 + x31 ) x31 0.2 ( x11 + x21 + x31 ) x12 ( x12 + x22 + x32 ) x32 0.5 ( x12 + x22 + x32 ) x33 0.6 ( x13 + x23 + x33 ) xij 0 ( i, j = 1, 2, 3 ) 原料月供应量限制 含量成分的限制二、 生产方案问题 例 某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经过 A、B两道工序加工。设 A 工序可分别在设备 A1 或 A2 上完成， B 工序可分别在设备 B1 、B2 或 B3 上完成。产品甲可在 A、B 任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的 A 设备上加工，但完

5、成 B 工序时，只能在 B1 设备上加工；产品丙只能在 A与 B 设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据见下表，试安排最优生产方案，使该厂获利最大。建立数学模型。设备 产品设备有效台时设备加工费(元)甲乙丙A151060000.05A27912100000.03B16840000.06B241170000.11B3740000.05原料费(元/件)0.250.350.50售 价(元/件)1.252.002.80目标函数：工厂盈利为产品销售价减去相应的原材料费和设备加工费。约束条件：产品加工量受设备有效台时的限制。 解 设产品甲、乙、丙的产量分别为 x1，x2，x3件。产品甲有六种加

6、工方案，分别为，(A1, B1) (A1, B2) (A1, B3) (A2, B1) (A2, B2) (A2, B3)，各方案加工产品甲数量用 x11，x12，x13， x14，x15，x16 表示；产品乙有两种加工方案，分别为，(A1, B1) 和 (A2, B1) ，各方案加工产品乙数量用 x21，x22 表示； 产品丙只有一种加工方案 (A2, B2) ，加工数量用 x3 表示。 x1 = x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 x2 = x21 + x22 目标函数：max z = (1.25-0.25)(x11 + x12 + x13 + x14 +

7、x15 + x16 ) + (2.0-0.35)(x21 + x22) + (2.8-0.5)x3 0.05(5x11 +5 x12 + 5x13 + 10 x21 ) 0.03(7x14 +7 x15 + 7x16 + 9x22 + 12x3 ) 0.06(6x11 +6 x14 + 8x21 + 8x22 ) 0.11(4x12 +4 x15 + 11x3 ) 0.05(7x13 + 7x16) 约束条件： 5x11 +5 x12 + 5x13 + 10 x21 6000 7x14 +7 x15 + 7x16 + 9x22 + 12x3 10000 6x11 +6 x14 + 8x21 +

8、 8x22 4000 4x12 +4 x15 + 11x3 7000 7x13 + 7x16 4000 xij 0三、 生产存贮问题 例 某厂签订了种产品( i =1, 2, 3, 4, 5 ) 上半年的交货合同。各产品在第 j 月的合同交货量 Dij ，该月售价 sij 、本钱价 cij 及生产一件时所需的工时 aij 。该厂第 j 月的正常生产工时为 tj ，但必要时可加班生产，第 j 月所允许的最多加班工时不超过 t/j ，并且加班时间内生产的产品每件本钱增加额外费用 c/ij 元。假设生产出来的产品当月不交货，每件库存一个月交存贮费 pi 元。试为该厂设计一个保证完成合同交货，又使上半

9、年预期盈利总额为最大的生产方案安排。目标函数： 该厂盈利总额为种产品销售价减去本钱和库存费用。约束条件：各月的正常和加班允许工时及满足交货要求。解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量， x/ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。问：第 i 种产品在第 j 月的销售盈利是多少？解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量， x/ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。( sij cij ) xij + (sij cij c/ij ) x/ijj =16i =15问：第 i 种产品在第 j 月的库存量是多少？解

10、 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量， x/ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。( sij cij ) xij + (sij cij c/ij ) x/ijj =16i =15k =1jj =16i =15( xik + x/ik Dik )pimax z = 目标函数：约束条件：i =15aij x/ij t/j ( j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )i =15aij xij tj ( j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )( xik + x/ik ) Dij ( j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )k =1jk =1

11、jxij 0四、 动态投资问题 例 宏银公司承诺为某建设工程从2003年起的4年中每年初分别提供以下数额贷款：2003年100万，2004年150万，2005年120万，2006年110万。以上贷款资金均需于2002年底前筹集齐。但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足每年贷款额的情况下，可将多余资金用于以下投资工程： 1于2003年初购置A 种债券，期限3年，到期后本息合计为投资额的140%，但限购60万元； 2于2003年初购置 B 种债券，期限2年，到期后本息合计为投资额的125%，但限购90万元； 3于2004年初购置C 种债券，期限2年，到期后本息合计为投资额的130%，但限购50万元； 4于每年初将任意数额的资金存放银行，年息4%，于年底取出。问该公司应如何运作，使2002年底需筹集到的资金额为最少。解 设 x 为2002年底该公司需要筹集到的资金额； y1、y2、y3 为分别于2003、2004、2005年初存放到银行的资金数 ； WA、WB、WC 为分别购置 A、B、C 債卷的数额。 那么可列数学模型：目标函数： min z = x 约